Grupo bueno

El grupo de Weyl es un grupo generado por reflexiones en hiperplanos ortogonales a las raíces del sistema de raíces de un grupo de Lie, álgebra de Lie u otros objetos algebraicos.

El nombre de Hermann Weyl .

Definiciones relacionadas

Los hiperplanos ortogonales a las raíces del sistema de raíces cortan el espacio euclidiano en un número finito de regiones abiertas llamadas cámaras de Weyl .
Dado un grupo de Lie que satisface ciertas condiciones (por ejemplo, para un grupo compacto conectado) y un toro arbitrario (no necesariamente máximo), uno puede definir el grupo de Weyl como un factor normalizador de toro por su centralizador , $GRAMO$ ${\ estilo de visualización T<G}$ $NUEVO TESTAMENTO)$ ${\ estilo de visualización Z (T)}$ $W(T,G)=N(T)/Z(T).$

El grupo es finito porque ' tiene un índice finito en .

{\ estilo de visualización W (T, G)}

{\ estilo de visualización Z (T)}

NUEVO TESTAMENTO)

toro máximo (y, por lo tanto , ), entonces el grupo de cociente resultante se denomina grupo de Weil y se denota por .

T=T_0

{\ estilo de visualización Z (T_ {0}) = T_ {0}}

W(T_{0},G)=N(T_{0})/Z(T_{0})

GRAMO

{\ estilo de visualización W (G)}

Aunque esta construcción depende de la elección de un toro máximo , todos los grupos así obtenidos son isomorfos.
Si es un grupo de Lie compacto y conexo, entonces su grupo de Weil es isomorfo al grupo de Weyl de su álgebra de Lie. $GRAMO$

El grupo de Weil actúa por permutaciones sobre las cámaras de Weil, esta acción es libre y transitiva .
- En particular, el número de cámaras Weyl es igual al orden del grupo Weyl.

Los grupos de Weyl son grupos de Coxeter finitos . Esto les permite ser clasificados como diagramas de Coxeter-Dynkin .

El grupo de Weil de un álgebra de Lie es un grupo simétrico de n elementos, . Su acción se puede describir de la siguiente manera. Si es la subálgebra de Cartan de todas las matrices diagonales con traza cero, entonces actúa sobre la permutación de los elementos diagonales de la permutación de las matrices . Esta acción induce una acción sobre el espacio dual , que en realidad es la acción del grupo de Weyl. ${\mathfrak{sl}}_{n}$ $S_{n}$ ${\mathfrak{h))$ $S_{n}$ ${\mathfrak{h))$ ${\mathfrak {h}}^{\ast}$

Para un grupo lineal general GL , el toro máximo está formado por el subgrupo D de matrices diagonales invertibles. El normalizador de subgrupos D es el grupo de matrices de permutación generalizadas (matrices como matrices de permutación , pero con números distintos de cero, en lugar de unos). El grupo de Weil es un grupo simétrico . En este caso, el mapa N → N / T se divide, por lo que el normalizador N es un producto semidirecto de un toro y un grupo de Weil y, por lo tanto, el grupo de Weyl se puede identificar con un subgrupo de G.
- En general, este no es siempre el caso: el cociente no siempre se divide, el normalizador N no siempre es un producto semidirecto y el grupo de Weil no siempre se realiza como un subgrupo de G.