Grupo de reflexiones complejas

El grupo de reflexiones complejas es un grupo finito que actúa sobre un espacio vectorial complejo de dimensión finita de cierta manera.

Ejemplos

grupo simétrico
grupo diedro
Grupos Coxeter y en particular
- grupos Weyl
- Grupos de simetría de poliedros regulares .

Definición

La reflexión compleja de un espacio vectorial complejo de dimensión finita V es un elemento de orden finito que fija puntos en el hiperplano.

El grupo de reflexiones complejas es un subgrupo finito generado por reflexiones complejas.

Definiciones relacionadas

Se dice que un grupo W de reflexión complejo es irreducible si el espacio no contiene W propios - subespacios invariantes.
- En este caso, la dimensión del espacio vectorial se denomina rango de W.

Clasificación

Cualquier grupo de reflexiones complejas se puede representar como un producto de grupos irreducibles de reflexiones complejas que actúan sobre la suma directa de los espacios correspondientes. Por tanto, basta con clasificar los grupos de reflexión complejos irreducibles.

Los grupos irreducibles de reflexiones complejas incluyen una familia infinita , que depende de tres parámetros enteros positivos con , y 34 grupos excepcionales. ${\ Displaystyle G (m, p, n)}$ $m\,\vdots\,p$

El grupo tiene orden , es un producto semidirecto de un grupo simétrico actuando por permutaciones sobre el grupo -ok ${\ Displaystyle G (m, p, n)}$ $m^{n}\cdotn!/p$ $S_{n}$ $norte$

(\theta ^{a_{1}},\dots ,\theta ^{a_{n}}),

tal que es la raíz th primitiva de la unidad y $\ theta$ $metro$

a_{1}+\dots +a_{n}\equiv 0{\pmod {p)).

Un grupo también se puede describir como un subgrupo del índice del grupo simétrico generalizado . ${\ Displaystyle G (m, p, n)}$ $pags$ ${\ estilo de visualización S (m, n)}$

Casos especiales : ${\ Displaystyle G (m, p, n)}$

${\ estilo de visualización G (1, 1, n)}$ es el grupo de Coxeter A n −1
${\ estilo de visualización G (2,1, n)}$ es el grupo de Coxeter B n = C n
${\ estilo de visualización G (2, 2, n)}$ es un grupo de Coxeter D n
${\ estilo de visualización G (m, p, 1)}$ grupo cíclico de orden m/p .
${\ Displaystyle G (m, m, 2)}$ es un grupo de Coxeter I 2 ( m ) (y un grupo de Weil G 2 para m = 6).
El grupo actúa irreductiblemente sobre , excepto en los casos , (grupo simétrico) y (grupo de Kleinov 4), cuando se descompone en una suma de representaciones irreductibles de dimensión y . ${\ Displaystyle G (m, p, n)}$ $\mathbb{C}^n$ $metro=1$ $n>1$ ${\ estilo de visualización G (2,2,2)}$ $\mathbb{C}^n$ $una$ $n-1$
Dos grupos son isomorfos como grupos de reflexión complejos sólo si uno de ellos lo es y el otro lo es para algunos enteros positivos y . Sin embargo, hay otros casos en los que dos de estos grupos son isomorfos como grupos abstractos. ${\ Displaystyle G (m, p, n)}$ $G(m\cdot a,p\cdot a,n)$ $G(m\cdot b,p\cdot b,n)$ $a$ $b$

Tabla

Hay varias repeticiones en las primeras 3 líneas de esta lista, ver la sección anterior.

Número de PC de Shepard - Todd del grupo.
El rango es la dimensión del conjunto espacial vectorial complejo sobre el que actúa.
La estructura describe la estructura del grupo. El símbolo "*" denota el producto central de dos grupos. T, O e I denotan los grupos de rotación del tetraedro, el octaedro y el icosaedro, siendo los órdenes de estos grupos 12, 24 y 60, respectivamente.
Orden - el número de elementos en el grupo.
Reflexiones - número de reflexiones: 2 6 4 12 significa que hay 6 reflexiones de orden 2 y 12 de orden 4.
Grados : grados de invariantes del anillo de invariantes polinómicos. Por ejemplo, el grupo de invariantes #4 forma un anillo de polinomios con 2 generadores de grados 4 y 6.

PC	Rango	Estructura	Ordenar	Reflexiones	Grados	Kospeni
una	n -1	Grupo simétrico G (1,1, n ) = Sym( n )	n !	2n ( norte − 1)/ 2	2, 3, ..., norte	0,1,..., norte - 2
2	norte	GRAMO ( metro , pag , norte ) metro > 1, norte > 1, pag \| m ( G (2,2,2) es reducible)	m n n !/ pag	2 min ( norte −1)/2 , re norte φ( re ) ( re \| metro / pags , re > 1)	metro ,2 metro ,..,( norte - 1) metro ; mn / pag	0, metro ,..., ( norte − 1) metro si pag < metro ; 0, metro ,...,( norte - 2) metro , ( norte - 1) metro - norte si pags = metro
3	una	Grupo cíclico G ( m ,1,1) = Z m	metro	re φ( re ) ( re \| metro , re > 1)	metro	0
cuatro	2	Z2 ._ _ T = 3[3]3,	24	3 8	4.6	0.2
5	2	Z6 ._ _ T = 3[4]3,	72	3 16	6.12	0.6
6	2	Z4 ._ _ T = 3[6]2,	48	2 6 3 8	4.12	0.8
7	2	Z12 ._ _ T =〈3,3,3〉2 , 〈3,3,2〉6	144	2 6 3 16	12.12	0.12
ocho	2	Z4 ._ _ O = 4[3]4,	96	2 6 4 12	8.12	0.4
9	2	Z8 ._ _ O = 4[6]2,	192	2 18 4 12	8.24	0.16
diez	2	Z12 ._ _ O = 4[4]3,	288	2 6 3 16 4 12	12.24	0.12
once	2	Z 24 . O = 〈4,3,2〉12	576	2 18 3 16 4 12	24.24	0.24
12	2	Z2 ._ _ O = GL 2 ( F 3 )	48	2 12	6.8	0.10
13	2	Z4 ._ _ O = 〈4,3,2〉2	96	2 18	8.12	0.16
catorce	2	Z6 ._ _ O = 3[8]2,	144	2 12 3 16	6.24	0.18
quince	2	Z12 ._ _ O = 〈4,3,2〉6	288	2 18 3 16	12.24	0.24
dieciséis	2	Z10 ._ _ = 5[3]5 ,	600	5 48	20.30	0.10
17	2	Z20 ._ _ = 5[6]2 ,	1200	2 30 5 48	20.60	0.40
Dieciocho	2	Z 30 . = 5[4]3 ,	1800	3 40 5 48	30.60	0.30
19	2	Z 60 . = 〈5,3,2 〉30	3600	2 30 3 40 5 48	60,60	0,60
veinte	2	Z6 ._ _ = 3[5]3 ,	360	3 40	12.30	0.18
21	2	Z12 ._ _ = 3[10]2 ,	720	2 30 3 40	12.60	0.48
22	2	Z4 ._ _ = 〈5,3,2 〉2	240	2 30	12.20	0.28
23	3	W(H 3 ) = Z 2 × PSL 2 (5), el grupo de Coxeter [5,3],	120	2 15	2,6,10	0.4.8
24	3	W(J 3 (4)) = Z 2 × PSL 2 (7), Klein [1 1 1 4 ] 4 ,	336	2 21	4,6,14	0.8.10
25	3	W(L 3 ) = W(P 3 ) = 3 1+2 .SL 2 (3), Hesse grupo 3[3]3[3]3,	648	3 24	6,9,12	0.3.6
26	3	W(M 3 ) = Z 2 ×3 1+2 .SL 2 (3), grupo Hesse , 2[4]3[3]3,	1296	2 9 3 24	6,12,18	0.6.12
27	3	W(J 3 (5)) = Z 2 ×( Z 3 .Alt(6)), grupo Vlentier [1 1 1 5 ] 4 ,	2160	2 45	6,12,30	0.18.24
28	cuatro	W(F 4 ) = (SL 2 (3)* SL 2 (3)).( Z 2 × Z 2 ) el grupo de Weil [3,4,3],	1152	2 12+12	2,6,8,12	0,4,6,10
29	cuatro	W(N 4 ) = ( Z 4 *2 1 + 4 ).Sim(5) [1 1 2] 4 ,	7680	2 40	4,8,12,20	0.8.12.16
treinta	cuatro	W(H 4 ) = (SL 2 (5)*SL 2 (5)). Z2 _ el grupo de Coxeter [5,3,3],	14400	2 60	2,12,20,30	0.10.18.28
31	cuatro	W(EN 4 ) = W(O 4 ) = ( Z 4 *2 1 + 4 ).Sp 4 (2)	46080	2 60	8,12,20,24	0.12.16.28
32	cuatro	W(L 4 ) = Z 3 × Sp 4 (3), 3[3]3[3]3[3]3,	155520	3 80	12,18,24,30	0.6.12.18
33	5	W(K 5 ) = Z 2 × Ω 5 (3) = Z 2 × PSp 4 (3)= Z 2 × PSU 4 (2) [1 2 2] 3 ,	51840	2 45	4,6,10,12,18	0.6.8.12.14
34	6	W(K 6 )= Z 3 .Ω− 6(3). Z 2 , grupo Mitchell [1 2 3] 3 ,	39191040	2126 _	6,12,18,24,30,42	0.12.18.24.30.36
35	6	W(E 6 ) = SO 5 (3) = O− 6(2) = PSp 4 (3). Z 2 = fuente de alimentación 4 (2). Z 2 , el grupo de Weil [3 2,2,1 ],	51840	2 36	2,5,6,8,9,12	0,3,4,6,7,10
36	7	W(E 7 ) = Z 2 × Sp 6 (2), el grupo de Weil [3 3,2,1 ],	2903040	263 _	2,6,8,10,12,14,18	0,4,6,8,10,12,16
37	ocho	W(E 8 )= Z 2 .O+ 8(2), grupo Weyl [3 4,2,1 ],	696729600	2 120	2,8,12,14,18,20,24,30	0,6,10,12,16,18,22,28

Propiedades

Un grupo finito que actúa sobre un espacio vectorial complejo es un grupo de reflexión complejo si y solo si el anillo invariante es un anillo polinomial.

Si es el rango del grupo de reflexión, entonces las potencias de los generadores del anillo de invariantes se denominan potencias de W . Se enumeran en la columna sobre la columna "grados". Muchos otros invariantes de grupo están definidos por potencias: $\ana$ ${\displaystyle d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{\ell ))$
- El centro de un grupo de reflexión irreducible es cíclico y su orden es igual al máximo común divisor de potencias.
- El orden de un grupo de reflexión es igual al producto de sus potencias.
- El número de reflexiones de un grupo es igual a la suma de los grados menos el rango.
- Las potencias satisfacen la siguiente identidad $d_{i}$ $\prod_{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum_{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.$
Cada grupo irreducible de reflejos complejos tiene un número mínimo de generadores o reflejos. $norte$ $n+1$
- El número mínimo de generadores es igual a n, lo que equivale a que para todos . ${\displaystyle d_{i}+d_{i}^{*}=d_{\ell ))$ $i$
  - En particular, para un grupo esto solo es válido para p = 1 o m . ${\ Displaystyle G (m, p, n)}$

Enlaces

Broué, Michel; Malle, Gunter & Rouquier, Raphaël (1995), Sobre los grupos de reflexión complejos y sus grupos trenzados asociados , Representaciones de grupos (Banff, AB, 1994) , vol. 16, CMS Conf. Proc., Providence, Rhode Island: American Mathematical Society , pág. 1–13 , < http://www.math.ucla.edu/~rouquier/papers/banff.pdf > Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine .
Broué, Michel; Malle, Gunter & Rouquier, Raphaël (1998), Grupos de reflexión complejos, grupos trenzados, álgebras de Hecke , Journal für die reine und angewandte Mathematik T. 500: 127–190, ISSN 0075-4102 , DOI 10.1515/crll.1998.064
Deligne, Pierre (1972), Les immeubles des groupes de tresses généralisés , Inventiones Mathematicae vol 17 (4): 273–302, ISSN 0020-9910 , DOI 10.1007/BF01406236
Hiller, Howard Geometría de los grupos de Coxeter. Research Notes in Mathematics, 54. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass.-Londres, 1982. iv+213 págs. ISBN 0-273-08517-4 *
Lehrer, Gustav I. & Taylor, Donald E. (2009), Grupos unitarios de reflexión , vol. 20, Serie de conferencias de la Sociedad Matemática Australiana, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-74989-3
Shephard, G. C. & Todd, J. A. (1954), Grupos de reflexión unitarios finitos , Canadian Journal of Mathematics. Journal Canadien de Mathematiques (Sociedad Matemática Canadiense). — V. 6: 274–304, ISSN 0008-414X , doi : 10.4153/CJM-1954-028-3 , < https://books.google.com/?id=Bi7EKLHppuYC >
Coxeter , Grupos finitos generados por reflexiones unitarias , 1966, 4. La notación gráfica , Tabla de grupos n-dimensionales generados por n Reflexiones unitarias. páginas. 422-423