Función booleana

Una función booleana (o una función lógica , o una función del álgebra de la lógica ) [1] de n argumentos - en matemáticas discretas - un mapeo B n → B , donde B = {0,1} es un conjunto booleano . Los elementos del conjunto booleano {1, 0} se suelen interpretar como los valores lógicos "verdadero" y "falso", aunque en el caso general se consideran símbolos formales que no tienen un significado específico. Un entero no negativo n , que denota el número de argumentos, se denomina aridad o localidad de la función; en el caso de n = 0, la función booleana se convierte en una constante booleana . Los elementos del producto cartesiano ( la n-ésima potencia directa) B n se denominan vectores booleanos . El conjunto de todas las funciones booleanas de cualquier número de argumentos a menudo se denota por P 2 , y de n argumentos por P 2 ( n ). Las variables que toman valores de un conjunto booleano se denominan variables booleanas [2] . Las funciones booleanas llevan el nombre del matemático George Boole .

Cuando se trabaja con funciones booleanas, se produce una completa abstracción del significado significativo que se asume en el álgebra de proposiciones [2] . Sin embargo, se puede establecer una correspondencia biunívoca entre las funciones booleanas y las fórmulas del álgebra proposicional si [3] :

establecer una correspondencia biunívoca entre variables booleanas y proposicionales ;
establecer una conexión entre funciones booleanas y conectivos lógicos;
dejar la prioridad de las operaciones sin cambios.

Información básica

Cada función booleana de aridad n se define completamente fijando sus valores en su dominio de definición, es decir, en todos los vectores booleanos de longitud n . El número de dichos vectores es igual a 2 n . Dado que una función booleana puede asumir 0 o 1 en cada vector, el número de todas las funciones booleanas n -arias es 2 (2 n ) . Por lo tanto, en esta sección, solo se consideran las funciones booleanas más simples e importantes.

Casi todas las funciones booleanas de menor aridad (0, 1, 2 y 3) recibieron nombres históricos. Si el valor de la función no depende de una de las variables (es decir, de hecho, para dos vectores booleanos cualesquiera que difieren solo en el valor de esta variable, el valor de la función sobre ellos es el mismo), entonces esto variable, sin reproducir ningún "valor", se denomina ficticia .

Tablas de verdad

Una función booleana se define por un conjunto finito de valores, lo que permite representarla como una tabla de verdad , por ejemplo [4] :

x1 _	x2_ _	…	xn − 1	x norte	f ( x 1 , x 2 , …, x norte )
0	0	…	0	0	0
0	0	…	0	una	0
0	0	…	una	0	una
0	0	…	una	una	0
$\vpuntos$	$\vpuntos$	${\ estilo de visualización \ ddots}$	$\vpuntos$	$\vpuntos$	$\vpuntos$
una	una	…	0	0	una
una	una	…	0	una	0
una	una	…	una	0	0
una	una	…	una	una	0

Funciones nulas

Para n = 0, el número de funciones booleanas se reduce a dos 2 2 0 = 2 1 = 2, la primera de ellas es idénticamente igual a 0 y la segunda es 1. Se llaman constantes booleanas: idénticamente cero e idénticamente uno .
Tabla de valores y nombres de funciones booleanas nulas:

	Sentido	Designacion	Nombre
	0	F0,0 = 0	cero idéntico
	una	F0,1 = 1	unidad idéntica, tautología

Funciones unarias

Para n = 1, el número de funciones booleanas es 2 2 1 = 2 2 = 4. Estas funciones se definen en la siguiente tabla.

Tabla de valores y nombres de funciones booleanas de una variable:

x0 = x	una	0	Designacion	Nombre
0	0	0	F1.0 = 0	cero idéntico
una	0	una	F1,1 = x = ¬ x = x' = NO(x)	negación, lógico "NO", "NOT", "NOR", inversor , SWAP (intercambio)
2	una	0	F1,2 = x	función de identidad, "SÍ" lógico, repetidor
3	una	una	F1.3=1	unidad idéntica, tautología

Funciones binarias

Para n = 2, el número de funciones booleanas es 2 2 2 = 2 4 = 16.

Tabla de valores y nombres de funciones booleanas a partir de dos variables:

x0 = x	una	0	una	0	Notación de función	Nombre de la función
x 1 = y	una	una	0	0	Notación de función	Nombre de la función
0	0	0	0	0	F2.0=0	cero idéntico
una	0	0	0	una	F2,1 = x ↓ y = x NOR y = NOR( x , y ) = x NOR y = NOR ( x , y ) = NOT(MAX(X,Y))	Flecha perforante - "↓" ( daga de Quine - "†"), función de Webb - "°" [5] , NON-OR, 2OR-NOT, antidisyunción, inversión máxima
2	0	0	una	0	F2,2 = x > y = x GT y = GT( x , y ) = x → y = x ↛ y	función de comparación "el primer operando es mayor que el segundo operando", inversa de implicación directa , coimplicación [6]
3	0	0	una	una	F2,3 = y = y' = ¬ y = NO2( x , y ) = NO2( x , y )	negación (negación, inversión) del segundo operando
cuatro	0	una	0	0	F2,4 = x < y = x LT y = LT( x , y ) = x ← y = x ↚ y	función de comparación "el primer operando es menor que el segundo operando", implicación inversa, coimplicación inversa [6]
5	0	una	0	una	F2,5 = x = x' = ¬ x = NO1( x , y ) = NO1( x , y )	negación (negación, inversión) del primer operando
6	0	una	una	0	F2,6 = x >< y = x <> y = x NE y = NE(x, y) = x ⊕ y = x XOR y = XOR( x , y )	función de comparación "los operandos no son iguales", adición de módulo 2 excluyendo "o" , suma de Zhegalkin [7]
7	0	una	una	una	F2.7 = x \| y = x NAND y = NAND( x , y ) = x NAND y = NAND ( x , y ) = NOT(MIN(X,Y))	Trazo de Schaeffer , línea de puntos de Chulkov [8] , NAND, 2I-NOT, anticonjunción, inversión mínima
ocho	una	0	0	0	F2,8 = x ∧ y = x y = xy = x & y = x Y y = Y( x , y ) = x Y y = Y( x , y ) = min ( x , y )	conjunción , 2I, mínimo
9	una	0	0	una	F2.9 = ( x ≡ y ) = x ~ y = x ↔ y = x EQV y = EQV( x , y )	función de comparación "los operandos son iguales", equivalencia
diez	una	0	una	0	F2,10 = SI1( x , y ) = SI1( x , y ) = x	primer operando
once	una	0	una	una	F2,11 = x ≥ y = x >= y = x GE y = GE( x , y ) = x ← y = x ⊂ y	función de comparación "el primer operando no es menor que el segundo operando", implicación inversa (del segundo argumento al primero)
12	una	una	0	0	F2,12 = SÍ2( x , y ) = SÍ2( x , y ) = y	segundo operando
13	una	una	0	una	F2.13 = x ≤ y = x <= y = x LE y = LE( x , y ) = x → y = x ⊃ y	función de comparación "el primer operando no es mayor que el segundo operando", implicación directa (material) (del primer argumento al segundo)
catorce	una	una	una	0	F2,14 = x ∨ y = x + y = x O y = O( x , y ) = x O y = O( x , y ) = máx( x , y )	disyunción , 2OR, máx .
quince	una	una	una	una	F2.15=1	unidad idéntica, tautología

Con dos argumentos , la notación de prefijo , infijo y posfijo es casi la misma en términos de economía.

Algunas funciones que tienen sentido en la tecnología digital , como las funciones de comparación, mínimo y máximo, no tienen sentido en la lógica, ya que en la lógica , en general, los valores booleanos VERDADERO y FALSO no tienen un vínculo estricto con los valores numéricos. (por ejemplo, en TurboBasic , para simplificar algunos cálculos, VERDADERO = -1, y FALSO = 0) y es imposible determinar qué es mayor que VERDADERO o FALSO, mientras que las implicaciones y demás tienen sentido tanto en tecnología digital como en lógica

Funciones ternarias

Para n = 3, el número de funciones booleanas es 2 (2 3 ) = 2 8 = 256. Algunas de ellas se definen en la siguiente tabla:
Tabla de valores y nombres de algunas funciones booleanas a partir de tres variables con nombre propio :

x0 = x	una	0	una	0	una	0	una	0	Notación	Títulos
x 1 = y	una	una	0	0	una	una	0	0
x 2 \u003d z	una	una	una	una	0	0	0	0
una	0	0	0	0	0	0	0	una	F3,1 = x ↓ y ↓ z = ↓(x,y,z) = Webb 2 (x,y,z) = NOR(x,y,z)	3O-NO, función de Webb, flecha de Pierce , daga de Quine - "†"
23	0	0	0	una	0	una	una	una	F3,23 = = ≥2(x,y,z) $\neg (>=2(x,y,z))$	Interruptor mayoritario con inversión, 3PPB-NE, válvula mayoritaria con inversión
71	0	una	0	0	0	una	una	una	F3.71= ${\ estilo de visualización [x, y, z]}$	disyunción condicional
126	0	una	una	una	una	una	una	0	F3.126 = (x≠y≠z) = [≠(x,y,z)] = NE(x,y,z)	Desigualdad
127	0	una	una	una	una	una	una	una	F3,127 = x\|y\|z = \|(x,y,z) = NAND(x,y,z)	3I-NOT, accidente cerebrovascular de Schaeffer
128	una	0	0	0	0	0	0	0	F3,128 = x&y&z = &(x,y,z) = (x AND y AND z) = AND(x,y,z) = (x AND y AND z) = AND(x,y,z) = min (x, y, z)	3I, mínimo
129	una	0	0	0	0	0	0	una	F3.129 = (x=y=z) = [=(x,y,z)] = EQV(x,y,z)	Igualdad
150	una	0	0	una	0	una	una	0	F3,150 = x⊕y⊕z = x⊕ 2 y⊕ 2 z = ⊕ 2 (x,y,z)	Adición ternaria módulo 2
216	una	una	0	una	una	0	0	0	F3.216 = f1	Préstamo de resta ternaria
232	una	una	una	0	una	0	0	0	F3,232 = f 2 = [>=2(x,y,z)] = ≥2(x,y,z) = (x Y y) O (y Y z) O (z Y x)	Bit de transporte de suma ternaria, interruptor mayoritario, 3PPB, válvula mayoritaria
254	una	una	una	una	una	una	una	0	F3,254 = (x+y+z) = +(x,y,z) = (x O y O z) = O(x,y,z) = (x O y O z) = O(x, y, z) = máx (x, y, z)	O, máximo

Con tres o más argumentos, la notación de prefijo (y posfijo) es más económica que la notación de infijo.
La forma habitual de escribir funciones es el prefijo (antes de los operandos). Con la notación infija (entre operandos) de funciones, las funciones se denominan operadores y los argumentos de función se denominan operandos.

Sistemas completos de funciones booleanas

Superposición y clases cerradas de funciones

El resultado de evaluar una función booleana se puede utilizar como uno de los argumentos de otra función. El resultado de tal operación de superposición puede verse como una nueva función booleana con su propia tabla de verdad. Por ejemplo, una función (superposición de conjunción, disyunción y dos negaciones) corresponderá a la siguiente tabla: $f(x,y,z)=\overline {x(\overline {y}\lorz)}$

$x_{2}=x$	$x_{1}=y$	$x_{0}=z$	$f(x,y,z)$
0	0	0	una
0	0	una	una
0	una	0	una
0	una	una	una
una	0	0	0
una	0	una	0
una	una	0	una
una	una	una	0

Se dice que un conjunto de funciones es cerrado bajo la operación de superposición si cualquier superposición de funciones de un conjunto dado también está incluida en el mismo conjunto. Los conjuntos cerrados de funciones también se denominan clases cerradas .

Como los ejemplos más simples de clases cerradas de funciones booleanas , uno puede nombrar un conjunto que consta de una función idéntica, o un conjunto , todas las funciones de las cuales son idénticamente iguales a cero, independientemente de sus argumentos. El conjunto de funciones y el conjunto de todas las funciones unarias también son cerrados. Pero la unión de clases cerradas ya no puede ser tal. Por ejemplo, al combinar las clases y podemos usar la superposición para obtener la constante 1, que estaba ausente en las clases originales. $\{X\}$ $\{0\}$ $\{x,\overline {x}\}$ $\{0\}$ $\{x,\overline {x}\}$ $\sobrelínea {0}$

Por supuesto, el conjunto de todas las funciones booleanas posibles también es cerrado. $P_2$

Identidad y dualidad

Dos funciones booleanas son idénticas entre sí si toman valores iguales en cualquier conjunto de argumentos idénticos. La identidad de las funciones f y g se puede escribir, por ejemplo, de la siguiente manera:
$f(x_{1},x_{2},\puntos,x_{n})=g(x_{1},x_{2},\puntos,x_{n})$

Mirando las tablas de verdad de las funciones booleanas, es fácil obtener las siguientes identidades:

$\sobrelínea {0}=1$	$\sobrelínea {1}=0$	$\overline {\overline {x}}=x$	${\ estilo de visualización xy = yx}$	$x\lor y=y\lor x$
$0x=0$	${\ estilo de visualización 1x = x}$	$0\lo x=x$	$1\lorx=1$	$xx=x\lor x=x$

Y verificar las tablas construidas para algunas superposiciones dará los siguientes resultados:

x\sobrelínea {x}=0

x\lor\overline {x}=1

\overline {x\cdot y}=\overline {x}\lor \overline {y}

\overline {x}\cdot \overline {y}=\overline {x\lor y}

( Leyes de Morgan )

$x(y\lor z)=xy\lor xz$
$x\lor yz=(x\lor y)(x\lor z)$ ( distributividad de la conjunción y la disyunción)

La función se llama función dual si . Es fácil mostrar que en esta igualdad f y g pueden intercambiarse, es decir, las funciones f y g son duales entre sí. De las funciones más simples, las constantes 0 y 1 son duales entre sí, y la dualidad de conjunción y disyunción se deriva de las leyes de De Morgan. La función idéntica, como la función de negación, es dual consigo misma. $g(x_{1},x_{2},\puntos,x_{n})$ $f(x_{1},x_{2},\puntos,x_{n})$ $f(\overline {x_{1}},\overline {x_{2}},\dots ,\overline {x_{n}})=\overline {g(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$

Si en una identidad booleana reemplazamos cada función por su dual, nuevamente obtenemos la identidad correcta. En las fórmulas anteriores, es fácil encontrar pares duales entre sí.

Completitud del sistema, criterio de Post

Un sistema de funciones booleanas se llama completo si es posible construir su superposición, que es idéntica a cualquier función predefinida. También dicen que el cierre de un determinado sistema coincide con el del conjunto . $P_2$

El matemático estadounidense Emil Post introdujo las siguientes clases cerradas de funciones booleanas:

Funciones que conservan la constante y ; $P_0$ $P_1$
funciones auto-dual ; $S$
Funciones monótonas ; $METRO$
Funciones lineales . $L$

Demostró que cualquier clase cerrada de funciones booleanas que no coincida con está enteramente contenida en una de estas cinco llamadas clases precompletas , pero ninguna de las cinco está enteramente contenida en la unión de las otras cuatro. Así, el criterio de Post para la completitud de un sistema se reduce a averiguar si todo el sistema está contenido por completo en una de las clases precompletas. Si para cada clase en el sistema hay una función que no está incluida en él, dicho sistema estará completo y, con la ayuda de las funciones incluidas en él, será posible obtener cualquier otra función booleana. Post demostró que el conjunto de clases cerradas de funciones booleanas es un conjunto contable . $P_2$

Tenga en cuenta que hay funciones que no están incluidas en ninguna de las clases de Post. Cualquiera de estas funciones por sí sola forma un sistema completo. Los ejemplos incluyen el trazo de Schaeffer o la flecha de Pierce .

Representación de funciones booleanas

El teorema de Post abre el camino para representar funciones booleanas de una forma sintáctica que en algunos casos resulta mucho más conveniente que las tablas de verdad. El punto de partida aquí es encontrar algún sistema completo de funciones . Entonces cada función booleana puede ser representada por algún término en la firma , que en este caso también se llama fórmula . En cuanto al sistema de funciones elegido, es útil conocer las respuestas a las siguientes preguntas: $\Sigma =\{f_{1},\ldots,f_{n}\}$ $\Sigma$

¿Cómo construir una fórmula que represente esta función?
¿Cómo comprobar que dos fórmulas diferentes son equivalentes, es decir, definen la misma función?
- En particular: ¿hay alguna forma de reducir una fórmula arbitraria a su forma canónica equivalente de modo que dos fórmulas sean equivalentes si y solo si sus formas canónicas son las mismas?
¿Cómo se puede usar una función dada para construir una fórmula que la represente con ciertas propiedades dadas (por ejemplo, el tamaño más pequeño), y es esto posible?

Las respuestas positivas a estas y otras preguntas aumentan significativamente el valor aplicado del sistema de funciones elegido.

Forma normal disyuntiva (DNF)

Una conjunción simple o conjunto es una conjunción de un conjunto finito de variables o sus negaciones, donde cada variable ocurre como máximo una vez. La forma normal disyuntiva o DNF es la disyunción de conjunciones simples. Conjunción elemental

correcto , si cada variable se incluye en él no más de una vez (incluida la negación);
complete , si cada variable (o su negación) entra exactamente 1 vez;
monótona si no contiene negaciones de variables.

Por ejemplo - es un DNF. $a{\overline {b}}c\lor b{\overline {c}}\lor {\overline {a}}$

Una forma normal disyuntiva perfecta o SDNF con respecto a un conjunto finito dado de variables es un DNF tal que cada conjunción contiene todas las variables del conjunto dado y en el mismo orden. Por ejemplo: . $a\overline {b}c\lor abc\lor \overline {a}b\overline {c}$

Es fácil ver que cada función booleana corresponde a algún DNF y a una función distinta del cero idéntico, incluso un SDNF. Para ello basta con encontrar en la tabla de verdad de esta función todos los vectores booleanos en los que su valor sea igual a 1, y para cada uno de esos vectores construir una conjunción , donde . La disyunción de estas conjunciones es el SDNF de la función original, ya que en todos los vectores booleanos sus valores coinciden con los valores de la función original. Por ejemplo, para una implicación , el resultado es , que se puede simplificar a . $b=(b_{1},b_{2},\ldots,b_{n})$ $x_{1}^{{b_{1}}}x_{2}^{{b_{2}}}\ldots x_{n}^{{b_{n}}}$ $x_{i}^{1}=x_{i}$ $x_{i}^{0}=\sobrelínea {x_{i}}$ $x\a y$ $\overline {x}y\lor \overline {x}\,\overline {y}\lor xy$ $\sobrelínea {x}\lor y$

Forma normal conjuntiva (CNF)

La forma normal conjuntiva (CNF) se define dualmente a DNF. Una disyunción simple o disjunción es una disyunción de una o más variables o sus negaciones, y cada variable se incluye en ella no más de una vez. CNF es una conjunción de disyunciones simples.

Una forma normal conjuntiva perfecta (PCNF), con respecto a un conjunto finito dado de variables, es tal CNF, en el que cada disyunción incluye todas las variables de este conjunto, y en el mismo orden. Dado que (C)CNF y (C)DNF son mutuamente duales, las propiedades de (C)CNF repiten todas las propiedades de (C)DNF, en términos generales, "exactamente lo contrario".

CNF se puede convertir a su equivalente DNF abriendo paréntesis de acuerdo con la regla:

a(b\lor c)\to ab\lor ac

que expresa la distributividad de la conjunción con respecto a la disyunción. Después de eso, es necesario eliminar las variables repetidas o sus negaciones en cada conjunción, y también descartar de la disyunción todas las conjunciones en las que aparece la variable junto con su negación. En este caso, el resultado no será necesariamente SDNF, incluso si el CNF original era SKNF. Del mismo modo, siempre se puede pasar de DNF a CNF. Para ello, utilice la regla

a\lor bc\to (a\lor b)(a\lor c)

expresando la distributividad de la disyunción con respecto a la conjunción. El resultado debe transformarse de la manera descrita anteriormente, reemplazando la palabra "conjunción" por "disyunción" y viceversa.

Forma normal algebraica (ANF o polinomio de Zhegalkin)

La forma normal algebraica (nombre común en la literatura extranjera) o polinomio de Zhegalkin (nombre usado en la literatura nacional) es una forma de representación de una función lógica como un polinomio con coeficientes de la forma 0 y 1, en el que la operación de conjunción ("Y" , AND), y como suma - suma módulo 2 (exclusivo "OR", XOR). Para obtener el polinomio de Zhegalkin, haga lo siguiente:

Obtener funciones sdnf
Reemplazar Todo O con O Exclusivo
En todos los términos, reemplace los elementos con negación con la construcción: ("elemento" "OR exclusivo" 1)
Abra los paréntesis de acuerdo con las reglas del álgebra de Zhegalkin y proporcione términos idénticos en pares

Clasificación de funciones booleanas

Por el número n de operandos de entrada, de los cuales depende el valor en la salida de la función, hay nulo ( n = 0), unario ( n = 1), binario ( n = 2), ternario ( n = 3) booleano funciones y funciones de un mayor número de operandos.

Por el número de unos y ceros en la tabla de verdad, una clase estrecha de funciones booleanas balanceadas (también llamadas balanceadas o equiprobables, ya que con valores aleatorios equiprobables en la entrada o al iterar todas las combinaciones en la tabla de verdad, la probabilidad de obtener el valor 1 en la salida es 1/2) se distingue de la clase más amplia de funciones booleanas no balanceadas (también llamadas no balanceadas, ya que la probabilidad de obtener el valor 1 en la salida es diferente de 1/2). Las funciones booleanas balanceadas se utilizan principalmente en criptografía .

Según la dependencia del valor de la función de la permutación de sus bits de entrada, las funciones booleanas simétricas (cuyo valor depende únicamente del número de unidades en la entrada) y las funciones booleanas asimétricas (cuyo valor también depende de la permutación de sus bits de entrada) se distinguen.

Las funciones autoduales (cuyo valor se invierte cuando se invierten los valores de todas las entradas) se distinguen de otras funciones booleanas que no tienen esta propiedad por el valor de la función en conjuntos opuestos de valores de argumento . La parte inferior de la tabla de verdad para funciones autodual es una imagen especular de la parte superior invertida (si organiza las combinaciones de entrada en la tabla de verdad en un orden natural).

Según el grado algebraico de no linealidad, se distinguen funciones booleanas lineales ( cuya ANF se reduce a una suma lineal módulo 2 de los valores de entrada) y funciones booleanas no lineales ( cuya ANF contiene al menos una operación no lineal de conjunción de los valores de entrada). valores de entrada). Ejemplos de funciones lineales son: suma de módulo 2 (OR exclusivo, XOR), equivalencia , así como todas las funciones booleanas cuyo ANF contiene solo operaciones de suma de módulo 2 lineales sin conjunciones. Ejemplos de funciones no lineales son: conjunción ("Y", Y), trazo de Schaeffer ("NO-Y", NAND), flecha de Pierce ("NO-O", NOR), así como todas las funciones booleanas cuyo ANF contiene al menos una operación de conjunción no lineal.

Variables esenciales y ficticias

Una variable de una función booleana se llama esencial si para una función booleana hay dos conjuntos de valores de sus argumentos que difieren solo en el valor de esta variable y los valores de la función booleana en ellos difieren. Si los valores de esta función coinciden en ellos, entonces la variable se llama ficticia. Una variable es esencial si y solo si entra en un DNF perfecto de una función booleana o entra en un polinomio de Zhegalkin de una función booleana.

Dos funciones booleanas se llaman iguales si los conjuntos de sus variables esenciales son iguales y los valores de las funciones coinciden en cualquiera de los dos conjuntos iguales de valores de las variables esenciales. [9]

Véase también

Literatura

Alekseev V.B. (profesor), Pospelov A.D. (compilador). Matemática Discreta (curso de conferencias, II semestre) . - M. : Ed. extraño falso Calcular. Matemáticas y Cibernética, Universidad Estatal de Moscú. M. V. Lomonosov, 2002. - 44 p.
Bykova S. V., Burkatovskaya Yu. B. Funciones booleanas: un libro de texto para estudiantes de instituciones de educación superior que estudian en la especialidad HPE 010501 "Matemáticas aplicadas e informática" . - Tomsk: Estado de Tomsk. un-t, 2010. - 190 p.
Gavrilov G. P., Sapozhenko A. A. Problemas y ejercicios en matemáticas discretas . - M. : FIZMATLIT, 2009.
Igoshin VI Lógica matemática y teoría de algoritmos . - 2ª ed., estereotipo.. - M. : Centro Editorial "Academia", 2008. - 448 p.
Kuznetsov OP Matemáticas discretas para un ingeniero . - San Petersburgo. : Lan, 2007. - 394 p.
Libros de texto del Departamento de Cibernética Matemática de la MSU VMiK (en el sitio web del Departamento de Cibernética Matemática de la MSU VMK).
Lozhkin S.A. Conferencias sobre los fundamentos de la cibernética: libro de texto. manual para los cursos "Fundamentos de Cibernética" y "Estructura. implementación discreta. funciones" . - M. : Ed. extraño falso Calcular. Matemáticas y Cibernética, Universidad Estatal de Moscú. M. V. Lomonosov, 2004. - 254 p.
Marchenkov SS Clases cerradas de funciones booleanas . - M. : Fizmatlit, 2001. - 126 p.
Samofalov K. G., Romankevich A. M., Valuysky V. N., Kanevsky Yu. S., Pinevich M. M. Teoría aplicada de los autómatas digitales . - Kyiv: Vishcha Shkola, 1987. - S. 183-189. — 375 pág.
Yablonsky SV Introducción a las Matemáticas Discretas . - M. : Superior. escuela, 2006. - 384 p.

Enlaces

↑ Igoshin, 2008 , Capítulo 2. Funciones booleanas.
↑ 1 2 Igoshin, 2008 , pág. 94.
↑ Igoshin, 2008 , pág. 104-105.
↑ Samofalov, 1987 .
↑ Funciones booleanas elementales . Consultado el 9 de noviembre de 2016. Archivado desde el original el 10 de noviembre de 2016. (indefinido)
↑ 1 2 Preguntas seleccionadas de la teoría de funciones booleanas. // A. S. Balyuk y otros Ed. S. F. Vinokurov y N. A. Peryazev. — M.: FIZMATLIT, 2001. — 192 p. - S. 13.
↑ Igoshin, 2008 , pág. 96.
↑ IA Nasyrov. ayuda para la enseñanza Consultado el 20 de noviembre de 2020. Archivado desde el original el 22 de diciembre de 2019. (indefinido)
↑ Gavrilov G.P., Sapozhenko A.A. Colección de problemas de matemática discreta. - M., Nauka, 1977. - pág. 44, 46, 47

diccionarios y enciclopedias	gran ruso
En catálogos bibliográficos	LNB : 000324702

$x_{2}=x$	$x_{1}=y$	$x_{0}=z$	$f(x,y,z)$
0	0	0	una
0	0	una	una
0	una	0	una
0	una	una	una
una	0	0	0
una	0	una	0
una	una	0	una
una	una	una	0

$x_{2}=x$	$x_{1}=y$	$x_{0}=z$	$f(x,y,z)$
0	0	0	una
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$x_{2}=x$	$x_{1}=y$	$x_{0}=z$	$f(x,y,z)$
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