Un montón de

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Un conjunto es uno de los conceptos clave de las matemáticas ; que es un conjunto, una colección de cualquier objeto (en general, cualquier) - elementos de este conjunto [1] . Dos conjuntos son iguales si y solo si contienen exactamente los mismos elementos [2] .

El estudio de las propiedades generales de los conjuntos se ocupa de la teoría de conjuntos , así como de las ramas afines de las matemáticas y la lógica matemática . Ejemplos: un conjunto de habitantes de una ciudad dada, un conjunto de funciones continuas , un conjunto de soluciones a una ecuación dada. Un conjunto puede ser vacío o no vacío , ordenado o desordenado , finito o infinito . Un conjunto infinito puede ser contable o incontable . Además, tanto en las teorías de conjuntos ingenuas como en las axiomáticas , cualquier objeto generalmente se considera un conjunto. El concepto de conjunto permite que casi todas las ramas de las matemáticas utilicen una ideología y una terminología comunes.

Historia del concepto

Los fundamentos de la teoría de los conjuntos finitos e infinitos fueron sentados por Bernard Bolzano , quien formuló algunos de sus principios [3] [4] [5] .

De 1872 a 1897 (principalmente de 1872 a 1884), Georg Cantor publicó una serie de trabajos en los que presentaba sistemáticamente las principales ramas de la teoría de conjuntos, incluida la teoría de conjuntos puntuales y la teoría de los números transfinitos (cardinales y ordinales) [6 ] . En estos trabajos, no solo introdujo los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, sino que también enriqueció las matemáticas con argumentos de un nuevo tipo, que aplicó para probar teoremas en teoría de conjuntos, en particular, por primera vez a conjuntos infinitos. Por lo tanto, generalmente se acepta que Georg Cantor creó la teoría de los conjuntos. En particular, definió un conjunto como "un nombre único para la colección de todos los objetos que tienen una propiedad dada" y llamó a estos objetos los elementos de un conjunto . Designó el conjunto de todos los objetos que tienen una propiedad (es decir, un enunciado cuya verdad depende del valor de la variable x ), y la propiedad misma se denominó propiedad característica del conjunto . $Hacha)$ $\{x\mid A(x)\},$ $Hacha)$ $X.$

A pesar de la buena calidad de esta definición, la concepción de Cantor condujo a paradojas , en particular, la paradoja de Russell .

Dado que la teoría de conjuntos se utiliza de hecho como base y lenguaje de todas las teorías matemáticas modernas, en 1908 la teoría de conjuntos fue axiomatizada de forma independiente por Bertrand Russell y Ernst Zermelo . En el futuro, ambos sistemas fueron revisados y modificados, pero básicamente mantuvieron su carácter. Estas se conocen como teoría de tipos de Russell y teoría de conjuntos de Zermelo . Posteriormente, la teoría de conjuntos de Cantor se conoció como teoría de conjuntos ingenua , y la teoría (en particular, Russell y Zermelo), reconstruida después de Cantor, se convirtió en teoría de conjuntos axiomática .

En la práctica que se ha desarrollado desde mediados del siglo XX, un conjunto se define como un modelo que satisface los axiomas ZFC (los axiomas de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección ). Sin embargo, con este enfoque, en algunas teorías matemáticas surgen colecciones de objetos que no son conjuntos. Tales colecciones se denominan clases (de diferentes órdenes).

Elemento de conjunto

Los objetos que componen un conjunto se denominan elementos de conjunto o puntos de ajuste . Los conjuntos se denotan con mayor frecuencia con letras mayúsculas del alfabeto latino , sus elementos son minúsculas. Si es un elemento del conjunto , entonces se escribe (“ pertenece ”). Si no es un elemento del conjunto , entonces escriben (" no pertenece "). $a$ $A$ $a \ en A$ $a$ $A$ $a$ $A$ $a\notin A$ $a$ $A$

Si todos los elementos del conjunto están contenidos en , entonces escriben (" está en , es su subconjunto "). De acuerdo con la teoría de conjuntos, si , entonces para cualquier elemento se define , o . $A$ $B$ $A\subconjunto B$ $A$ $B$ $X\subconjunto Y$ ${\ estilo de visualización a \ en Y}$ $a \ en X$ ${\ estilo de visualización a \ no \ en X}$

Así, el orden en que se escriben los elementos de un conjunto no afecta al conjunto mismo, es decir, . Además, de lo anterior se desprende que el número de ocurrencias de elementos idénticos no está definido para un conjunto, es decir, el registro , en términos generales, no tiene sentido si es un conjunto. Sin embargo, será correcto escribir el conjunto . ${\ estilo de visualización \ {6,11 \} = \ {11,6 \}}$ $A=\{11,11,6,11,6\}$ $A$ $B=\{11,\{11\},\{6,11\},6\}$

Especificando un conjunto

Hay dos formas principales de definir conjuntos : enumerando elementos y describiéndolos.

Enumeración

El primer método requiere especificar (enumerar) todos los elementos incluidos en el conjunto. Por ejemplo, el conjunto de números pares no negativos menores que 10 viene dado por: Es conveniente aplicar este método sólo a un número limitado de conjuntos finitos. $Y$ $Y=\{0,2,4,6,8\}.$

Descripción

El segundo método se usa cuando el conjunto no puede o es difícil de especificar por enumeración (por ejemplo, si el conjunto contiene un número infinito de elementos). En este caso, puede describirse por las propiedades de los elementos que le pertenecen.

Un conjunto se especifica si se especifica una condición , la cual es satisfecha por todos los elementos de y que no es satisfecha por . designado ${\ estilo de visualización Y \ subconjunto X}$ $Hacha)$ ${\ estilo de visualización x \ en X: x \ en Y}$ ${\ estilo de visualización x \ en X: x \ no en Y}$ $Y={\grande \{}x\en X:A(x){\grande \}}.$

Por ejemplo, la gráfica de una función se puede definir de la siguiente manera: $f\dos puntos X\a Y$

\Gamma ={\big \{}(x,y)\in X\times Y:f(x)=y{\big \)),

donde es el producto cartesiano de conjuntos. $\veces$

Relaciones entre conjuntos

Para conjuntos y , las relaciones se pueden dar : $A$ $B$

$A$ se incluye en si cada elemento del conjunto también pertenece al conjunto : $B$ $A$ $B$ $A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A\Rightarrow a\in B$
$A$ incluye si está incluido en : $B$ $B$ $A$ $A \supseteq B \Leftrightarrow B \subseteq A$
$A$ es igual si y están incluidos entre sí: $B$ $A$ $B$ $A=B\Leftrightarrow A\subconjunto B,\,B\subconjunto A$
- Para cualquier conjunto ${\ estilo de visualización A = A}$
- si , entonces ${\ estilo de visualización A = B}$ ${\ estilo de visualización B = A}$
- Si , entonces . ${\ estilo de visualización A = B}$ ${\ estilo de visualización B = C}$ ${\ estilo de visualización A = C}$

A veces se distingue una inclusión estricta ( ) de una no estricta ( ), diferenciándose en eso de . Sin embargo, en la mayoría de los casos no se describe el rigor de las inclusiones, por lo que existen registros de inclusiones arbitrarias con signos de inclusión estricta. $A\subconjunto B$ $A\subconjunto B$ $A\subconjunto B\no \Rightarrow A=B$

Operaciones sobre conjuntos

Para una representación visual de las operaciones, a menudo se utilizan los diagramas de Venn , que presentan los resultados de las operaciones en formas geométricas como conjuntos de puntos.

Operaciones Básicas

intersección : (conjunto de puntos comunes) $A\cap B=\{x:x\en A,\,x\en B\};$
union : (conjunto de todos los puntos) $A\taza B=\{x,y:x\en A,\,y\en B\};$

La unión de disjuntos y ( ) también significa:

A

B

A\cap B=\varnada

A+B=A\taza B;

diferencia : (conjunto de puntos del primero sin el segundo) $A\setminus B=\{x:x\en A,\,x\no en B\};$
diferencia simétrica : $A\bigtriangleup B\equiv A~{\dot {-}}~B=(A\cup B)\setminus (A\cap B);$

adición para (conjunto sin ): $A\subconjunto B$ $B$ $A$ ${\overline {A}}\equiv A^{\complement}=B\setminus A;$

booleano (conjunto de todos los subconjuntos): $A$ $2^{A}=\{X:X\subconjunto A\}.$

Para operaciones en conjuntos, las leyes de Morgan también cumplen :

$A\barra invertida (B\cap C)=(A\barra invertida B)\cup (A\barra invertida C)$

$A\barra invertida (B\cup C)=(A\barra invertida B)\cap (A\barra invertida C)$

Prueba

Introducimos el indicador del conjunto como Es fácil demostrar que Probamos uno de los enunciados, asumiendo que la segunda prueba es similar: . (usado ) $A$ $I_{a}:X\supset A\to \{0,1\}:I_{a}(x)={\begin{cases}1,\,\forall x\in A,\\0 ,\,\para todo x\no en A;\end{casos}}$
$I_{a\cap b}=I_{a}I_{b};\,\,\,I_{a\cup b}=I_{a}+I_{b}-I_{a}I_{ b};\,\,\,I_{a\setminus b}=I_{a}-I_{a}I_{b}.$

$A\barra invertida (B\cup C)\,\,\Leftrightarrow I_{a}-I_{a}\cdot I_{b\cup c}\,\,\Leftrightarrow I_{a}-I_{a }\cdot (I_{b}+I_{c}-I_{b}\cdot I_{c})=I_{a}-I_{a}\cdot I_{b}-I_{a}\cdot I_{ c}+I_{a}\cdot I_{b}\cdot I_{c}=$
$=I_{a}^{2}-I_{a}^{2}\cdot I_{b}-I_{a}^{2}\cdot I_{c}+I_{a}\cdot I_ {c}\cdot I_{b}=(I_{a}-I_{a}\cdot I_{b})\cdot (I_{a}-I_{a}\cdot I_{c})\Leftrightarrow (A \barra invertida B)\mayúsculas (A\barra invertida C)$ $I_{a}^{2}=I_{a}$

Prioridad de las operaciones

La secuencia de realizar operaciones en conjuntos, como de costumbre, se puede dar entre paréntesis. En ausencia de paréntesis, primero se realizan operaciones unarias (complemento), luego intersecciones , luego uniones , diferencias y diferencias simétricas . . Las operaciones de la misma prioridad se ejecutan de izquierda a derecha. Al mismo tiempo, debe tenerse en cuenta que, a diferencia de las sumas y restas aritméticas , para las cuales, en particular, es cierto que , esto no es cierto para operaciones similares en conjuntos. Por ejemplo, si entonces pero, al mismo tiempo, . ${\ estilo de visualización (a+b)-c=a+(bc)}$ $A=\{1,3\},B=\{1,2\},C=\{2,3\},$ $(A\cup B)\setminus C=\{1\},$ $A\cup (B\setminus C)=\{1,3\}$

Producto cartesiano

Un producto cartesiano de conjuntos es un conjunto denotado por , cuyos elementos son todos los posibles pares de elementos de los conjuntos originales; $A$ $B$ ${\ estilo de visualización (A \ veces B)}$ $A\times B=\{\{a,b\}:a\en A,\,b\en B\}.$

Es conveniente imaginar que los elementos de un producto cartesiano llenan una tabla de elementos, cuyas columnas describen todos los elementos de un conjunto y las filas, respectivamente, de otro.

Poder

La potencia de un conjunto es una característica de un conjunto que generaliza el concepto de número de elementos de un conjunto finito de tal forma que los conjuntos entre los que es posible establecer una biyección son igualmente potentes. Denotado o . La cardinalidad de un conjunto vacío es cero, para conjuntos finitos la cardinalidad coincide con el número de elementos, para conjuntos infinitos se introducen números cardinales especiales , que se correlacionan entre sí según el principio de inclusión (si , entonces ) y amplían las propiedades de la cardinalidad booleana de un conjunto finito: al caso de conjuntos infinitos. La designación en sí está motivada en gran medida por esta propiedad. $|A|$ $\ sostenido A$ $A\subconjunto B$ $|A| \leqslant |B|$ $|2^A| = 2^{|A|}$ $2^A$

Se denota la potencia infinita más pequeña , esta es la potencia de un conjunto contable (biyectiva ). La cardinalidad de un conjunto continuo (biyectiva o ) se denota por o . En muchos sentidos, la definición de la potencia del continuo se basa en la hipótesis del continuo : la suposición de que no hay potencias intermedias entre la potencia contable y la potencia del continuo. $\aleph_0$ $\matemáticas {N}$ $\matemáticas {R}$ $2^{\mathbb{N} }$ $\mathfrak c$ $2^{\aleph_0}$

Algunos tipos de conjuntos y objetos similares

Conjuntos especiales

Un conjunto vacío es un conjunto que no contiene ningún elemento.
Un conjunto de un elemento es un conjunto que tiene un elemento.
Un conjunto universal (universo) es un conjunto que contiene todos los objetos concebibles. En relación conla paradoja de Russell,este concepto se interpreta actualmente de manera más restringida como "un conjunto que incluye todos los conjuntos y objetos que participan en el problema que se está considerando".

Objetos similares

Una tupla (específicamente, un par ordenado ) es una colección ordenada de un número finito de objetos con nombre. Se escribe entre paréntesis o corchetes angulares y los elementos se pueden repetir.
Un multiconjunto (en la teoría de las redes de Petri se denomina “conjunto”) es un conjunto con múltiples elementos.
Un espacio es un conjunto con alguna estructura adicional.
Un vector es un elemento de un espacio lineal que contiene un número finito de elementos de algún campo como coordenadas. El orden importa, los elementos se pueden repetir.
Una secuencia es una función de una variable natural . Representado como un conjunto infinito de elementos (no necesariamente diferentes), cuyo orden importa.
Un conjunto borroso es un objeto matemático similar a un conjunto cuya pertenencia no está dada por una relación sino por una función . En otras palabras, respecto a los elementos de un conjunto borroso, se puede decir “en qué medida” están incluidos en él, y no sólo si están incluidos o no.

Por jerarquía

Un sistema de conjuntos (conjunto de conjuntos) es un conjunto cuyos elementos también son conjuntos, generalmente de origen similar (por ejemplo, todos pueden ser subconjuntos de algún otro conjunto) [7] .
- Álgebra de conjuntos , anillo de conjuntos son ejemplos de tipos de estructuras que son sistemas de conjuntos.
- Booleano es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado.
Una familia de conjuntos es un análogo indexado de un sistema de conjuntos.
Subconjunto
superconjunto

Notas

↑ Conjunto // Enciclopedia Matemática (en 5 volúmenes) . - M .: Enciclopedia soviética , 1982. - T. 3. - S. 762.
↑ Stoll, Robert. Conjuntos, Lógica y Teorías Axiomáticas . - W. H. Freeman and Company, 1974. - P. 5 .
↑ Steve Russ. Las Obras Matemáticas de Bernard Bolzano . - OUP Oxford, 9 de diciembre de 2004. - ISBN 978-0-19-151370-1 . Archivado el 27 de abril de 2022 en Wayback Machine .
↑ Guillermo Ewald. De Kant a Hilbert Volumen 1: Un libro de consulta sobre los fundamentos de las matemáticas / William Ewald, William Bragg Ewald. - OUP Oxford, 1996. - Pág. 249. - ISBN 978-0-19-850535-8 . Archivado el 22 de abril de 2022 en Wayback Machine .
↑ Paul Rusnock. Bernard Bolzano: su vida y obra / Paul Rusnock, Jan Sebestik. - OUP Oxford, 25 de abril de 2019. - Pág. 430. - ISBN 978-0-19-255683-7 . Archivado el 17 de abril de 2022 en Wayback Machine .
↑ "Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens - welche Elemente der Menge genannt werden - zu einem Ganzen". Copia archivada . Consultado el 22 de abril de 2011. Archivado desde el original el 10 de junio de 2011. (indefinido)
↑ Studopedia - Teoría de conjuntos . Consultado el 2 de mayo de 2020. Archivado desde el original el 25 de noviembre de 2020. (indefinido)

Literatura

K. Kuratovsky , A. Mostovsky . Teoría de conjuntos / Traducido del inglés por M. I. Brevemente, editado por A. D. Taimanov. - M. : Mir, 1970. - 416 p.
Stoll R. R. Conjuntos. Lógicas. teorías axiomáticas. / Traducción del inglés por Yu. A. Gastev e I. Kh. Shmain, editado por Yu. A. Shikhanovich . - M. : Educación, 1968. - 232 p.

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