Cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas

El cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas es una rama del álgebra conmutativa que surge en la década de los setenta del siglo pasado.

Operadores escalares

Sea un campo, sea un álgebra sobre un campo , conmutativa y con unidad, y sea una función -lineal, . Cualquier elemento del álgebra puede entenderse como un operador de multiplicación: . Los operadores y , generalmente hablando, no conmutan, y la igualdad se cumple si y solo si es un -homomorfismo. ${\ estilo de visualización \ Bbbk}$ $A$ ${\ estilo de visualización \ Bbbk}$ ${\ estilo de visualización \ Delta \ dos puntos A \ a A}$ ${\ estilo de visualización \ Bbbk}$ $\Delta \in \mathrm {Hom} _{\Bbbk}(A,A)$ $a \ en A$ ${\ estilo de visualización a (b) = ab, \ b \ en A}$ $a$ $\Delta$ $a\circ \Delta -\Delta \circ a=[a,\Delta]=0$ $\Delta$ $A$

Definición 1 . se llama operador diferencial (DO) de orden de a si para cualquier $\Delta \in \mathrm {Hom} _{\Bbbk}(A,A)$ ${\ estilo de visualización \ leq n}$ $A$ $A$ $a_{0},\puntos,a_{n}\en A$

[a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},\Delta]\ldots]]]=0.

El conjunto de todos los TO de orden desde hasta se denota por . La suma de dos DO de orden volverá a ser DO de orden , y el conjunto es estable con respecto a la multiplicación izquierda y derecha por elementos del álgebra , por lo que está dotado de la estructura bimódulo natural over . ${\ estilo de visualización \ leq n}$ $A$ $A$ $\mathrm {Dif} _{n}A$ ${\ estilo de visualización \ leq n}$ ${\ estilo de visualización \ leq n}$ $\mathrm {Dif} _{n}A$ $A$ $A$

Derivaciones

Los puntos de álgebra se llaman -homomorfismos de a . Denote el conjunto de todos los puntos del álgebra , equipado con la topología de Zariski, por . Los elementos de álgebra pueden entenderse como funciones en el espacio por medio de la configuración . $A$ ${\ estilo de visualización \ Bbbk}$ $A$ ${\ estilo de visualización \ Bbbk}$ $A$ ${\ estilo de visualización \ vert A \ vert}$ $A$ ${\ estilo de visualización \ vert A \ vert}$ $a(z)=z(a),\ z\in \vert A\vert$

Definición 2 . Un mapeo se llama vector tangente al espacio en un punto si satisface la regla de Leibniz en ese punto: ${\ estilo de visualización \ Delta _ {z} \ dos puntos A \ a \ Bbbk}$ ${\ estilo de visualización \ vert A \ vert}$ ${\ estilo de visualización z \ en \ vert A \ vert}$

\Delta _{z}(fg)=f(z)\Delta _{z}(g)+g(z)\Delta _{z}(f),\quad f,g\in A.

El conjunto de todos los vectores tangentes en un punto tiene la estructura natural de un espacio vectorial sobre . Se llama el espacio tangente del espacio en el punto . $T_{z}\vert A\vert$ ${\ estilo de visualización z \ en \ vert A \ vert}$ ${\ estilo de visualización \ Bbbk}$ ${\ estilo de visualización \ vert A \ vert}$ $z$

Definición 3 . Una aplicación se llama derivación de un álgebra con valores en si cumple la regla de Leibniz: ${\ estilo de visualización \ Delta \ dos puntos A \ a A}$ $A$ $A$

\Delta (fg)=f\Delta (g)+g\Delta (f),\quad f,g\in A.

El conjunto de todas las derivaciones de un álgebra con valores en tiene la estructura natural de un módulo izquierdo. (La multiplicación correcta no preserva este conjunto). Cualquier diferenciación define una familia de vectores tangentes para todos los puntos : . $D(A)$ $A$ $A$ $A$ $\Delta$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {z}}$ ${\ estilo de visualización z \ en \ vert A \ vert}$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {z} (f) = (\ Delta (f)) (z)}$

Las derivaciones, por supuesto, son ANTES del pedido : ${\ estilo de visualización \ leq 1}$

{\displaystyle D(A)=\{\Delta \in \mathrm {Diff}_{1}A\ \vert \ \Delta (k)=0\ \forall k\in \Bbbk \))

Se define un isomorfismo natural de los módulos izquierdos $A$

\mathrm {Dif}_{1}A=D(A)+A.

Funciones suaves

Si es el álgebra de funciones suaves sobre la variedad , entonces está naturalmente dotada de la estructura de una variedad suave y resulta que . $A=C^{\infty}(M)$ $METRO$ $\vert C^{\infty}(M)\vert$ $\vert C^{\infty}(M)\vert =M$

teorema _ Sea y un sistema de coordenadas locales en alguna vecindad de . Entonces las restricciones sobre y sobre se pueden escribir de la siguiente forma $\Delta \in \mathrm {Dif} _{l}A,\ \nabla \in \mathrm {D} (A)$ $x_1,\puntos,x_n$ $U\subconjunto M$ $\Delta$ $\nabla$ $tu$

\nabla {\big |}_{U}=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}{\dfrac {\parcial }{\parcial x_{i))}, \quad \alpha _{i}\in C^{\infty}(U)

\Delta {\big |}_{U}=\sum _{|\sigma |=0}^{l}\alpha _{\sigma }{\dfrac {\parcial ^{|\sigma |} }{\parcial x^{\sigma }}},\quad \alpha _{\sigma }\in C^{\infty }(U)

En otras palabras, para el álgebra de funciones suaves sobre M, la definición "algebraica" de DO coincide con la clásica, y las derivaciones del álgebra son campos vectoriales sobre . $C^{\infty}(M)$ $METRO$

Caso general

Dejemos que se acaben los módulos . Las definiciones 1 y 3 se trasladan sin cambios a este caso: ${\ estilo de visualización P, \ Q}$ $A$

Definición 4 . -el homomorfismo se denomina operador diferencial lineal de orden de a ~ si para cualquier ${\ estilo de visualización \ Bbbk}$ ${\ estilo de visualización \ Delta \ dos puntos Q \ a P}$ ${\ estilo de visualización \ leq n}$ $q$ $PAGS$ $a_{0},\puntos,a_{n}\en A$

[a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},\Delta]\ldots]]]=0

Definición 5 . Una aplicación se llama derivación de un álgebra con valores en si cumple la regla de Leibniz: ${\ estilo de visualización \ Delta \ dos puntos A \ a A}$ $A$ $PAGS$

\Delta (fg)=f\Delta (g)+g\Delta (f),\quad f,g\in A.

El conjunto de todos los DO de orden de a es un bimódulo sobre , y el conjunto de todas las derivaciones de a es un módulo izquierdo . $\mathrm {Diferencia} _{n}(P,Q)$ ${\ estilo de visualización \ leq n}$ $q$ $PAGS$ $A$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {D} (P)}$ $A$ $PAGS$ $A$

Si es el álgebra de funciones suaves en la variedad , entonces los módulos proyectivos finitamente generados no son otros que los módulos de secciones de paquetes de vectores de dimensión finita . En este caso, la Definición 4 describe DO en funciones con valores vectoriales que las transforman en funciones con valores vectoriales, mientras que la Definición 5 describe campos vectoriales con valores vectoriales. $A=C^{\infty}(M)$ $METRO$ $A$ $METRO$

Representación de objetos y geometrización

Funtores y son representables: $\mathrm {Dif} _{n}(P,\quad )$ $\mathrm {D} =\mathrm {D} (\quad)$

teorema _ 1. Hay módulos únicos y derivaciones tales que para cualquier módulo hay un isomorfismo natural $A$ $\lambda$ $d\colon A\to \Lambda$ $A$ $q$

\mathrm {D} (Q)=\mathrm {Hom} _{A}(\Lambda ,Q),\quad \mathrm {Hom} _{A}(\Lambda ,Q)\ni h\leftrightarrow h\circ d\in \mathrm {D} (Q).

2. Hay módulos únicos y DO de orden tal que para cualquier módulo hay un isomorfismo natural $A$ ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $j_{n}\colon P\to {\mathcal {J}}^{n}(P)$ ${\ estilo de visualización \ leq n}$ $A$ $q$

\mathrm {Diff} _{n}(P,Q)=\mathrm {Hom} _{A}({\mathcal {J}}^{n}(P),Q),\quad \mathrm {Hom} _{A}({\mathcal {J}}^{n}(P),Q)\ni h\leftrightarrow h\circ j_{n}\in \mathrm {Diff} _{n}(P ,Q).

Derivación y DO se denominan diferenciación universal y DO universal de orden , respectivamente, y los módulos y se denominan módulo de formas diferenciales de primer orden y módulo de jets de orden . (A veces se usa el término "chorro" en lugar del término "chorro".) $d$ $j_n$ ${\ estilo de visualización \ leq n}$ $\lambda$ ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $norte$

Módulos y se describen simplemente "en los dedos". Es decir, el módulo es generado por todos los elementos posibles del formulario para los que se cumplen las siguientes relaciones: ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $\lambda$ $A$ ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ ${\ Displaystyle j_ {n} (p), \ p \ en P}$

j_{n}(kp)=kj_{n}(p)\ \forall k\en \Bbbk,\ p\en P

{\big (}[a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},j_{n}]\ldots]]]{\big )}(p)= 0\ \para todos los p\en P,\ a_{0},\puntos,a_{n}\en A

, dónde , y así sucesivamente.

{\grande (}[a_{0},j_{n}]{\grande )}(p)=a_{0}j_{n}(p)-j_{n}(a_{0}p ),\quad {\grande (}[a_{1}[a_{0},j_{n}]]{\grande )}(p)=a_{1}a_{0}j_{n}(p) -a_{1}j_{n}(a_{0}p)-a_{0}j_{n}(a_{1}p)+j_{n}(a_{1}a_{0}p)

De manera similar, el módulo es generado por todos los elementos posibles de la forma para los que se cumplen las siguientes relaciones: $A$ $\lambda$ $da,\a\in A$

d(ka)=kda\ \forall k\in \Bbbk ,\a\in A

d(ab)=adb+bda\ \forall a,b\in A

Sería natural esperar aquí también que para el álgebra las formas diferenciales resulten ser formas diferenciales "ordinarias" en la variedad , y los chorros, chorros "ordinarios" , pero este no es el caso. La razón de esto es la existencia de elementos invisibles en las construcciones algebraicas , es decir, elementos distintos de cero, que, sin embargo, son iguales a cero en todos los puntos de la variedad . Por ejemplo, sea , la forma diferencial es distinta de cero, pero . Los módulos que no contienen elementos invisibles se denominan geométricos. Para cualquier módulo , el conjunto de todos los elementos invisibles forma un submódulo cuyo factor es un módulo geométrico y se denota por . Los módulos y , donde es un módulo geométrico, serán los objetos de representación para los funtores y en la categoría de módulos geométricos sobre . Resultan isomorfos al módulo de formas diferenciales "ordinarias" y al módulo de chorros "ordinarios", respectivamente. $A=C^{\infty}(M)$ $METRO$ $METRO$ $M=\mathbb {R} ^{1}$ $e^{x}dx-de^{x}\in\Lambda$ $(e^{x}dx-de^{x}){\big |}_{z}=0\ \forall z\in \mathbb {R} ^{1}$ $C^{\infty}(M)$ $C^{\infty}(M)$ $S$ ${\ estilo de visualización G (S)}$ ${\ estilo de visualización G (\ Lambda)}$ $G({\mathcal {J}}^{n}(P))$ $PAGS$ $\mathrm{D}$ $\mathrm {Dif} _{n}(P,\quad )$ $A=C^{\infty}(M)$

Álgebras graduadas

Esta teoría se puede transferir fácilmente al caso de las álgebras graduadas (superálgebras en la antigua terminología), donde, en particular, da una nueva mirada a construcciones como las formas integrales y la integral de Berezin.

Aplicaciones

El hecho de que el cálculo diferencial sea una rama del álgebra conmutativa es interesante en sí mismo y está estrechamente relacionado con uno de los conceptos físicos más importantes: el concepto de lo observable . Las construcciones algebraicas invariantes permiten trabajar donde el enfoque clásico de coordenadas es demasiado engorroso, o incluso imposible, por ejemplo, en el caso de variedades con singularidades o infinitas. Se utilizan en la mecánica hamiltoniana y lagrangiana , la teoría de las leyes de conservación, el cálculo secundario , sin mencionar la geometría algebraica y diferencial .

Antecedentes históricos

La definición de DO en la categoría de módulos sobre álgebras conmutativas apareció, independientemente entre sí, en los trabajos de P. Gabriel [1] , S. Suzuki [2] y A. M. Vinogradov [3] . Sin embargo, solo A. M. Vinogradov se dio cuenta de la importancia total del enfoque algebraico de DO, y él y sus alumnos hicieron la principal contribución al desarrollo de esta teoría.

Véase también

Notas

↑ P. Gabriel , Construction de préschémas-quotients (d'après Grothendieck A.), Généralités sur les groupes algébriques, Étude infinitésimale des schémas en groupes, SGA3 Schémas en groupes, Séminaire de Géométrie algébrique du Bois Marie (1962-1964), lect. Notas en matemáticas. 151, Springer (1970), 251-286, 287-317, 411-562.
↑ Satoshi Suzuki , Diferenciales de anillos conmutativos, Documentos de Queen's University sobre matemáticas puras y aplicadas, 29, Queen's University, Kingston, 1971.
↑ A. M. Vinogradov , Álgebra de lógica de la teoría de operadores diferenciales lineales Archivado el 12 de diciembre de 2021 en Wayback Machine , DAN 205:5 (1972), 1025-1028.

Literatura

Jet Nestruev , Smooth Manifolds and Observables , MCNMO, Moscú, 2000.
A. M. Vinogradov, I. S. Dyer , ¿Qué es el formalismo hamiltoniano? // Avances en Ciencias Matemáticas. - 1975. - V. 30, número 1 (181), - págs. 173–198.
A. M. Vinogradov, I. S. Krasilshchik, V. V. Lychagin , Introducción a la geometría de ecuaciones diferenciales no lineales, Capítulo 1. Operadores diferenciales lineales en álgebras conmutativas M., Nauka, 1986.
A. M. Vinogradov , Algunos sistemas homológicos relacionados con el cálculo diferencial en álgebras conmutativas // Uspekhi matematicheskikh nauk. - 1979. - V. 34, número 6 (210), - págs. 145–150.
IS Krasil'shchik , Conferencias sobre operadores diferenciales lineales sobre álgebras conmutativas. Impresión electrónica DIPS -01/98
Aspectos algebraicos del cálculo diferencial, editado por Joseph Krasil'shchik y Alexandre Vinogradov , - Número especial de Acta Applicandae Mathematicae, Volumen 49, Número 3, diciembre de 1997, 321 páginas, ISSN: 0167-8019. (Los artículos de este número están disponibles electrónicamente individualmente: DIPS-01/96 , DIPS-02/96 , DIPS-03/96 , DIPS-04/96 , DIPS-05/96 , DIPS-06/96 , DIPS-07 / 96 , DIPS-08/96 ).
IS Krasil'shchik, AM Verbovetsky , Métodos Homológicos en Ecuaciones de Física Matemática, Ed. Abierta. y Ciencias, Opava (Rep. Checa), 1998; EprintarXiv :math/9808130v2 .
Alexandre M. Vinogradov , Lógica del cálculo diferencial y el zoológico de estructuras geométricas, arXiv:1511.06861 .
AM Vinogradov , Análisis cohomológico de ecuaciones diferenciales parciales y cálculo secundario, - Serie AMS "Traducción de monografías matemáticas", vol. 204, 247 páginas, 2001.