Ejemplo a Pompeyo

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El ejemplo de Pompeyo es un ejemplo de una función diferenciable cuya derivada ( derivada de Pompeyo ) se anula en un conjunto denso . En particular, la derivada de Pompeyo es discontinua en cualquier punto donde no sea igual a 0.

Historia

La cuestión de si pueden existir tales funciones que no sean idénticamente cero surgió en el contexto de la investigación sobre diferenciabilidad funcional e integrabilidad a principios del siglo XX. Esta pregunta fue respondida afirmativamente por Dimitri Pompeiou al construir un ejemplo explícito.

Edificio

Denotemos la raíz cúbica real de un número real . Elegimos una enumeración de números racionales en el intervalo unitario y números positivos tal que ${\raíz cuadrada[ {3}]{x}}$ $X$ ${\ estilo de visualización q_ {1}, q_ {2}, \ puntos}$ $a_{1},a_{2},\puntos$

a_{1}+a_{2}+\puntos <\infty

Considere la función

g(x):=a_{0}+\sum _{j=1}^{\infty}\,a_{j}{\sqrt[{3}]{x-q_{j))} .

Para cualquier x de [0, 1], cada término de la serie es menor o igual que un j en valor absoluto, de modo que por la prueba de Weierstrass, la serie converge uniformemente a una función continua estrictamente creciente g ( x ) . Además, resulta que la función g es diferenciable, y

g'(x):={\frac {1}{3}}\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {a_{j}}{\sqrt[{3}] {(x-q_{j})^{2}}}}>0,

en cualquier punto donde la suma sea finita; además, en todos los demás puntos, en particular, en cualquiera de q j , g ′( x ) := +∞ .

Dado que la imagen de g es un intervalo acotado cerrado con el extremo izquierdo

g(0)=a_{0}-\sum_{j=1}^{\infty}\,a_{j}{\sqrt[{3}]{q_{j))},

hasta la elección de un 0 podemos suponer g (0) = 0 y hasta la elección de un factor multiplicativo podemos suponer que g mapea el intervalo [0, 1] sobre sí mismo. Dado que g es estrictamente creciente, es inyectiva y, por lo tanto, un homeomorfismo .

Por el teorema de diferenciación de función inversa, la función inversa f := g −1 tiene una derivada finita en cualquier punto, que se anula al menos en los puntos { g ( q j )} j ∈ℕ . Forman un subconjunto denso de [0, 1] (de hecho, la derivada desaparece en un conjunto más grande, ver Propiedades).

Propiedades

Dado que el conjunto de ceros de la derivada de cualquier función diferenciable en todas partes es un conjunto G-delta , para cualquier función de Pompeya este conjunto es un conjunto G-delta denso . En particular, es incontable por el teorema de Baire .
Una combinación lineal de funciones de Pompeyo tiene una derivada y se anula en el conjunto , que es un conjunto G-delta denso. Así, las funciones de Pompeyo forman un espacio vectorial . $a\cdot f+b\cdot g$ ${\displaystyle \{\,x\in \mathbb {R} \mid f'(x)=g'(x)=0\,\))$
La función límite de una sucesión uniformemente convergente de derivadas de Pompeya es una derivada de Pompeya. De hecho, esta es la derivada por el teorema del límite bajo el signo de la derivada. Además, desaparece en la intersección de los conjuntos cero de las funciones de secuencia: dado que estos son conjuntos G-delta densos, el conjunto cero de la función límite también es denso.
- Como consecuencia, la clase E de todas las derivadas de Pompeyo acotadas en el intervalo [ a , b ] es un subespacio lineal cerrado del espacio de Banach de todas las funciones acotadas con respecto a la distancia uniforme (por lo tanto, es un espacio de Banach).
- La construcción de Pompeiu anterior es positiva , lo cual es una propiedad rara: el teorema de Weyl establece que, en general, la derivada de Pompeiou toma valores tanto positivos como negativos en conjuntos densos, en el sentido exacto de que tales funciones constituyen un conjunto denso G-delta de un espacio de Banach
E.

Literatura

Pompeya, Dimitrie (1907). Sur les fonctions dérivées . Anales matemáticos [ fr. ]. 63 (3): 326-332. DOI : 10.1007/BF01449201 . Consultado el 12 de octubre de 2021 .
Andrew M. Bruckner, "Diferenciación de funciones reales"; Serie de Monografías CRM, Montreal (1994).