Derivada fraccionaria

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La derivada fraccionaria (o derivada de orden fraccionario) es una generalización del concepto matemático de derivada . Hay varias formas diferentes de generalizar este concepto, pero todas coinciden con el concepto de derivada ordinaria en el caso del orden natural. Cuando no solo se consideran órdenes fraccionarios sino también negativos de una derivada, el término diferir integral generalmente se aplica a dicha derivada .

Derivadas fraccionarias sobre un segmento del eje real

Para una función definida en el intervalo , cada una de las expresiones $f(x)$ ${\ estilo de visualización [a, \, b]}$

$D_{a+}^{\alpha }\,f(x)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha ))){\frac {d}{dx))\int \limits _{a}^{x}{\frac {f(t)\,dt}{(xt)^{\alpha }}},\quad \,D_{b-}^{\alpha }\,f( x)=-{\frac {1}{\Gamma (1-\alpha)}}{\frac {d}{dx}}\int \limits _{x}^{b}{\frac {f(t )\,dt}{(tx)^{\alfa }}},$

se llama la derivada fraccionaria de orden , , respectivamente, zurda y diestra. Las derivadas fraccionarias en la forma anterior generalmente se denominan derivadas de Riemann-Liouville. $\alfa$ $0 < \ alfa < 1$

Definición a través de la integral de Cauchy

La derivada fraccionaria del orden ( es un número real positivo) se determina a través de la integral de Cauchy: , donde la integración se realiza a lo largo de un contorno preseleccionado en el plano complejo. La aplicación directa de esta fórmula es difícil debido a la ramificación de la función con un exponente fraccionario en el denominador. $pags$ $pags$ $D_{C}^{p}f(t)={\frac {1}{\Gamma (p)))\!\int \limits_{C}{\frac {f(u)}{ (tu)^{p+1}}}\,du$ $C$

Definición a través de la transformada de Fourier

Basado en la siguiente propiedad de la transformada integral de Fourier

F[D^{k}\psi (x)](\omega )=(-i\omega )^{k}(F\psi )(\omega )\quad (k\in \mathbb {N } ).

[una]

Definición a través de la fórmula general de la n -ésima derivada

Si existe una expresión analítica general para la derivada de orden n , el concepto de derivada fraccionaria se puede introducir de forma natural generalizando esta expresión (cuando sea posible) al caso de un número arbitrario n .

Ejemplo 1: diferenciación de polinomios

Sea un monomio de la forma $f(x)$

{\ estilo de visualización f (x) = x ^ {k} \,.}

La primera derivada, como siempre

f'(x)={d \over dx}f(x)=kx^{k-1}\,.

La repetición de este procedimiento da un resultado más general.

{d^{n} \over dx^{n}}x^{k}={k!  \sobre (kn)!}x^{kn}\,,

que, después de reemplazar factoriales por funciones gamma , conduce a

{d^{n} \over dx^{n}}x^{k}={\Gamma (k+1) \over \Gamma (k-n+1)}x^{kn}\, .

Por tanto, por ejemplo, la semiderivada de la función x es

{d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2}}x={\Gamma (1+1) \over \Gamma (1-{1 \over 2}+1)} x^{1-{1 \sobre 2}}={\Gamma (2) \sobre \Gamma ({3 \sobre 2})}x^{1 \sobre 2}={2\pi ^{-{1 \sobre 2}}}x^{1 \sobre 2}\;={\frac {2\,x^{1 \sobre 2}}{\sqrt {\pi }}}\,.

Repitiendo el procedimiento tendremos

{d^{1 \sobre 2} \sobre dx^{1 \sobre 2}}{2\pi ^{-{1 \sobre 2}}}x^{1 \sobre 2}={2\ pi ^{-{1 \over 2))}{\Gamma (1+{1 \over 2}) \over \Gamma ({1 \over 2}-{1 \over 2}+1)}x^{ {1 \sobre 2}-{1 \sobre 2}}={2\pi ^{-{1 \sobre 2}}}{\Gamma ({3 \sobre 2}) \sobre \Gamma (1)}x ^{0}={1 \sobre \Gamma (1)}=1\,,

Cuál es el resultado esperado

\left({\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}{\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}} \right)x={d \sobre dx}x=1\,.

Por lo tanto, es posible introducir derivadas fraccionarias de un orden positivo arbitrario de un polinomio. La definición también se generaliza naturalmente a las funciones analíticas . Considerando como una función meromórfica de una variable compleja, podemos generalizar la definición al caso de un orden arbitrario de diferenciación. Donde $\Gama$

{\left({d \over dx}\right)}^{a}{\left({d \over dx}\right)}^{b}={\left({d \over dx} \derecho)}^{a+b}

en todos tales que , y no son enteros negativos. $x^{k}$ ${\ Displaystyle ka}$ ${\ estilo de visualización kb}$ ${\ displaystyle kab}$

Cabe señalar que la derivada en el sentido considerado tiene lugar para entero negativo n , sin embargo, tal derivada difiere del concepto de antiderivada de orden n , ya que la antiderivada no está unívocamente definida, mientras que la derivada coincide con una sola de las antiderivadas. En este caso, podemos hablar sobre el significado principal de la antiderivada.

Ejemplo 2: Diferenciación de funciones trigonométricas

Dejar

f(x)=\sin(ax+b)\,.

Como para cualquier a y b

{d^{n} \over dx^{n}}\sin(ax+b)=a^{n}\sin \left(ax+b+{\pi n \over 2}\right)\ ,,

entonces , suponiendo ${\ estilo de visualización n = 1/2}$

{{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}}\sin(ax+b)={\sqrt {a}}\,\sin \left(ax+b+ {\pi \sobre 4}\derecha)\,.

En realidad,

{{d^{1/2}} \sobre {dx^{1/2}}}\left({{d^{1/2}} \sobre {dx^{1/2}}} \sin(ax+b)\right)={\sqrt {a}}\;{\sqrt {a}}\,\sin \left(ax+b+{\pi \over 4}+{\pi \over 4}\derecha)=a\,\cos(ax+b)=f'(x)\,.

En el ejemplo considerado, el concepto de derivada se generaliza al caso de cualquier orden real e incluso complejo. Entonces, en , la fórmula para la n-ésima derivada da una de las antiderivadas de la función . $n=-1$ $f(x)$

Propiedades

Las principales propiedades de una derivada de orden no entero:

linealidad

D_{t}^{q}(f(t)+g(t))=D_{t}^{q}(f(t))+D_{t}^{q}(g(t ))

D^{q}(ax)=aD^{q}(x)

regla cero

D^{0}x=x

Derivada fraccionaria de un producto

D_{t}^{q}(f(t)g(t))=\sum _{j=0}^{\infty}{q \elegir j}D_{t}^{j}( f(t))D_{t}^{qj}(g(t))

propiedad de semigrupo

D^{a}D^{b}f(t)=D^{a+b}f(t)

generalmente insatisfecho [1] .

Notas

↑ 1 2 Véase Fórmula (1.3.11) (p. 11) en AA Kilbas, HM Srivastava, JJ Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations. (Elsevier, 2006)

Véase también

Literatura

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Tarasov VE Modelos de física teórica con integro-diferenciación fraccionaria. - Moscú, Izhevsk: RHD, 2010. - 568 p.
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VE Tarasov. Dinámica Fraccionaria: Aplicaciones del Cálculo Fraccionario a la Dinámica de Partículas, Campos y Medios . - 2010. - 450 págs.
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AA Kilbas, HM Srivastava, JJ Trujillo. Teoría y Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales Fraccionarias. — Elsevier. — Ámsterdam, 2006.
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K. Miller, B. Ross. Una introducción al cálculo fraccionario y las ecuaciones diferenciales fraccionarias. — Nueva York: Wiley, 1993.
I. Podlubny. Ecuaciones diferenciales fraccionarias. - San Diego: Prensa Académica, 1999.
B.Ross. Una breve historia y exposición de la teoría fundamental del cálculo fraccionario. — Notas Matemáticas, 1975.

Enlaces

revista: "Cálculo fraccionario y análisis aplicado", (de 1998 a 2014) y Cálculo fraccionario y análisis aplicado (desde 2015)
Revista: Ecuaciones diferenciales fraccionarias (FDE)
Revista de cálculo fraccionario y aplicaciones (JFCA)
Diario: Progreso en diferenciación fraccionaria y aplicaciones
revista: Comunicaciones en cálculo fraccionario (ISSN 2218-3892)
Aplicaciones del Cálculo Fraccionario
Cálculo fraccionario, la definición de Riemann-Liouville de la integral fraccionaria, una definición de derivadas fraccionarias y una lista de aplicaciones del cálculo. (Inglés)
cálculo fraccionario
Cálculo fraccionario: contiene notas introductorias sobre cálculo fraccionario
Weisstein, Eric W. Fractional Calculus (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Integrales fraccionarias y derivadas y sus aplicaciones. S. G. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Marichev, Minsk, 1987 (enlace inaccesible)