Matriz idempotente

Una matriz idempotente es una matriz que es idempotente con respecto a la multiplicación de matrices , es decir, una matriz que cumple la condición . $PAGS$ $P\cdot P=P$

Ejemplos

Ejemplos de matrices idempotentes:

{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix)),

{\begin{pmatrix}-26&-18&-27\\21&15&21\\12&8&13\end{pmatrix}}

Matrices reales de orden 2

Si la matriz es idempotente, entonces ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

$a=a^{2}+bc,$
$b=ab+bd,$ de donde , por lo tanto , o bien , o bien $b(1-anuncio)=0$ ${\ estilo de visualización b = 0}$ ${\ estilo de visualización d = 1-a,}$
$c=ca+cd,$ de donde , por lo tanto , o bien , o bien $c(1-anuncio)=0$ $c=0$ ${\ estilo de visualización d = 1-a,}$
$d=bc+d^{2}.$

Así, una condición necesaria para la idempotencia de una matriz de orden 2 es su diagonalidad o la igualdad de su traza a la unidad. Para matrices diagonales idempotentes , y solo puede ser igual a cero o uno. $a$ $d$

Cuando la matriz sea idempotente en , es decir, si es solución de la ecuación cuadrática $b=c$ ${\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}$ $a^{2}+b^{2}=a$ $a$

{\ estilo de visualización a^{2}-a+b^{2}=0}

\left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4)),

que es la ecuación de una circunferencia de radio 1/2 con centro en (1/2, 0).

Sin embargo, la igualdad no es una condición necesaria: cualquier matriz de la forma $b=c$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}

para será idempotente.

a^{2}+bc=a

Propiedades

Si la matriz es idempotente, entonces la matriz también es idempotente, ya que $A$ ${\ estilo de visualización IA}$

(IA)(IA)=IA-A+A^{2}=IA-A+A=IA.

Usando el método de inducción matemática , es fácil demostrar que si la matriz es idempotente, entonces para cualquier número natural , . $A$ $norte$ ${\ estilo de visualización A^{n}=A}$

Si la matriz es idempotente, entonces la matriz es involutiva , y por el contrario, si la matriz es involutiva, entonces la matriz es idempotente [1] . $PAGS$ $I=2P-E$ $yo$ $P={\frac{1}{2}}(I+E)$

Reversibilidad

La única matriz idempotente no degenerada es la matriz identidad . De hecho, supongamos que existe una matriz idempotente . entonces _ $A$ $A^{{-1}}$ $A=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I$

Valores propios

Toda matriz idempotente es siempre diagonalizable y sus autovalores son cero y uno [2] .

La traza de una matriz idempotente es igual a su rango . Esto permite calcular la traza de una matriz cuyos elementos no están especificados explícitamente, lo que resulta útil, por ejemplo, en estadística a la hora de establecer el grado de desviación de la varianza muestral respecto a la varianza teórica .

Aplicaciones

Regresión lineal

Al resolver un problema de regresión lineal utilizando el método de mínimos cuadrados , es necesario encontrar un vector de estimación que minimice la suma de las desviaciones al cuadrado , que se escribe en forma matricial como $\beta$ $e_{yo}$

e^{\mathrm {T} }e=(yX\beta )^{\mathrm {T} }(yX\beta ),

donde es el vector de observaciones de la variable dependiente, es una matriz cuyas columnas representan las observaciones de las variables independientes . La solución es el vector. $y$ $X$

{\hat {\beta }}=\left(X^{\mathrm {T} }X\right)^{-1}X^{\mathrm {T} }y,

y el vector de desviación correspondiente es [3]

{\hat {e}}=yX{\hat {\beta }}=yX\left(X^{\mathrm {T} }X\right)^{-1}X^{\mathrm {T } }y=\left[IX\left(X^{\mathrm {T} }X\right)^{-1}X^{\mathrm {T} }\right]y=Mi.

Aquí , y son matrices idempotentes y simétricas , lo que simplifica el cálculo de la suma de las desviaciones al cuadrado: $METRO$ $X\left(X^{\mathrm {T} }X\right)^{-1}X^{\mathrm {T} }$

{\hat {e}}^{\mathrm {T} }{\hat {e}}=(Mi)^{\mathrm {T} }(Mi)=y^{\mathrm {T} } M^{\mathrm {T} }Mi=y^{\mathrm {T} }MMy=y^{\mathrm {T} }Mi.

La idempotencia también se utiliza en otros cálculos, como la determinación de la varianza del vector de puntuación . $METRO$ ${\ estilo de visualización {\ sombrero {\ beta}}}$

Sea la matriz obtenida de quitar algunas columnas, y sea . Es fácil comprobar que y , y son idempotentes y, además, . Esto se deriva del hecho de que o, en otras palabras, las desviaciones en la regresión de las columnas son iguales a cero, ya que se puede interpolar idealmente como un subconjunto (por sustitución directa, también se puede demostrar fácilmente que ). De ello se deduce que la matriz es simétrica e idempotente y que , es decir, ortogonal a . Estos resultados juegan un papel clave, por ejemplo, en la derivación de la prueba F. $X_{1}$ $X$ $M_{1}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'$ $METRO$ $M_{1}$ ${\ estilo de visualización MM_ {1} = M}$ ${\ estilo de visualización MX_ {1} = 0}$ $X_{1}$ $X$ $X_{1}$ $X$ ${\ estilo de visualización MX = 0}$ ${\ estilo de visualización (M_{1}-M)}$ ${\ estilo de visualización (M_{1}-M) M = 0}$ ${\ estilo de visualización (M_{1}-M)}$ $METRO$

El operador de proyección

El operador lineal idempotente es el operador de proyección sobre la imagen a lo largo del núcleo . Un operador realiza una proyección ortogonal si y solo si es idempotente y simétrico. $PAGS$ ${\ estilo de visualización R (P)}$ ${\ estilo de visualización N (P)}$ $PAGS$

Véase también

Matriz nilpotente

Notas

↑ Fundamentos de álgebra lineal, 1975 , p. 29
↑ Horn y Johnson, 1990 , pág. 148.
↑ Greene, 2003 , pág. 808–809.

Literatura

Maltsev AI Fundamentos de álgebra lineal. — M .: Nauka, 1975. — 400 p.
Horn, R.A. , Johnson, C.R. Análisis matricial . - Prensa de la Universidad de Cambridge , 1990. - ISBN 0521386322 .
Greene, W. H. Análisis econométrico . — 5ª edición. - Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall , 2003. - ISBN 0130661899 .