Espacio tangente de Zariski

El espacio tangente de Zariski es una construcción en geometría algebraica que le permite construir un espacio tangente en un punto en una variedad algebraica . Esta construcción no utiliza los métodos de la geometría diferencial , sino sólo los métodos del álgebra lineal general y, en situaciones más específicas .

Motivación

Considere una curva algebraica plana dada por la ecuación polinomial

{\ estilo de visualización F (x, y) = 0.}

Describamos el espacio tangente a esta curva en el origen. Eliminamos de la ecuación todos los términos de orden mayor que el primero, la ecuación permanece

hacha+por=0.

Son posibles dos casos: , en cuyo caso el espacio tangente se define como todo el plano afín (todos sus puntos satisfacen la ecuación anterior), en cuyo caso el origen es un punto singular de la curva. De lo contrario, el espacio tangente es una línea tratada como un espacio afín unidimensional. (Más precisamente, no hay origen en el plano afín original. Sin embargo, al definir el espacio tangente en el punto p , es natural elegir el origen en este punto). $a=b=0$

Definición

El espacio cotangente de un anillo local con ideal máximo m se define como $R$

{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}

donde m 2 es el producto de ideales . El espacio cotangente es el espacio vectorial sobre el campo de residuos . El espacio vectorial dual a él se llama espacio tangente R [1] . $k=R/{\mathfrak{m))$

Esta definición generaliza el ejemplo anterior a dimensiones superiores. En términos generales, es el anillo de gérmenes de función en el punto p . Este anillo es local, y su ideal maximal son los gérmenes de funciones iguales a cero en p (el ideal maximal de un anillo local consiste exactamente en elementos irreversibles). Como el punto p pertenece a la variedad, sólo nos interesan los elementos m , la factorización por m 2 corresponde a la eliminación de términos de grandes potencias. Ya que empezamos con un anillo de funciones, corresponde a "funcionales lineales" sobre el espacio tangente, es decir, el espacio dual a la tangente. $R$ ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$

El espacio tangente y el espacio cotangente al esquema X en el punto P es el espacio (co)tangente del anillo local . Debido a la funcionalidad de Spec , el mapa de factorización natural induce un homomorfismo , donde X =Spec( R ), P es el punto de Y =Spec( R/I ). Este homomorfismo se usa a menudo para incrustar en [2] (por ejemplo, el espacio tangente de una variedad incrustada en un espacio afín está naturalmente incrustado en el espacio tangente de un espacio afín). Dado que los morfismos de campo son inyectivos , la sobreyección de campos de residuos inducida por g es un isomorfismo . Así g induce un morfismo de k espacios tangentes, ya que $T_{P}(X)$ $T_{P}^{*}(X)$ ${\mathcal {O}}_{X,P}$ $f:R\rightarrow R/I$ $g:{\mathcal {O}}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow {\mathcal {O}}_{Y,P}$ ${\ Displaystyle T_ {P} (Y)}$ $T_{f^{-1}P}(X)$

{\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}

\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/I)/(({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2} +I)/I)

\cong {\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)

\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/{\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2})/\mathrm { Ker}(k).

Dado que k es sobreyectiva (es un homomorfismo de factorización), el mapeo lineal dual es inyectivo (es una incrustación). $k^{*}:T_{P}(Y)\rightarrow T_{f^{-1}P}(X)$

Caso analítico

Si V es una subvariedad de un espacio vectorial n -dimensional definido por el ideal I (el ideal de funciones iguales a cero en esta variedad), el anillo R corresponde al anillo F n / I , donde F n es el anillo de gérmenes de funciones suaves/analíticas/holomórficas sobre el espacio vectorial, son gérmenes de funciones del ideal. Entonces el espacio tangente de Zariski en el punto x es

{\mathfrak {m}}_{x}/(yo+{\mathfrak {m}}_{x}^{2}),

donde es el ideal de funciones del tipo correspondiente, igual a cero en el punto x . ${\mathfrak{m}}_{x}$

En el ejemplo de la curva algebraica, , y ${\ estilo de visualización I = (f)}$ $(I+{\mathfrak {m}}_{x}^{2})=(ax+by+{\mathfrak {m}}_{x}^{2}).$

Propiedades

Si R es un anillo local noetheriano , entonces la dimensión del espacio tangente no es menor que la dimensión de R :

\mathrm {dim} \;{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\geqslant \mathrm {dim} \;R.

R se llama anillo regular si se cumple la igualdad. Si el anillo local de una variedad V es regular en un punto x , entonces se dice que x es un punto regular de la variedad. De lo contrario, x se llama un punto singular .

Hay una interpretación del espacio tangente por medio de homomorfismos en el anillo de los números duales.En el lenguaje de los esquemas, los morfismos de Spec k[t]/t 2 en un esquema X sobre k corresponden a elegir un punto racional x ∈ X (k) (puntos con coordenadas del campo k ) y un elemento tangente al espacio en el punto x [3] . Por lo tanto, tiene sentido llamar a estos morfismos vectores tangentes . $k[t]/(t^{2}).$

Notas

↑ Eisenbud, 1998 , I.2.2, pág. 26
↑ Smoothness and the Zariski Tangent Space , James McKernan, 18.726 Primavera de 2011 Archivado el 19 de febrero de 2018 en Wayback Machine Lecture 5
↑ Hartshorne, 1977 , Ejercicio II 2.8.

Literatura

Hartshorne R. Geometría algebraica. — M.: Mir, 1981.
David Eisenbud; Joe Harris (1998). La geometría de los esquemas. Springer-Verlag. — ISBN 0-387-98637-5 .
Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica, Textos de posgrado en matemáticas, 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157

Enlaces

Espacio tangente de Zariski . VI Danilov , Enciclopedia de Matemáticas.