Anillo local regular

Un anillo local regular es un anillo local noetheriano tal que el número de generadores de su ideal máximo coincide con la dimensión de Krull . El nombre regular se explica por razones geométricas. Un punto de una variedad algebraica es no singular ( regular ) si y sólo si el anillo local de gérmenes de funciones racionales en el punto es regular. $X$ $X$ $\mathcal{O}_{X, x}$ $X$

Definiciones equivalentes

Hay varias definiciones útiles de un anillo local regular. En particular, si es un anillo local noetheriano con ideal máximo , las siguientes definiciones son equivalentes: $A$ $\mathfrak m$

Sea donde sea elegido lo más pequeño posible (en cualquier caso, n no puede ser menor que la dimensión de Krull). regularmente si $\mathfrak{m} = (a_1, \ldots, a_n)$ $norte$ $A$

\mbox{dim} A = n.

Sea el campo de residuos del anillo . Entonces regularmente si $k = A / \mathfrak{m}$ $A$ $A$

\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A

, Aquí la primera dimensión es la dimensión del espacio vectorial, y la segunda es la dimensión de Krull.

Sea la dimensión global (es decir, el supremo de las dimensiones proyectivas de todos los módulos ). Entonces regularmente si $\mbox{gl dim} A$ $A$ $A$ $A$

{\mbox{gl dim }}A<\infty

, en este caso siempre coincide con la dimensión de Krull.

\mbox{gl dim} A

Ejemplos

Cualquier campo es un anillo local regular. De hecho, los campos son exactamente anillos locales regulares de dimensión 0.
Los anillos locales regulares de dimensión 1 son precisamente los anillos de valoración discretos . En particular, el anillo de series de potencias formales ( k es un campo arbitrario) es un anillo local regular. Otro ejemplo es el anillo de números p -ádicos . ${\ estilo de visualización k [[x]]}$
Más generalmente, un anillo de serie de potencia formal es un anillo local regular de dimensión d . $k[[x_{1},x_{2},\cdots,x_{d}]]$
Si A es un anillo regular (consulte la definición a continuación ), entonces el anillo de polinomios y el anillo de series de potencias formales son regulares. $Hacha]$ ${\ estilo de visualización A [[x]]}$
Cualquier localización de un anillo regular es regular. Por ejemplo, es un anillo regular bidimensional que no contiene ningún campo. $\mathbbZ[x]_{(2,x)}$
La finalización de un anillo regular es regular.

Propiedades

El teorema de Auslander-Buchsbaum establece que todo anillo local regular es factorial.

Si es un anillo local regular completo que contiene algún campo, entonces $(A,\mathfrak{m})$

A \cong k[[x_1, \ldots, x_d]]

donde , y es la dimensión de Krull. $k = A / \mathfrak{m}$ $d$

Origen de las definiciones básicas

La definición de anillo local regular fue dada por Wolfgang Krull en 1937, [1] pero se hicieron famosos gracias al trabajo de Oskar Zariski , [2] [3] quien demostró que los anillos locales regulares corresponden a puntos suaves de variedades algebraicas. Sea Y una variedad algebraica contenida en un espacio afín de n dimensiones sobre un campo perfecto definido como un conjunto de ceros comunes de polinomios (en n variables) f 1 ,…, f m . Y es singular en un punto P si el rango de la matriz de Jacobi (matriz (∂ f i /∂ x j )) en este punto es menor que en otro punto de la variedad. La dimensión de la variedad es igual a la diferencia entre n y el rango de la matriz jacobiana en un punto no singular. Zariski demostró que la matriz de Jacobi P es no singular si y solo si el anillo local de Y en P es regular. (Zariski también señaló que esto no es necesariamente cierto sobre campos imperfectos). De ello se deduce que la suavidad es una propiedad intrínseca de la variedad, es decir, no depende de la incrustación particular de la variedad en un espacio afín. En la década de 1950, Auslander y Buchsbaum demostraron que un anillo local regular es factorial.

Muchas propiedades de los anillos locales quedaron sin probar hasta el momento en que aparecieron las técnicas correspondientes del álgebra homológica . Jean-Pierre Serre encontró una descripción de los anillos locales regulares en términos homológicos: un anillo local A es regular si y solo si tiene una dimensión global finita . Es fácil probar que la propiedad de finitud de la dimensión global permanece sin cambios bajo localización. Esto permite definir la regularidad para todos los anillos, no necesariamente locales: un anillo A se llama regular si su localización con respecto a un ideal primo arbitrario es un anillo local regular. Esto es equivalente a decir que A tiene una dimensión global finita. En particular, todos los anillos de Dedekind son regulares.

Notas

↑ Krull, Wolfgang (1937), Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III, Math. Z. : 745–766
↑ Zariski, Oscar (1940), Variedades algebraicas sobre campos terrestres de característica 0, Amer. Matemáticas J. T. 62: 187–221
↑ Zariski, Oscar (1947), El concepto de punto simple de una variedad algebraica abstracta, Trans. amer Matemáticas. soc. Tomo 62: 1–52

Literatura

Jean-Pierre Serre , Álgebra local, Springer-Verlag , 2000 - ISBN 3-540-66641-9 . Capítulo IV.D.