Ángulo sólido

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Un ángulo sólido es una parte del espacio que es la unión de todos los rayos que salen de un punto dado ( el vértice del ángulo) y se cruzan con alguna superficie (que se llama la superficie que subtiende el ángulo sólido dado). Los casos particulares del ángulo sólido son los ángulos triédricos y poliédricos . El límite del ángulo sólido es una superficie cónica . El ángulo sólido generalmente se denota con la letra Ω .

El ángulo sólido se mide por la relación entre el área de la parte de la esfera centrada en el vértice del ángulo, que es cortada por este ángulo sólido, al cuadrado del radio de la esfera:

\Omega \,=\,{S \sobre R^{2}}.

Los ángulos sólidos se miden mediante cantidades abstractas (adimensionales). La unidad SI del ángulo sólido es el estereorradián , que es igual al ángulo sólido que corta una superficie con área r 2 de una esfera de radio r . Una esfera completa forma un ángulo sólido igual a 4π estereorradianes ( ángulo sólido completo ) para un vértice ubicado dentro de la esfera, específicamente para el centro de la esfera; el mismo es el ángulo sólido bajo el cual cualquier superficie cerrada es visible desde un punto completamente encerrado por esta superficie, pero que no pertenece a ella. Además de los estereorradianes, el ángulo sólido se puede medir en grados cuadrados, minutos cuadrados y segundos cuadrados, así como en fracciones de un ángulo sólido completo.

El ángulo sólido tiene dimensión física cero .

El ángulo sólido dual a un ángulo sólido dado Ω se define como un ángulo que consta de rayos que forman un ángulo no agudo con cualquier rayo del ángulo Ω .

Coeficientes para convertir unidades de ángulo sólido.

$\Omega$	estereorradián	cuadrados la licenciatura	cuadrados minuto	cuadrados segundo	ángulo completo
1 estereorradián =	una	(180/π)² ≈ ≈ 3282,806 cuadrados. grados	(180×60/π)² ≈ ≈ 1.1818103⋅10 7 cuadrados. minutos	(180×60×60/π)² ≈ ≈ 4.254517⋅10 10 cuadrados. segundos	1/4π ≈ ≈ 0.07957747 ángulo completo
1 cuadrado grado =	(π/180)² ≈ ≈ 3,0461742⋅10 −4 estereorradianes	una	60² = = 3600 metros cuadrados minutos	(60×60)² = = 12,960,000 pies cuadrados segundos	π/(2×180)² ≈ ≈ 2.424068⋅10 −5 ángulo completo
1 cuadrado minuto =	(π/(180×60))² ≈ ≈ 8,461595⋅10 −8 estereorradianes	1/60² ≈ ≈ 2,7777778⋅10 −4 cuadrados. grados	una	60² = = 3600 metros cuadrados segundos	π/(2×180×60)² ≈ ≈ 6.73352335⋅10 −9 ángulo completo
1 cuadrado segundo =	(π/(180×60×60))² ≈ ≈ 2,35044305⋅10 −11 estereorradianes	1/(60×60)² ≈ ≈ 7.71604938⋅10 −8 cuadrados. grados	1/60² ≈ ≈ 2,7777778⋅10 −4 cuadrados. minutos	una	π/(2×180×60×60)² ≈ ≈ 1.87042315⋅10 −12 ángulo completo
ángulo completo =	4π ≈ ≈ 12,5663706 estereorradianes	(2×180)²/π ≈ ≈ 41252.96125 cuadrados. grados	(2×180×60)²/π ≈ ≈ 1.48511066⋅10 8 cuadrados. minutos	(2×180×60×60)²/π ≈ ≈ 5.34638378⋅10 11 cuadrados. segundos	una

Cálculo de ángulos sólidos

Para una superficie de contracción arbitraria S , el ángulo sólido Ω bajo el cual es visible desde el origen es igual a

\Omega =\int \limits _{S}d\Omega =\iint \limits _{S}\sin \vartheta \,d\varphi \,d\vartheta =\int \limits _{S}{\frac { ({\mathbf {r}}/r)\cdot {\mathbf {n}}dS}{r^{2}}},

donde son las coordenadas esféricas del elemento de superficie, es su radio vector , es el vector unitario normal a $r,\vartheta ,\varphi$ $ds,$ $\mathbf{r}$ $\matemáticas {n}$ $dS.$

Propiedades de los ángulos sólidos

El ángulo sólido completo (esfera completa) es de 4 π estereorradianes.
La suma de todos los ángulos sólidos duales a los ángulos sólidos interiores de un poliedro convexo es igual al ángulo completo.

Valores de algunos ángulos sólidos

Un triángulo con coordenadas de vértice , , es visible desde el origen en un ángulo sólido ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf{r}}_{2}$ ${\mathbf {r}}_{3}$

\Omega =2\,{\mathrm {arctg}}\,{\frac {({\mathbf {r}}_{1}{\mathbf {r}}_{2}{\mathbf {r}}_ {3})}{r_{1}r_{2}r_{3}+({\mathbf {r}}_{1}\cdot {\mathbf {r}}_{2})r_{3}+ ({\mathbf {r}}_{2}\cdot {\mathbf {r}}_{3})r_{1}+({\mathbf {r}}_{3}\cdot {\mathbf {r }} }}_{1})r_{2}}},

donde es el producto mixto de estos vectores, son los productos escalares de los vectores correspondientes, el tipo en negrita denota vectores y el tipo normal denota sus longitudes. Usando esta fórmula, uno puede calcular los ángulos sólidos subtendidos por polígonos arbitrarios con coordenadas conocidas de los vértices (para hacer esto, es suficiente dividir el polígono en triángulos que no se cortan).

({\mathbf {r}}_{1}{\mathbf {r}}_{2}{\mathbf {r}}_{3})

({\mathbf {r}}_{i}\cdot {\mathbf {r}}_{j})

El ángulo sólido en el vértice de un cono circular recto con ángulo de apertura α es Si se conocen el radio de la base y la altura del cono, entonces Cuando el ángulo de apertura del cono es pequeño (el ángulo se expresa en radianes) , o (el ángulo se expresa en grados). Entonces, el ángulo sólido en el que la Luna y el Sol son visibles desde la Tierra (su diámetro angular es aproximadamente igual a 0,5 °) es de aproximadamente 6⋅10 −5 estereorradianes, o ≈0,0005% del área de la esfera celeste (es decir, el ángulo sólido total) . $\Omega =2\pi \left(1-\cos {\frac {\alpha }{2}}\right).$ $R$ $H$ $\Omega =2\pi \left(1-{\frac {H}{\sqrt {R^{2}+H^{2))))\right).$ $\Omega \approx {\frac {\pi \alpha ^{2}}{4}}$ $\alfa$ ${\displaystyle \Omega \approx 0{,}000239\alpha ^{2))$ $\alfa$

El ángulo sólido de un ángulo diedro en estereorradianes es igual al doble del valor del ángulo diedro en radianes.

El ángulo sólido de un ángulo triédrico se expresa mediante el teorema de Lhuillier en términos de sus ángulos planos en el vértice, como: $\theta _{a}, \ theta _{b}, \ theta _{c}$

\Omega =4\,\operatorname {arctg}{\sqrt {\operatorname {tg}\left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg}\left({ \frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\nombre del operador {tg}\left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}} {2}}\right)\nombre del operador {tg}\left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right))),

donde está el semiperímetro.

\theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}

En términos de ángulos diédricos, un ángulo sólido se expresa como:

\alfa,\beta,\gamma

\Omega =\alfa +\beta +\gamma -\pi .

El ángulo sólido en el vértice de un cubo (o cualquier otro paralelepípedo ) es igual al ángulo sólido completo o estereorradián. ${\frac{1}{8))$ ${\ frac {\ pi} {2}}$

El ángulo sólido en el que la cara de un N -edro regular es visible desde su centro es igual al ángulo sólido completo, o estereorradián. ${\ fracción {1}{N}}$ ${\frac{4\pi}{N}}$

El ángulo sólido en el que se ve un círculo de radio R desde un punto arbitrario en el espacio (es decir, el ángulo sólido en el vértice de un cono circular arbitrario, no necesariamente uno recto) se calcula usando integrales elípticas completas de la 1ra y 3er tipo [1] :

\Omega =2\pi +{\frac {2H}{L}}\left({\frac {rR}{r+R}}\,\Pi (\alpha ^{2},k)- K(k)\derecha)

r\leq R,

\Omega ={\frac {2H}{L}}\left({\frac {rR}{r+R}}\,\Pi (\alpha ^{2},k)-K(k) \Correcto)

{\ estilo de visualización r> R,}

donde y son las integrales de Legendre elípticas normales completas de primera y tercera clase, respectivamente;

{\ Displaystyle K (k)}

{\ estilo de visualización \ Pi (\ alfa ^ {2}, k)}

r

es la distancia desde el centro de la base del cono hasta la proyección de la parte superior del cono sobre el plano de la base;

H

es la altura del cono;

{\displaystyle L={\sqrt {H^{2}+(r+R)^{2))))

es la longitud de la máxima generatriz del cono;

k={\frac {\sqrt {4rR}}{L));

\alpha ={\frac {\sqrt {4rR}}{r+R}}.

Literatura

Hopf H. Capítulos seleccionados de geometría // Conferencia ETH Zürich, págs. 1-2, 1940.
Van Oosterom A., Strackee J. El ángulo sólido de un triángulo plano // Transacciones IEEE sobre ingeniería biomédica. - 1983. - vol. 30. - Pág. 125-126. — ISSN 0018-9294 . -doi : 10.1109/ TBME.1983.325207 . —PMID 6832789 .
Ángulo sólido Weisstein EW . De MathWorld: un recurso web de Wolfram.
Gardner RP, Verghese K. Sobre el ángulo sólido subtendido por un disco circular // Instrumentos y métodos nucleares. - 1971. - vol. 93. - Pág. 163-167. - doi : 10.1016/0029-554X(71)90155-8 . - .

Véase también

Notas

↑ Paxton F. Cálculo de ángulo sólido para un disco circular // Revisión de instrumentos científicos. - 1959. - Abril ( vol. 30 , no. 4 ). - pág. 254-258 . -doi : 10.1063/ 1.1716590 . - . Archivado desde el original el 7 de agosto de 2017.