Integral elíptica

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Integral elíptica : alguna función sobre el campo de números reales o complejos , que se puede representar formalmente de la siguiente forma: $F$

f(x)=\int \limits _{c}^{x}\!R(t,\;P(t))\,dt

donde es una función racional de dos argumentos, es la raíz cuadrada de un polinomio de 3° o 4° grado que no tiene raíces múltiples , es alguna constante del campo donde se define la función. $R$ $PAGS$ $C$

En general, la integral elíptica no puede expresarse formalmente en funciones elementales . Las excepciones son los casos en que tiene raíces múltiples o cuando los polinomios no contienen grados impares . $PAGS$ ${\ estilo de visualización R (x, \; y)}$ $y$

Sin embargo, para cada integral elíptica existen fórmulas para reducirla a la suma de funciones elementales y de una a tres integrales elípticas normales , llamadas integrales elípticas de 1ª, 2ª y 3ª especie).

Historia

En cálculo integral, la integral elíptica apareció en relación con el problema de calcular la longitud del arco de una elipse y fue investigada primero por Giulio Fagnano y luego por Leonhard Euler .

Notación

Las integrales elípticas a menudo se representan como una función de varios argumentos diferentes. Estos diferentes argumentos son completamente equivalentes (dan las mismas integrales), pero pueden surgir confusiones debido a sus diferentes orígenes. En la mayoría de las obras, los autores se adhieren al nombre canónico. Antes de definir las propias integrales, es necesario introducir nombres para los argumentos:

$\alfa$ - ángulo modular (a veces el ángulo modular se indica con una ligadura ); $o\!\varepsilon$
$k=\pecado\alfa$ es el módulo de la integral elíptica ;
$m=k^2=\sen^2 \alfa$ - parámetro .

Cabe señalar que las integrales elípticas normales de Legendre, tanto completas como incompletas, son funciones pares del módulo (y del ángulo modular ). Su dominio de definición $k$ $\alfa$ $-1\leq k\leq +1.$

A veces, principalmente en la literatura científica soviética, el parámetro de la integral elíptica significa la característica de la integral elíptica normal de Legendre del tercer tipo (por ejemplo, Korn G., Korn T. "Manual de matemáticas para científicos e ingenieros").

Tenga en cuenta que las cantidades presentadas anteriormente se definen una en términos de la otra; la definición de uno de ellos determina los otros dos.

La integral elíptica también depende de otro parámetro, que al igual que el anterior, se puede introducir de varias formas:

$x=\sin \varphi =\operatorname {sn} u,$ donde está la función elíptica de Jacobi ; ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {sn}}$
$\varphi =\arcsin x=\operatorname {soy} u$ es la amplitud ;

La definición de uno de estos parámetros determina el resto. Por lo tanto, se pueden usar indistintamente. Tenga en cuenta que también depende de . Varias ecuaciones adicionales se relacionan con otros parámetros: $tu$ $metro$ $tu$

\cos \varphi =\operatorname {cn} u

{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}=\operatorname {dn} u.

Esta última a veces se denomina amplitud delta y se escribe como

\Delta (\varphi)=\operatorname {dn} u.

A veces se hace referencia en la literatura a un parámetro adicional , un módulo adicional o un ángulo modular adicional . Se ingresan de la siguiente manera:

$m_1\,=\,1 - m$ — parámetro adicional ;
$k'=\raíz cuadrada{1-k^2}$ - módulo adicional ;
${k'}^{2}=m_{1}$ es un ángulo modular adicional .

Integral elíptica normal de primera especie (incompleta)

La integral elíptica normal de Legendre de primera clase se define como $F$

F(\varphi ,\;k)=\int \limits _{0}^{\varphi }\!{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^ {2}\theta}}}

o, en forma de Jacobi,

F(x,\;k)=\int \limits _{0}^{x}\!{\frac {dz}{\sqrt {(1-z^{2})(1-k^ {2}z^{2})}}}

La notación para integrales elípticas no se acepta universalmente. Es necesario distinguir entre tales separadores entre una variable y un parámetro, como "\", "|" y ",". Cuando se usa una barra vertical como separador , le sigue el parámetro integral, mientras que la barra diagonal inversa le sigue el ángulo modular. En particular, la relación

F(\varphi ,\;\sin \alpha )=F(\varphi \mid \sin ^{2}\alpha )=F(\varphi \setminus \alpha )

Casos especiales

F(\varphi\setminus 0) = \varphi

;

F(i\varphi\setminus 0) = i\varphi

;

F(\varphi \setminus 90^{\circ })=\ln \left(\operatorname {seg} \varphi +\operatorname {tg} \varphi \right)=\ln \operatorname {tg} \left ({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)

;

F(i\varphi \setminus 90^{\circ })=i\,\operatorname {arctg} \left(\operatorname {sh} \varphi \right)

;

Integral elíptica normal de segunda clase (incompleta)

La integral elíptica normal de Legendre de 2º tipo E se define como

E(\varphi ,\;k)=\int \limits _{0}^{\varphi }\!{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\ ,d\theta

o usando sustitución $x=\sin\varphi,$

E(x,\;k)=\int \limits _{0}^{x}\!{\frac {\sqrt {1-k^{2}z^{2))}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz.

Casos especiales

{\ estilo de visualización E (\ varphi, 0) = \ varphi}

;

{\ Displaystyle E (i \ varphi, 0) = i \ varphi}

;

E(\varphi ,1)=\sin \varphi

;

E(i\varphi ,1)=i\,\operatorname {sh} \varphi

Integral elíptica normal de 3er tipo (incompleta)

La integral elíptica normal de Legendre de tercera especie se define como $\Pi$

\Pi (c;\;\varphi ,\;k)=\int \limits _{0}^{\varphi }\!{\frac {d\theta }{(1+c\sin ^{ 2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta ))))

\Pi (c;\;x,\;k)=\int \limits _{0}^{x}\!{\frac {dx}{(1+cx^{2}){\sqrt {(1-k^{2}x^{2})(1-x^{2})}}}}

El número se llama característica y puede tomar cualquier valor, independientemente de los otros argumentos. Las propiedades de una integral elíptica de tercer tipo dependen esencialmente de la magnitud de la característica. Tenga en cuenta que el valor de la integral tiende a infinito para cualquier . $C$ ${\ estilo de visualización \ Pi (-1; \; \ pi /2 \ mid m)}$ $metro$

Caso hiperbólico

(0 < c < m )

Introduzcamos una notación adicional:

\varepsilon =\operatorname {arcsen} \,{\sqrt {\frac {n}{\sin ^{2}\alpha }}},\qquad 0\leqslant \varepsilon \leqslant {\frac {\pi {2}}

;

\beta = \frac{\pi\,F(\varepsilon \setminus \alpha)}{2\,K(\alpha)}

;

{\ estilo de visualización q = q (\ alfa)}

;

\nu = \frac{\pi\,F(\varphi \setminus \alpha)}{2\,K(\alpha)}

;

{\displaystyle \delta _{1}={\sqrt {\frac {c}{(1-c)(\sin ^{2}\alpha -c)))))

;

K(\alfa )

es la integral elíptica normal completa de Legendre de primera especie .

Entonces podemos escribir la integral en términos de las funciones theta de Jacobi :

\Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )=\delta _{1}\left(-{\frac {1}{2}}\,\ln {\frac {\vartheta_{ 4}(\nu +\beta )}{\vartheta _{4}(\nu -\beta )}}+\nu \,{\frac {\vartheta _{1}'(\beta )}{\vartheta _ {1}(\beta)}}\derecho),

dónde

\frac{1}{2}\,\ln\frac{\vartheta_4(\nu+\beta)}{\vartheta_4(\nu-\beta)} = 2 \sum_{s=1}^{\infty} \ frac{q^s}{s(1-q^{2s})}\sin{2s\nu}\,\sin\,{2s\beta}

{\frac {\vartheta _{1}'(\beta )}{\vartheta _{1}(\beta )))=\operatorname {ctg} \,\beta +4\sum _{s= 1}^{\infty }{\frac {q^{2s}}{1-2q^{2s}\cos {2\beta }+q^{4s}}}\sin {2\beta }.

( c > 1)

Por sustitución, este caso se reduce al anterior, ya que $C = \frac{\sin^2\alpha}{c}$ $0<C<\sin ^{2}\alpha .$

Introducimos una cantidad adicional

p_{1}={\sqrt {(c-1)\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{c}}\right))).

Después:

\Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha)=-\Pi (C;\;\varphi \setminus \alpha)+F(\varphi \setminus \alpha)+{\frac {1} {2p_{1))}\ln \left({\frac {\Delta (\varphi )+p_{1}\operatorname {tg} \,\varphi }{\Delta (\varphi )-p_{1}\ nombre del operador {tg} \,\varphi }}\right).

Caja circular

( m < c < 1)

Introduzcamos una notación adicional:

\varepsilon =\operatorname {arcsen} \,{\sqrt {\frac {1-n}{\cos ^{2}\alpha }}},\qquad 0\leqslant \varepsilon \leqslant {\frac { \ pi {2}};

\beta ={\frac {\pi \,F(\varepsilon \setminus 90^{\circ }-\alpha )}{2\,K(\alpha )));

{\ estilo de visualización q = q (\ alfa);}

\nu ={\frac {\pi \,F(\varphi \setminus \alpha )}{2\,K(\alpha )));

\delta _{2}={\sqrt {\frac {c}{(1-c)(c-\sin ^{2}\alpha )))}.

Entonces la integral elíptica es igual a:

\Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )=\delta _{2}(\lambda -4\mu \nu ),

dónde

\lambda = \operatorname{arctg}\,(\operatorname{th}\,\beta\,\operatorname{tg}\,\nu) + 2 \sum_{s=1}^{\infty} \frac{( -1)^{s-1}}{s}\frac{q^{2s}}{1-q^{2s}}\sin{2s\nu}\,\nombre del operador{sh}\,{2s\ beta}

\mu ={\dfrac {\sum \limits _{s=1}^{\infty }sq^{s^{2}}\,\operatorname {sh} \,{2s\beta }}{ 1+\sum \limits _{s=1}^{\infty }q^{s^{2}}\,\operatorname {ch} \,{2s\beta }}}

( c < 0)

Por sustitución, este caso se reduce al anterior, ya que $C = \frac{\sin^2\alpha - c}{1-c}$ ${\ estilo de visualización \ pecado ^ {2} \ alfa \ <C <1.}$

Introduzcamos una cantidad adicional

p_{2}={\sqrt {\frac {-c\,(\sin ^{2}\alpha -c)}{1-c))}.

Después:

{\sqrt {(1-c)\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{c))\right)))\,\Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )={\sqrt {(1-C)\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{C}}\right)))\,\Pi (C;\ ;\varphi \setminus \alpha )\,+\,{\frac {\sin ^{2}\alpha \,F(\varphi \setminus \alpha )}{p_{2))}\,+\,\ nombre del operador {arctg} \,\left({\frac {p_{2}}{2}}{\frac {\sin {2\varphi }}{\Delta (\varphi )))\right)

La integral elíptica normal completa de Legendre de primer tipo

Si la amplitud de la integral elíptica normal de Legendre de 1ª especie es igual a , se denomina integral elíptica normal completa de Legendre de 1ª especie: $\varphi$ $\pi/2$

K(k)=\int \limits _{0}^{\pi /2}\!{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2} \varphi }}}=F(\pi /2,\;k)

K(k) = \int \limits_{0}^{1}\!\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2 x^2))).

La integral elíptica completa de primera clase se puede representar como una serie de potencias :

K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty}\left({\frac {(2n)!}{2^{2n} n!^{2}}}\right)^{2}k^{2n},

que es equivalente a la expresión

K(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+ \left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\ldots +\left({\frac {(2n-1)!!} {(2n)!!}}\right)^{2}k^{2n}+\ldots\right),

donde denota el factorial doble . $¡¡norte!!$

La integral elíptica completa del primer tipo se puede escribir en términos de la función hipergeométrica de la siguiente manera:

K(k)={\frac {\pi }{2))\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2)),\;{\frac {1 {2}};\;1;\;k^{2}\derecha).

Casos especiales

K(0)={\frac {\pi}{2)).

K(1)=\infty.

K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2 }}{4{\sqrt {\pi}}}}.

K\left({\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}\right)={\frac {2^{-{\frac {7}{ 3))}3^{\frac {1}{4}}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}}{\pi }}.

K\left({\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}\right)={\frac {2^{-{\frac {7}{ 3))}3^{\frac {3}{4}}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}}{\pi }}.

\operatorname {sn} \,K=\sin {\frac {\pi }{2))=1.

\operatorname {cn} \,K=\cos {\frac {\pi }{2}}=0.

\operatorname {dn} \,K={\sqrt {1-k^{2))}=k'.

Derivada de la integral elíptica completa de primera clase

{\frac {\mathrm {d} K(k)}{\mathrm {d} k))={\frac {E(k)}{k(1-k^{2))))) - {\frac{K(k)}{k)),

donde es la integral elíptica normal completa de Legendre de segunda clase, definida en la siguiente sección. $E(k)$

Ecuación diferencial

La integral elíptica completa de primera clase es una solución a la ecuación diferencial

{\frac {d}{dk}}\left(k\left(1-k^{2}\right){\frac {dK(k)}{dk}}\right)=kK(k ).

La segunda solución a esta ecuación es $K\izquierda({\sqrt {1-k^{2}}}\derecha).$

La integral elíptica normal completa de Legendre de 2º tipo

Si la amplitud de la integral de Legendre elíptica normal de 2ª especie es igual a , se denomina integral de Legendre elíptica normal completa de 2ª especie: $\varphi$ $\pi/2$

E(k)=\int \limits _{0}^{\pi /2}\!{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,d\ varfi =E(\pi /2,\;k)

E(k) = \int \limits_{0}^{1}\,\frac{\sqrt{1-k^2 x^2}}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.

La integral elíptica completa de segundo tipo se puede representar como una serie de potencias :

E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty}\left({\frac {(2n)!}{2^{2n} n!^{2}}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}}),

que es equivalente a la expresión

E(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^ {2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}- \ldots -\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}- \ldots \right).

La integral elíptica completa del segundo tipo se puede escribir en términos de la función hipergeométrica de la siguiente manera:

E(k)={\frac {\pi }{2))\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2)),\;-{\frac { 1}{2}};\;1;\;k^{2}\derecha).

Casos especiales

E\left(0\right)={\frac {\pi }{2)).

{\ estilo de visualización E \ izquierda (1 \ derecha) = 1.}

E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)=\pi ^{\frac {3}{2}}\Gamma \left({\frac {1}{ 4}}\right)^{-2}+{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}{8{\sqrt {\pi }}} }.

E\left({\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}\right)=2^{\frac {1}{3}}3^{ -{\frac {3}{4}}}\pi ^{2}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{-3}+2^{-{\frac { 10}{3}}}3^{-{\frac {1}{4}}}{\frac {{\sqrt {3}}+1}{\pi }}\Gamma \left({\frac { 1}{3}}\derecho)^{3}.

E\left({\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}\right)=2^{\frac {1}{3}}3^{ -{\frac {1}{4}}}\pi ^{2}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{-3}+2^{-{\frac { 10}{3}}}3^{\frac {1}{4}}{\frac {{\sqrt {3}}-1}{\pi }}\Gamma \left({\frac {1}{ 3}}\derecha)^{3}.

Derivada de la integral elíptica completa de 2º tipo

{\frac {\mathrm {d} E(k)}{\mathrm {d} k))={\frac {E(k)-K(k)}{k)).

Ecuación diferencial

La integral elíptica completa del segundo tipo es una solución a la ecuación diferencial

\left(k^{2}-1\right){\frac {d}{dk}}\left(k\;{\frac {dE(k)}{dk}}\right)=kE (k).

La segunda solución a esta ecuación es la función $E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right).$

La integral elíptica normal completa de Legendre de tercera clase

De manera similar a las integrales elípticas completas de 1° y 2° tipo, podemos introducir la integral elíptica completa de 3° tipo:

\Pi (c,\;k)=\Pi (c;\;\pi /2,\;k)=\int \limits _{0}^{\pi /2}\!{\frac {d\varphi }{(1+c\sin ^{2}\varphi ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi ))))

\Pi (c,\;k)=\Pi (c;\;1,\;k)=\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {dx}{(1 +cx^{2}){\sqrt {(1-k^{2}x^{2})(1-x^{2}))))).

Caso hiperbólico

(0 < c < m)

\Pi(c \setminus \alpha) = K(\alpha) + \delta_1K(\alpha)\Zeta(\varepsilon \setminus \alpha)

donde es la función zeta de Jacobi . $\Zeta(\varepsilon \setminus \alpha)$

(c > 1)

\Pi (c\setminus \alpha)=K(\alpha)-\Pi (C\setminus \alpha).

Caja circular

(m < c < 1)

\Pi (c\setminus \alpha )=K(\alpha )+{\frac {1}{2}}\pi \delta _{2}\left(1-\Lambda _{0}(\ varepsilon \setminus \alpha )\right),

donde está la función lambda de Heyman . $\Lambda_0(\varepsilon \setminus \alpha)$

(c < 0)

\Pi (c\setminus \alpha)=-{\frac {c\cos ^{2}\alpha \,\Pi (C\setminus \alpha )}{(1-c)(\sin ^{ 2}\alpha -n)))+{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\sin ^{2}\alpha -c}}K(\alpha ).

Derivadas parciales

{\begin{alineado}{\frac {\parcial \Pi (c,k)}{\parcial c))&={\frac {1}{2\left(k^{2}-c\ derecha)(c-1)}}\izquierda(E(k)+{\frac {1}{c}}\izquierda(k^{2}-c\derecha)K(k)+{\frac {1 {c}}\left(c^{2}-k^{2}\right)\Pi (c,k)\right).\\[10px]{\frac {\parcial \Pi (c,k) )}{\k parcial}}&={\frac {k}{ck^{2}}}\left({\frac {E(k)}{k^{2}-1}}+\Pi ( c,k)\derecha).\end{alineado}}

Integrales elípticas adicionales (incompletas)

Función zeta de Jacobi

Z(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi \setminus \alpha )-{\frac {E(\alpha )F(\varphi \setminus \alpha )}{K(\alpha ))) ;

Función lambda de Heyman

\Lambda _{0}(\varphi \setminus \alpha )={\frac {F(\varphi \setminus 90^{\circ }-\alpha )}{K'(\alpha )))+{ \frac {2}{\pi }}K(\alpha )\,Z(\varphi \setminus 90^{\circ }-\alpha )

\Lambda _{0}(\varphi \setminus \alpha )={\frac {2}{\pi }}\left(K(\alpha )\,E(\varphi \setminus 90^{\circ }-\alpha )-\left(K(\alpha )-E(\alpha )\right)\,F(\varphi \setminus 90^{\circ }-\alpha )\right).

Véase también

Literatura

Bobylev DK Integrales y funciones elípticas // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.

Enlaces

Milne-Thomson L. Integrales elípticas // Manual de funciones especiales con fórmulas, gráficos y tablas / Ed. M. Abramowitz e I. Steegan; por. De inglés. edición V. A. Ditkin y L. N. Karamzina. - M. : Nauka, 1979. - S. 401-441. — 832 pág. — 50.000 copias.
Korn G., Korn T. Manual de matemáticas para científicos e ingenieros. — M.: Nauka, 1977.
Bateman G. Erdeyi A. Funciones trascendentales superiores . - Vol. 3 (cap. 13).
Akhiezer NI Elementos de la teoría de funciones elípticas. (Cap. 3, 7).
Funciones elípticas (enlace descendente) , Procedimientos para Matlab .

diccionarios y enciclopedias	gran noruego gran ruso Brockhaus y Efron Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4152029-4

Curvas

Definiciones

transformado

no plano

algebraica plana

Secciones cónicas

3er orden ( cúbico )

Elíptico	curva elíptica Funciones elípticas de Jacobi Integral elíptica Funciones elípticas
Otro	Verziera Agnesi hoja cartesiana Trisector de Maclaurin Chirnhaus Ofiurida estrofoides parábola semicúbica Tridente Cisoide de Diocles

4to orden

lemniscatas

Aproximación

Ranura
- B-spline
- Cúbico
- monospline
- Suavizado
- Perfecto
- hermita
Béziers

cicloidal

Otro

granja torcida

Plana
trascendental

Espirales	Arquímedov Granja galilea Hiperbólico "Varita mágica" Dorado clotoide logarítmico sinusoidal
cicloidal	trocoide Cicloide epitrocoide epicicloide hipotrocoide hipocicloide cuasitrocoide "Rosa" cuadrifolio Descenso rápido (braquistocrona, arco cicloide)
Otro	cuadratriz cocleoide Perseguir tractor trocoide línea de cadena arco invertido ancho constante sinusoide Ribokura Súper fórmula superelipse Triángulo de Reuleaux polígono figuras de lissajous

fractales

Simple	gilberto Gosper curva de dragón Koch Exacción Minkowski Peaño Sierpinsky
topológico	Servilleta Sierpinski alfombra sierpinski Esponja Menger fractal circular alfombra apolonio