Cuadratura cuadrada

Elevar al cuadrado un cuadrado  es el problema de dividir un cuadrado en un número finito de cuadrados más pequeños. En un sentido más estricto, es el problema de dividir un cuadrado en un número finito de cuadrados desiguales por pares .

En 1936-1938 fue resuelto por cuatro estudiantes del Trinity College, Universidad de Cambridge [1] .

Todos los cuadrados en cualquier solución de este problema tienen lados de longitud comparable . [2]

Terminología

• Un cuadrado dividido en pares de cuadrados desiguales se llama perfecto [1] .
• El orden de un cuadrado dividido en cuadrados compuestos es el número de sus cuadrados constituyentes.
• Una partición de un cuadrado, ningún subconjunto de cuyos cuadrados forma un rectángulo (sin contar los cuadrados individuales), se llama simple .

Historia

• La cuestión de la posibilidad de dividir un cuadrado en cuadrados desiguales fue escrita en el Libro escocés por Stanislav Ruzevich con el número 59 [3] en 1935.
• Los primeros cuadrados perfectos encontrados por Brooks, Smith, Stone y Tutt fueron del orden 69.
• En 1939, R. Sprague encontró un cuadrado perfecto de orden 55, fue la primera solución publicada para un cuadrado perfecto [4] .
• Más tarde, T. H. Willcocks encontró un cuadrado perfecto de orden 24, que durante mucho tiempo mantuvo el récord de orden pequeño.
• En 1978, el matemático holandés A. J. W. Duijvestijn ( A. J. W. Duijvestijn ) usando una computadora encontró una partición de un cuadrado en 21 cuadrados, entre los cuales no hay igual (ver Fig.). También probó las siguientes afirmaciones:
  • No existe un cuadrado perfecto de menor orden.
  • La partición que encontró es la única posible para una partición del orden 21.

Diagrama de Smith

Un papel fundamental en la solución del problema de la cuadratura lo jugó la propuesta realizada por Brooks, Smith, Stone y Tat en 1936-1938 [ 1] para el análisis de un diagrama denominado diagrama de Smith , que asigna un circuito eléctrico a cualquier partición de un cuadrado (o rectángulo) . Esto hizo posible aplicar la teoría bien desarrollada de los circuitos eléctricos para resolver el problema de la cuadratura.

Podemos considerar que un rectángulo es un conductor de lámina con resistividad constante. Si se conecta una corriente a lo largo de las bases, entonces la resistencia del rectángulo es directamente proporcional a la altura e inversamente proporcional al ancho del rectángulo. Por tanto, podemos suponer que la resistencia de cualquier cuadrado es la unidad.

Cada segmento horizontal en el esquema de partición de un cuadrado corresponde a un "terminal" de este circuito, y cada cuadrado de la partición corresponde a un conductor que conecta dos "terminales". La fuerza de la corriente que fluye a través del conductor es igual a la longitud del lado del cuadrado correspondiente. Como podemos suponer que la resistencia de cada cuadrado es igual a uno, dicho circuito eléctrico se comporta como uno "real"; en particular, obedece las reglas de Kirchhoff para corrientes en un circuito.

Número de cuadrados al cuadrado

	Número de primos cuadrados perfectos de orden		Número de primos cuadrados perfectos de orden
21	una	28	3001
22	ocho	29	7901
23	12	treinta	20 566
24	26	31	54 541
25	160	32	144 161
26	441	33	378 197 [5]
27	1152

El número de cuadrados perfectos simples de orden n hasta simetrías se da en la secuencia A006983 en OEIS [6] .

En 2013 se encontró el número de cuadrados del orden de 32 ( 144 161 ) [6] [5] .

En junio de 2014, Jim Williams obtuvo los 378 197 cuadrados primos perfectos de orden 33 [5] .

Cubicación de cubos

"Cubicar un cubo", es decir, dividir un cubo en un número finito de cubos desiguales por pares, es imposible. La prueba de este hecho la dieron Brooks, Smith, Stone y Tutt.

Suponga que existe la partición deseada del cubo.

Consideremos una de las caras del cubo, obviamente, sin pérdida de generalidad, podemos elegir la cara inferior.

En la cara inferior hay cubos irregulares, con sus bordes inferiores dividiendo la cara en cuadrados irregulares.

Encontremos el cuadrado más pequeño de la partición de la cara inferior. Obviamente, este cuadrado no puede estar junto a la arista del cubo, ya que está limitado por los lados de los cuadrados más grandes, por lo tanto, debe ubicarse en algún lugar dentro de la cara.

Ahora considere la cara superior de este pequeño cubo. Dado que se supone que es el cubo más pequeño en la cara inferior del cubo, está rodeado de cubos más altos. Por tanto, en su cara superior no interviene ni un solo cubo vecino. En consecuencia, los cubos más pequeños que se encuentran en esta cara dividen nuevamente la cara superior de este cubo en cuadrados impares, y el cuadrado más pequeño de la partición de la cara superior del cubo considerado nuevamente no puede pertenecer a la arista del cubo y está ubicado dentro del cara.

Continuando con este proceso de razonamiento, llegamos a una contradicción, que prueba el Teorema [1] .

Hipercubación de un hipercubo

También es fácil probar el teorema sobre la imposibilidad de "hipercubo hipercubo" para hipercubos de cualquier dimensión mayor que 3. De hecho, para cualquier dimensión n , los hipercubos de partición adyacentes a alguna faceta ( n  − 1) dimensional del hipercubo original deben dividir esta faceta en un número finito de hipercubos desiguales por pares ( n  − 1) dimensionales. Para n  = 4, el "hipercubo" es imposible, ya que debe generar el "cubo" de hipercaras tridimensionales del hipercubo original de 4 dimensiones. Por inducción sobre n , se puede concluir que la "hipercubación" es imposible para todo n  > 3.

Enlaces

• Video en el canal de YouTube matemático de ciencia popular en inglés Numberphile Copia archivada del 12 de agosto de 2020 en Wayback Machine

Literatura

• Gardner M. , Rompecabezas matemáticos y entretenimiento . Por. del inglés por Yu. Danilova. ed. "Onyx", Moscú, 1994, págs. 305-326.
• Yaglom I. M. How to cut a square Copia de archivo del 27 de enero de 2021 en la serie Wayback Machine Mathematical Library M., Nauka, 1968—112 ​​​​p.
• Bouwkamp CJ, Duijvestijn AJW Catálogo de cuadrados cuadrados perfectos simples de órdenes 21 a 25 , Eindhoven Univ. Tecnología, Dpto. of Math., Informe 92-WSK-03, nov. 1992.
• Bouwkamp CJ, Duijvestijn AJW Album of Simple Perfect Squared Squares of order 26 , Universidad Tecnológica de Eindhoven, Facultad de Matemáticas y Ciencias de la Computación, Informe EUT 94-WSK-02, diciembre de 1994.
• Brooks, RL, Smith CAB, Stone, AH, Tutte, WT La disección de rectángulos en cuadrados , Duke Math. J. 7, 312-340, 1940
• Gardner Martin , Cuadrando el cuadrado , en El segundo libro científico americano de acertijos matemáticos y diversiones.
• Meschkowski H. Problemas no resueltos e irresolubles en geometría, Oliver y Boyd, 1966, Edimburgo, págs. 9-102.
• Stein S. Mathematics: The Man-Made Universe, (2ª ed.) Freeman and Co., 1969, San Francisco, págs. 92-124.
• Tutte W. Squaring the Square, Canadian journal of Mathematics, 1950, pp. 197-209.
• Tutte W. La búsqueda del cuadrado perfecto, The American Mathematical Monthly , 1965, vol. 72, núm. 2, págs. 29-35.

Notas

1. ↑ 1 2 3 4 Brooks, RL; Smith, CAB; Stone, AH; y Tutte, W.T. La disección de rectángulos en cuadrados , Duke Math. J. 7, 312-340, 1940.
2. ↑ Gardner, M. , Acertijos matemáticos y diversión . Por. del inglés por Yu. Danilova. ed. "Onyx", Moscú, 1994, págs. 305-326. . Consultado el 12 de agosto de 2020. Archivado desde el original el 17 de enero de 2021. (indefinido)
3. ↑ El libro escocés  (sin especificar) / Stan Ulam. — 1958.
4. ↑ 5. Hacia una teoría de los juegos combinatorios . Sociedad Matemática Americana . Consultado el 30 de junio de 2017. Archivado desde el original el 29 de agosto de 2017.  (indefinido) .
5. ↑ 1 2 3 Stuart Anderson. cuadrados perfectos simples (SPSS); Orden 21 al 33 y órdenes superiores . Consultado el 30 de noviembre de 2015. Archivado desde el original el 8 de diciembre de 2015.  (indefinido) .
6. ↑ 1 2 Secuencia OEIS A006983 = Número de cuadrados cuadrados perfectos simples de orden n hasta simetría.

Enlaces

• Ross Honsberger. Cuadrar el Cuadrado . Facultad de Matemáticas, Universidad de Waterloo. Archivado desde el original el 16 de octubre de 2015. (indefinido)
• Re: Disección de cuadrado (o rectángulo) en cuadrados desiguales . sci.math, rec.puzzles (11 de abril de 1998). Archivado desde el original el 19 de abril de 2003. (indefinido)
• Cuadrar el cuadrado . Byron Schmuland. Consultado el 26 de febrero de 2005. Archivado desde el original el 24 de septiembre de 2015. (indefinido)
• Carlos Scherer. Square The Rectangle (enlace no disponible) . Archivado desde el original el 21 de agosto de 2014. (indefinido) 
• Carlos Scherer. Plaza La Plaza (enlace no disponible) . Archivado desde el original el 19 de agosto de 2014. (indefinido) 

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