Función cuasi-analítica

Las funciones cuasianalíticas en el análisis matemático son una clase de funciones que, en términos generales, se pueden reconstruir completamente a partir de sus valores en un área pequeña (por ejemplo, en el límite de una región). Esta propiedad facilita enormemente la solución de ecuaciones diferenciales y el estudio de otros problemas de análisis. Dado que esta propiedad se cumple para las funciones analíticas (ver análisis complejo ), la clase de funciones cuasi-analíticas contiene la clase de funciones analíticas ordinarias y puede considerarse como una extensión de la misma [1] .

Definiciones

Funciones de una sola variable

Una de las muchas características definitorias de una función analítica : que la función sea infinitamente diferenciable en todos los puntos del segmento , y que haya un número (dependiendo de la función) tal que la desigualdad se cumpla para todos los puntos: $f(x)$ $[a,b]$ $A$ $x\en[a,b]$

|f^{(n)}(x)|\leqslant A^{n}n!

(una)

Entonces la función es analítica ( el teorema inverso también es cierto) [2] . $f(x)$

Jacques Hadamard propuso en 1912 generalizar la desigualdad anterior reemplazando la secuencia con una secuencia de la forma general de números reales positivos . Definió en el intervalo [ a , b ] la clase de funciones C M ([ a , b ]) como sigue: $¡norte!$ $M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty}$

Cualquier función de la clase es infinitamente diferenciable ( f ∈ C ∞ ([ a , b ])), y en todos los puntos x ∈ [ a , b ] y para todos se cumple la siguiente condición: $F$ $k\geqslant 0$

\left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leqslant A^{k}k!M_{k}

(2)

donde A es una constante (dependiendo de la función).

Si tomamos la sucesión M k =1, entonces, de acuerdo con lo dicho al principio de la sección, obtenemos exactamente la clase de funciones analíticas reales ordinarias en el intervalo [ a , b ].

La clase C M ([ a , b ]) se llama cuasi -analítica si para cualquier función f ∈ C M ([ a , b ]) se cumple la condición de unicidad : si en algún punto x ∈ [ a , b ] para todo k , entonces f es idénticamente igual a cero. ${\frac{d^{k}f}{dx^{k}}}(x)=0$

Los elementos de una clase cuasianalítica se denominan funciones cuasianalíticas . La condición anterior significa que dos funciones que coinciden en algún punto junto con todas sus derivadas coinciden en todas partes. En otras palabras, los valores de una función en un área arbitrariamente pequeña determinan por completo todos sus valores.

Funciones de varias variables

Para una función y para un conjunto de índices denotamos: $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle j=(j_{1},j_{2},\ldots,j_{n})\en \mathbb {N} ^{n))$

{\displaystyle |j|=j_{1}+j_{2}+\ldots +j_{n))

D^{j}={\frac {\parcial ^{j}}{\parcial x_{1}^{j_{1}}\parcial x_{2}^{j_{2}}\ldots \ parcial x_{n}^{j_{n}}}}}

j!=j_{1}!j_{2}!\ldots j_{n}!

x^{j}=x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\ldots x_{n}^{j_{n}}.

Entonces se llama cuasi -analítico en un dominio abierto si para cada compacto existe una constante tal que: $F$ $U\subconjunto \mathbb {R} ^{n},$ ${\ estilo de visualización K \ subconjunto U}$ $A$

\left|D^{j}f(x)\right|\leqslant A^{|j|+1}j!M_{|j|}

para todos los índices del conjunto y en todos los puntos . $j\en \mathbb {N} ^{n}$ $x\en K$

La clase de funciones cuasi-analíticas de variables con respecto a una secuencia en un conjunto se puede denotar por , aunque hay otras notaciones en las fuentes. $norte$ $METRO$ $tu$ $C_{n}^{M}(U)$

Clases cuasianalíticas para secuencias logarítmicamente convexas

Suponga que en la definición anterior , y la secuencia no es decreciente. Se dice que esta secuencia es logarítmicamente convexa si se cumple la condición: ${\ estilo de visualización M_ {1} = 1}$ $M_{k}$

La secuencia es creciente.

{M_{k+1} \sobre M_{k}}

Si la sucesión es logarítmicamente convexa, entonces: $M_{k}$

{\ estilo de visualización (M_{k})^{1/k))

también aumenta.

M_{r}M_{s}\leqslant M_{r+s}

para todos

{\displaystyle (r,s)\in \mathbb {N} ^{2))

Para logarítmicamente convexo , la clase cuasi-analítica es un anillo . En particular, está cerrado bajo multiplicación y composición . Este último significa: $METRO$ ${\displaystyle C_{n}^{M))$

Si y , entonces .

{\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\ldots f_{p})\in (C_{n}^{M})^{p))

{\displaystyle g\in C_{p}^{M))

{\displaystyle g\circ f\in C_{n}^{M))

Teorema de Denjoy-Carleman

El teorema de Denjoy-Carleman fue formulado y parcialmente resuelto por Arnaud Denjoy ( Denjoy (1921 )) y completamente probado por Thorsten Carleman ( Carleman (1926 )). Este teorema proporciona un criterio para decidir bajo qué secuencias M las funciones C M ([ a , b ]) forman una clase cuasi-analítica.

Según el teorema, los siguientes enunciados son equivalentes:

C M ([ a , b ]) es una clase casi analítica.
$\sum 1/L_{j}=\infty,$ donde _ $L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})$
$\sum _{j}(jM_{j}^{*})^{-1/j}=\infty,$ donde M j * es la secuencia logarítmicamente convexa más grande limitada arriba por M j .
$\sum _{j}{\frac {M_{j-1}^{*}}{(j+1)M_{j}^{*}}}=\infty .$

Para probar que los enunciados 3, 4 son equivalentes al 2, se usa la desigualdad de Carleman .

Ejemplo : Denjoy (1921 ) [3] señaló que si se le da una de las secuencias $Minnesota}$

1,\,{(\ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n},\, {(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n}\,{(\ln \ln \ln n)}^{n},\dots ,

entonces la clase correspondiente es casi analítica. La primera secuencia (de unidades) da las funciones analíticas usuales.

Propiedades adicionales

Para una secuencia logarítmicamente convexa , se cumplen las siguientes propiedades de la clase de funciones correspondiente. $METRO$

${\ estilo de visualización C^{M}}$ coincide con la clase de funciones analíticas si y sólo si . $\sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty$
Si es otra sucesión logarítmicamente convexa para la cual (aquí hay una constante), entonces . $norte$ ${\displaystyle M_{j}\leqslant C^{j}N_{j))$ $C$ $C^{M}\subconjunto C^{N}$
${\ estilo de visualización C^{M}}$ estable con respecto a la diferenciación si y sólo si . $\sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty$
Para cualquier función infinitamente diferenciable , se pueden encontrar anillos cuasianalíticos y elementos tales que . $F$ ${\ estilo de visualización C^{M}}$ ${\ estilo de visualización C^{N}}$ $g\en C^{M},h\en C^{N}$ $f=g+h$

División según Weierstrass

Definición . Se dice que una función es de orden regular con respecto a si y . $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $d$ $x_{n}$ ${\displaystyle g(0,x_{n})=h(x_{n})x_{n}^{d))$ $h(0)\neq 0$

Sea una función de orden regular con respecto a . Se dice que un anillo de funciones reales o complejas de variables satisface la división de Weierstrass con respecto a si para cada una existen también tales que: $gramo$ $d$ $x_{n}$ $Un}$ $norte$ $gramo$ ${\ estilo de visualización f \ en A_ {n}}$ ${\ estilo de visualización q \ en A}$ ${\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots,h_{d-1}\in A_{n-1))$

{\ estilo de visualización f = gq + h}

, donde .

h(x',x_{n})=\sum_{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}

Ejemplo : El anillo de funciones analíticas y el anillo de series de potencias formales satisfacen la propiedad de división de Weierstrass. Sin embargo, si es logarítmicamente convexa y no coincide con la clase de funciones analíticas, entonces no satisface la propiedad de división de Weierstrass con respecto a . $METRO$ ${\ estilo de visualización C^{M}}$ ${\ estilo de visualización C^{M}}$ ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})=x_{1}+x_{2}^{2))$

Historia

La cuestión clave de este tema es la capacidad de una función analítica para restaurar de manera única su "apariencia global" a partir de los valores de la función misma y sus derivadas en un punto regular arbitrario [4] . Émile Borel fue el primero en descubrir que esta propiedad se cumple no solo para funciones analíticas.

En 1912, Jacques Hadamard formuló la pregunta: ¿cuál debería ser la secuencia para que la " condición de unicidad " anterior se cumpla para cualquier par de funciones de la clase correspondiente? Arnaud Denjoy en 1921 dio condiciones suficientes para la cuasianalítica y una serie de ejemplos de clases cuasianalíticas (ver Denjoy (1921 )). Una solución completa al problema fue dada cinco años más tarde por Thorsten Carleman (ver Carleman (1926 )), quien estableció las condiciones necesarias y suficientes para la cuasi-analítica [1] . ${\ estilo de visualización M_ {n},}$

Posteriormente, S. N. Bernshtein y S. Mandelbroit generalizaron el concepto de cuasianalítica a clases de funciones no diferenciables e incluso discontinuas. El ejemplo más simple es el conjunto de soluciones de una ecuación diferencial lineal con coeficientes continuos; las funciones incluidas en esta solución, por lo general, no tienen un número infinito de derivadas [5] ..

Notas

↑ 1 2 Enciclopedia Matemática, 1979 , p. 798.
↑ Mandelbroit, 1937 , pág. 10-12.
↑ Leóntiev, 2001 .
↑ Mandelbroit, 1937 , pág. 9-11.
↑ Gorny, 1938 , pág. 171.

Literatura

Gorny A. Funciones cuasi-analíticas // Avances en Ciencias Matemáticas . - M. , 1938. - Nº 5 . — S. 171–186 .
Leontiev A.F. Clase de funciones cuasianalíticas // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes). - M .: Enciclopedia soviética , 1979. - T. 2. - S. 798-800.
Mandelbroit S. Clases de funciones cuasianalíticas. - M. - L .: ONTI NKTP, 1937.
Mandelbroit S. Serie contigua, regularización de secuencias. Aplicaciones, trad. del francés, Moscú: Literatura Extranjera, 1955.
Carleman, T. (1926), Les fonctions quasi-analytiques , Gauthier-Villars (fr.)
Denjoy, A. (1921), Sur les fonctions quasi-analytiques de variable réelle, CR Acad. ciencia París T. 173: 1329–1331
Hörmander, Lars (1990), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-00662-1
Leont'ev, A.F. Clase cuasianalítica // Hazewinkel, Michiel . Enciclopedia de Matemáticas. - Springer Science+Business Media BV/Kluwer Academic Publishers, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .

Enlaces

Cohen, Paul J. (1968), Una prueba simple del teorema de Denjoy-Carleman , The American Mathematical Monthly (Asociación Matemática de América) . — T. 75 (1): 26–31, ISSN 0002-9890 , DOI 10.2307/2315100