Método clásico para el cálculo de transitorios

El nombre del método "clásico" refleja el uso en él de soluciones de ecuaciones diferenciales con parámetros constantes por métodos de matemáticas clásicas. Este método tiene claridad física y es conveniente para calcular circuitos simples ( el método del operador simplifica el cálculo de circuitos complejos ).

Metodología

Etapas de cálculo del proceso transitorio en el circuito por el método clásico:

Encuentre condiciones iniciales independientes , es decir, voltajes en capacitancias y corrientes en inductancias en el momento del comienzo del proceso transitorio.
A continuación, es necesario componer un sistema de ecuaciones basado en las leyes de Kirchhoff , Ohm , inducción electromagnética, etc., que describa el estado del circuito después de la conmutación y, al excluir variables, obtener una ecuación diferencial, en el caso general, no homogéneo con respecto a la corriente o voltaje deseado . Para circuitos simples, se obtiene una ecuación diferencial de primer o segundo orden, en la que se elige como valor deseado la corriente en el elemento inductivo o el voltaje en el elemento capacitivo. $i$ $tu$
A continuación, la solución general de la ecuación diferencial no homogénea obtenida del circuito debe compilarse como la suma de una solución particular de la ecuación diferencial no homogénea y la solución general de la ecuación diferencial homogénea correspondiente.
Finalmente, en la solución general, se deben encontrar las constantes de integración a partir de las condiciones iniciales, es decir, las condiciones en el circuito en el tiempo inicial después de la conmutación.

Con respecto a los circuitos eléctricos, como una solución particular a la ecuación diferencial no homogénea, el estado estacionario en el circuito bajo consideración (si existe), es decir, corrientes y voltajes directos, si en el circuito actúan fuentes de FEM y corrientes constantes. , o voltajes y corrientes sinusoidales bajo la acción de fuentes EMF y corrientes sinusoidales. Las corrientes y tensiones en estado estacionario se denominan estado estacionario .

La solución general de una ecuación diferencial homogénea describe un proceso en un circuito sin fuentes de FEM y corriente, por lo que se denomina proceso libre . Las corrientes y tensiones de un proceso libre se denominan libres , y sus expresiones deben contener constantes de integración, cuyo número es igual al orden de la ecuación homogénea.

Un ejemplo de cálculo del proceso transitorio más simple por el método clásico

Reto

La figura muestra un circuito RL conmutado . En algún momento t=0, la llave K se cierra. Determine la dependencia de la corriente en el circuito RL con el tiempo.

Solución

De acuerdo con la segunda ley de Kirchhoff, el circuito se describe mediante la siguiente ecuación diferencial:

U=iR+L{\frac{di}{dt}},

donde el primer término describe la caída de voltaje en la resistencia R y el segundo término describe la caída de voltaje en el inductor L.

Hacemos un cambio de variable y llevamos la ecuación a la forma: ${\ estilo de visualización i = ab}$

U=Rab+L(a'b+ab');\qquad U=a(Rb+Lb')+La'b.

Dado que uno de los factores a, b puede elegirse arbitrariamente, elegimos b para que la expresión entre paréntesis sea igual a cero:

Rb+Lb'=0.

Separación de variables:

{\frac {b'}{b}}=-{\frac {R}{L));\qquad \ln b=-{\frac {R}{L}}t;\qquad b= e^{-{\frac{R}{L}}t}.

Teniendo en cuenta el valor elegido de b, la ecuación diferencial se reduce a la forma

U=La'e^{-{\frac {R}{L}}t};\qquad a'={\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{ L}};

Integrando, obtenemos

a={\frac {L}{R}}\cdot {\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{L}}+C={\frac {Ue^ {{\frac{R}{L}}t}}{R}}+C;\qquad

Obtenemos la expresión para la corriente.

i=ab=\left({\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{R}}+C\right)\cdot e^{-{\frac {R {L}}t}={\frac{U}{R}}+Ce^{-{\frac {R}{L}}t};

El valor de la constante de integración se encuentra a partir de la condición de que en el momento t=0 no había corriente en el circuito:

i(0)=0;\qquad {\frac {U}{R}}+C=0;\qquad C=-{\frac {U}{R}}.

Finalmente obtenemos

i={\frac {U}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right).

Véase también

Procesos transitorios en circuitos eléctricos.

Literatura

Ingeniería Eléctrica: Proc. para universidades / A. S. Kasatkin, M. V. Nemtsov.- 7ma ed., Sr. - M.: Superior. escuela, 2003. - 542 p.: il. ISBN 5-06-003595-6

Enlaces

Método clásico para el cálculo de transitorios _ _ _ _
Metodología y ejemplos de cálculo de procesos transitorios por el método clásico. Archivado el 4 de octubre de 2006 en Wayback Machine en http://www.ups-info.ru . Archivado el 14 de junio de 2008 en Wayback Machine .

Métodos de cálculo de circuitos eléctricos.
aplicación directa de las reglas de Kirchhoff corrientes de bucle potenciales nodales dos nodos coagulación Cauera generador equivalente superposiciones de superposición amplitudes complejas secciones determinantes del circuito clásico operador