Comparación de módulo

Comparar dos números enteros módulo un número natural es una operación matemática que te permite responder a la pregunta de si dos números enteros elegidos dan el mismo resto cuando se dividen por el mismo . Cualquier número entero cuando se divide por da uno de los restos posibles: un número de 0 a ; esto significa que todos los números enteros se pueden dividir en grupos, cada uno de los cuales corresponde a un cierto resto cuando se divide por . $metro$ $metro$ $metro$ $metro$ $m-1$ $metro$ $metro$

Operaciones aritméticas con restos de números modulo aritmética modular de forma fija o aritmética modular [1] [2] , que es muy utilizada en matemáticas , informática y criptografía [3] .

Historia

El requisito previo para la creación de la teoría de las comparaciones fue la restauración de las obras de Diofanto , que se publicaron en el original y con una traducción latina, gracias a Basha de Meziriak , en 1621 . Su estudio llevó a Fermat a descubrimientos que se adelantaron significativamente a su tiempo. Por ejemplo, en una carta a Frenicle de Bessy [4] el 18 de octubre de 1640, informó sin pruebas de un teorema que más tarde se conoció como el pequeño teorema de Fermat . En la formulación moderna , el teorema establece que si es un número primo y es un número entero no divisible por , entonces $pags$ $a$ $pags$

a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}

La primera prueba de este teorema pertenece a Leibniz , además, descubrió este teorema independientemente de Fermat a más tardar en 1683 y lo informó con una prueba exacta de Bernoulli . Además, Leibniz propuso un prototipo para la formulación del teorema de Wilson .

Posteriormente, el estudio de las cuestiones dedicadas a la teoría de los números y la teoría de las comparaciones fue continuado por Euler , quien introdujo la ley de reciprocidad cuadrática y generalizó el teorema de Fermat , estableciendo que

a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n)),

donde es la función de Euler . $\varfi (n)$

Gauss introdujo el concepto y la designación simbólica de comparaciones como una herramienta importante para fundamentar su teoría aritmética, trabajo que comenzó en 1797. Al comienzo de este período, Gauss aún no conocía los trabajos de sus predecesores, por lo que los resultados de su trabajo, expuestos en los primeros tres capítulos de su libro Investigaciones aritméticas ( 1801 ), ya eran básicamente conocidos, pero los métodos que usó para las demostraciones resultó ser absolutamente nuevo, teniendo la mayor importancia para el desarrollo de la teoría de números. Usando estos métodos, Gauss transformó todo el conocimiento acumulado antes de él relacionado con las operaciones de comparación de módulo en una teoría coherente, que se presentó por primera vez en el mismo libro. Además, estudió comparaciones de primer y segundo grado, la teoría de los residuos cuadráticos y la ley de reciprocidad cuadrática relacionada [5] .

Definiciones

Si dos números enteros y cuando se dividen por dan el mismo resto, entonces se llaman comparables (o equiresiduales ) módulo el número [6] . $a$ $b$ $metro$ $metro$

Comparabilidad de números y se escribe como una fórmula ( comparación ): $a$ $b$

a\equiv b{\pmod {m)).

El número se llama módulo de comparación. $metro$

La definición de comparabilidad de números y módulo es equivalente a cualquiera de las siguientes afirmaciones: $a$ $b$ $metro$

la diferencia de números y se divide por sin resto; $a$ $b$ $metro$
El número se puede representar como , donde es un número entero [7] . $a$ $a=b+k\cdot m$ $k$

Prueba

La necesidad de las condiciones 1 y 2 se demuestra como sigue:

a\equiv b{\pmod {m)).

Entonces, bajo el supuesto de que

a=n_{1}m+r,\;0\leqslant r<m,

b=n_{2}m+r,\;0\leqslant r<m,

1 y 2 se ejecutan :

ab=(n_{1}m+r)-(n_{2}m+r)=(n_{1}-n_{2})m

(es decir, la diferencia y se divide por sin resto);

a

b

metro

a=n_{1}m+r=n_{1}m+r+(n_{2}m-n_{2}m)=b+(n_{1}-n_{2})m=b+ km ,

donde (es decir, se puede representar como ).

k=n_{1}-n_{2}

a

{\ estilo de visualización a = b + km}

Suficiencia de las condiciones 1 y 2 :

a=b+km.

A partir de la prueba de la condición necesaria, el número se puede representar como: $b$

b=n_{2}m+r,\;0\leqslant r<m.

Después

a=b+km=(n_{2}m+r)+km=nm+r,\;0\leqslant r<m,

dónde

{\ estilo de visualización n = k + n_ {2}.}

De este modo

a\equiv b{\pmod {m)).

Se demuestra que la definición es equivalente a la condición 2 , que es equivalente a la condición 1 .

Por ejemplo, los números 32 y −10 son congruentes módulo 7, ya que ambos números, al dividirlos por 7, dejan un resto de 4:

32=7\cdot 4+4;

-10=7\cdot (-2)+4.

Además, los números 32 y -10 son comparables módulo 7, ya que su diferencia es divisible por 7 y, además, existe una representación ${\ estilo de visualización 32-(-10) = 42}$

32=6\cdot 7+(-10).

Propiedades del módulo de comparabilidad

Para un número natural fijo , la relación de comparabilidad módulo tiene las siguientes propiedades: $metro$ $metro$

propiedad de reflexividad : para cualquier número entero , $a$ $a\equiv a{\pmod {m));$
propiedad de simetría : si entonces $a \equiv b \pmod m,$ $b\equiv a{\pmod {m));$
propiedad de transitividad : si y entonces $a\equiv b{\pmod m}$ $b \equiv c \pmod m,$ $a \equiv c \pmod m.$

Así, la relación de comparabilidad módulo es una relación de equivalencia sobre el conjunto de los enteros [8] . $metro$

Además de las propiedades anteriores, las siguientes afirmaciones son ciertas para las comparaciones:

dos enteros cualesquiera son congruentes módulo 1;
si los números y son comparables en módulo , y el número es un divisor , entonces y son comparables en módulo ; $a$ $b$ $metro$ $d$ $metro$ $a$ $b$ $d$

Prueba

Dejar

a\equiv b{\pmod {m)).

Como consecuencia

ab=mt,

donde es algún número entero.

t

Como es un divisor del número , entonces $d$ $metro$

{\ estilo de visualización m = cd,}

donde es algún número entero.

C

Como consecuencia

ab=mt=(cd)t=qd,

dónde

{\ estilo de visualización q = ct,}

a\equiv b{\pmod {d))

por definición.

si los números y son comparables en módulos , entonces son comparables en módulo igual al mínimo común múltiplo de los módulos . $a$ $b$ $k$ ${m_{1},m_{2},...,m_{k)),$ ${m_1, m_2, ..., m_k}$

Prueba

Dejar

a\equiv b{\pmod {m_{i))},

dónde

i=1,2,...,k.

Como consecuencia

ab=m_{i}t.

Dado que la diferencia es un múltiplo de cada uno , también es un múltiplo de su mínimo común múltiplo . $abdominales$ $mi$

Consecuencia: Para que los números y sean módulo comparable , cuya descomposición canónica en factores primos tiene la forma

a

b

metro

m = \prod_{i=1}^d p_i^{\alpha_i},

necesario y suficiente para

a\equiv b{\pmod {p_{i}^{\alpha _{i))))),

donde [9] .

i=1,2,\ldots,d

Operaciones con comparaciones

Las comparaciones módulo uno y el mismo tienen muchas de las propiedades de las igualdades ordinarias. Por ejemplo, se pueden sumar, restar y multiplicar: si los números y son comparables por pares módulo , entonces sus sumas y , así como los productos y también son comparables módulo : $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ $b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}$ $metro$ $a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}$ ${\displaystyle b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n))$ $a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n$ $b_1 \cdot b_2 \cdot ... \cdot b_n$ $metro$

(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n})\equiv (b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n}){\pmod {m)) ;

(a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n})\equiv (b_{1}\cdot b_{2}\cdot \ldots \cdot b_{n}){ \pmod{m}}.

Al mismo tiempo, estas operaciones no se pueden realizar con comparaciones si sus módulos no coinciden [9] .

Puede agregar el mismo número a ambas partes de la comparación : $C$

(a+c)\equiv (b+c){\pmod {m)).

También puede transferir un número de una parte de la comparación a otra con un cambio de signo:

a\equiv (b+c){\pmod {m));

(ac)\equiv b{\pmod {m)).

Si los números y son comparables en módulo , entonces sus potencias y también son comparables en módulo para cualquier natural [7] : $a$ $b$ $metro$ $a ^ k$ $b^{k}$ $metro$ $k$

a^{k}\equiv b^{k}{\pmod {m)).

A cualquiera de las partes de la comparación, se le puede agregar un múltiplo entero del módulo, es decir, si los números y son comparables módulo algún número , entonces y es comparable con módulo , donde y son enteros arbitrarios que son múltiplos de : $a$ $b$ $metro$ $a + t_1$ ${\ Displaystyle b+t_{2))$ $metro$ $t_{1}$ $t_{2}$ $metro$

(a+t_{1})\equiv (b+t_{2}){\pmod {m)).

Además, ambas partes de la comparación y el módulo se pueden multiplicar por el mismo número, es decir, si los números y son comparables módulo algún número entero , entonces los números y son comparables módulo el número , donde es un número entero : $a$ $b$ $metro$ $ac$ $bq$ $mq$ $q$

aq\equiv bq{\pmod {mq)).

Las comparaciones, sin embargo, no pueden, en términos generales, dividirse entre sí o por otros números. Ejemplo: , sin embargo, habiendo reducido 2 veces, obtenemos una comparación errónea: . Las reglas de reducción para las comparaciones son las siguientes. $14\equiv 20{\pmod {6}}$ $7\equiv 10{\pmod {6}}$

Es posible dividir ambas partes de la comparación por un número, pero solo coprimos con el módulo: si

{anuncio} \equiv {bd} \pmod m

y GCD entonces

{(d,m)=1},

a \equiv b \pmod m

Si el número no es coprimo con el módulo, como lo fue en el ejemplo anterior, entonces no se puede reducir. $d$ $d$

Puede dividir simultáneamente ambas partes de la comparación y el módulo por su divisor común:

si , entonces [9] . ${ac} \equiv {bc} \pmod {mc}$ $a \equiv b \pmod m$

Ejemplo

El uso de comparaciones facilita la obtención de varios criterios de divisibilidad . Por ejemplo, derivemos un signo de divisibilidad de un número natural N por 7. Escribámoslo en la forma (es decir, separamos el dígito de las unidades). La condición que es divisible por 7 se puede escribir como: Multiplica esta comparación por $norte$ ${\ estilo de visualización 10a+b}$ $norte$ $10a+b\equiv 0{\pmod {7)).$ ${\ estilo de visualización-2:}$

-20a-2b\equiv 0{\pmod {7)).

O, sumando un múltiplo del módulo de la izquierda: ${\ estilo de visualización 21a,}$

a-2b\equiv 0{\pmod {7)).

Esto implica el siguiente signo de divisibilidad por 7: es necesario restar el número de unidades duplicado del número de decenas, luego repetir esta operación hasta obtener un número de dos o un dígito; si es divisible por 7, entonces el número original también es divisible. Por ejemplo, comprobemos el algoritmo [10] : ${\ estilo de visualización N = 22624.}$

N_{1}=2262-2\cdot 4=2254;\ N_{2}=225-2\cdot 4=217;N_{3}=21-2\cdot 7=7

Conclusión: 22624 es divisible por 7.

Definiciones relacionadas

Clases de residuos

El conjunto de todos los números congruentes con módulo se denomina clase de residuos de módulo y generalmente se denota por o . Así, la comparación es equivalente a la igualdad de clases de residuos [11] . $a$ $metro$ $a$ $metro$ $[soy$ $\bar a_m$ $a\equiv b\pmod{m}$ $[a]_m=[b]_m$

Cualquier número de clase se llama residuo de módulo . Sea , por definición , el resto de dividir cualquiera de los representantes de la clase seleccionada entre , entonces cualquier número de esta clase se puede representar como , donde es un número entero . El residuo igual al resto ( at ) se llama el residuo no negativo más pequeño , y el residuo ( ), el más pequeño en valor absoluto, se llama el residuo absolutamente más pequeño . Cuando consigamos eso , de lo contrario . Si es par y , entonces [12] . $metro$ $r$ $metro$ $q$ $q = metro + r$ $t$ $r$ ${\ estilo de visualización q = r}$ ${\ estilo de visualización t = 0}$ $\rho$ ${\ estilo de visualización q = \ rho}$ $r<{\frac{m}{2))$ $\rho=r$ $\rho = r - m$ $metro$ $r = \frac{m}{2}$ $\rho = -\frac{m}{2}$

Dado que la comparabilidad de módulo es una relación de equivalencia en el conjunto de números enteros , las clases de residuos de módulo son clases de equivalencia ; su número es igual . $metro$ $\matemáticas {Z}$ $metro$ $metro$

El conjunto de todas las clases de residuos módulo se denota por [13] o [14] . $metro$ $\mathbb {Z} _{m}$ $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}/(m)$

Las operaciones de suma y multiplicación sobre inducen las correspondientes operaciones sobre el conjunto : $\matemáticas {Z}$ $\mathbb {Z} _{m}$

[a]_{m}+[b]_{m}=[a+b]_{m};

[a]_{m}\cdot [b]_{m}=[a\cdot b]_{m}.

Con respecto a estas operaciones, el conjunto es un anillo finito , y para uno simple , es un campo finito [6] . $\mathbb {Z} _{m}$ $metro$

Sistemas de deducción

El sistema de residuos le permite realizar operaciones aritméticas en un conjunto finito de números sin ir más allá. Un sistema completo de módulos de residuos es cualquier conjunto de números enteros de módulos incomparables por pares . Por lo general, uno de los dos conjuntos se toma como un sistema completo de módulos de residuos : $metro$ $metro$ $metro$ $metro$

los residuos no negativos más pequeños , es decir, números:

0,1,\ldots,m-1

o absolutamente menos residuos que consisten en números

0,\pm 1,\pm 2,\ldots,\pm {\frac {m-1}{2))

, en caso de impar , y números

metro

0,\pm 1,\pm 2,\ldots,\pm \left({\frac {m}{2}}-1\right),-{\frac {m}{2}}

en el caso par .

metro

El conjunto máximo de números de módulo incomparables por pares coprimos con se denomina sistema reducido de residuos de módulo . Cualquier sistema reducido de residuos módulo contiene elementos, donde es la función de Euler [12] . $metro$ $metro$ $metro$ $metro$ $\varfi(m)$ $\varphi (\cdot)$

Por ejemplo, para un número, el sistema completo de residuos se puede representar con los números 0, 1, 2, 3, ..., 21, 22, 23, ..., 39, 40, 41, y el sistema reducido se puede representar por 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41. $metro=42$

Comparaciones en un anillo de polinomios sobre un campo

Se considera el anillo de polinomios sobre el campo . Dos polinomios y pertenecientes al anillo elegido se denominan módulo comparable del polinomio si su diferencia es divisible por sin resto. La comparación se denota de la siguiente manera: $k[x]$ $k$ $g_{1}$ $g_{2}$ $F$ $g_1-g_2$ $F$

g_{1}\equiv g_{2}{\pmod {f)).

Al igual que en el anillo de números enteros, tales comparaciones se pueden sumar, restar y multiplicar [15] .

Resolviendo comparaciones

Comparaciones de primer grado

En teoría de números , criptografía y otros campos de la ciencia, a menudo surge el problema de encontrar soluciones para una comparación del primer grado de la forma

a\cdot x\equiv b{\pmod {m)).

La solución de tal comparación comienza con el cálculo de mcd . En este caso, dos casos son posibles: $re=$ $(soy)$

si no es múltiplo de , entonces la comparación no tiene solución; $b$ $d$
si es un múltiplo de , entonces la comparación tiene una única solución módulo o, de manera equivalente, soluciones módulo . En este caso, reducir la comparación original en n da como resultado una comparación: $b$ $d$ $\frac{m}{d}$ $d$ $metro$ $d$

a_{1}x\equiv b_{1}{\pmod {m_{1}}},

donde y son enteros , y y son coprimos . Por lo tanto, se puede invertir un número módulo , es decir, encontrar un número tal que (en otras palabras, ). Ahora la solución se encuentra multiplicando la comparación resultante por :

a_{1}={\frac{a}{d)),

b_1 = \frac{b}{d}

m_1 = \frac{m}{d}

un_{1}

m_1

un_{1}

m_1

C

{\displaystyle c\cdot a_{1}\equiv 1{\pmod {m_{1))))

{\displaystyle c\equiv a_{1}^{-1}{\pmod {m_{1))))

C

x\equiv ca_{1}x\equiv cb_{1}\equiv a_{1}^{-1}b_{1}{\pmod {m_{1))}.

El cálculo práctico del valor se puede hacer de diferentes maneras: usando el teorema de Euler , el algoritmo de Euclides , la teoría de las fracciones continuas (ver algoritmo ), etc. En particular, el teorema de Euler le permite escribir el valor en la forma: $C$ $C$

{\displaystyle c\equiv a_{1}^{-1}\equiv a_{1}^{\varphi (m_{1})-1}{\pmod {m_{1))))

[16] . Ejemplos

Ejemplo 1. Para comparar

6x\equiv 26{\pmod {22}}

tenemos , por lo tanto, módulo 22, la comparación tiene dos soluciones. Reemplacemos 26 con 4, que es un módulo comparable a 22, y luego cancelemos los tres números por 2: $re=2$

3x\equiv 2{\pmod {11}}

Dado que 3 es coprimo módulo 11, se puede invertir módulo 11 y encontrar

3^{-1}\equiv 4{\pmod {11))

Multiplicando la comparación por 4, obtenemos la solución módulo 11:

x\equiv 8{\pmod {11}}

equivalente al conjunto de dos soluciones módulo 22:

x\equiv 8{\pmod {22}}

y .

x\equiv 19{\pmod {22}}

Ejemplo 2. Se da una comparación:

100 x \equiv 41\pmod {65537}.

Tenga en cuenta que el módulo es un número primo.

65537

La primera forma de resolver es usar la relación de Bezout . Usando el algoritmo de Euclides o el programa dado en el artículo sobre la relación de Bezout, encontramos que esta relación para números y tiene la forma: $100$ $65537$

17695\cdot 100+(-27)\cdot 65537=1,

17695 \cdot 100 \equiv 1 \pmod {65537}

Multiplicando ambos lados de esta comparación por 41, obtenemos:

100 \cdot 725495 \equiv 41 \pmod {65537}

De ello se deduce que hay una solución a la comparación original. Es más conveniente reemplazarlo por algo comparable (el resto de dividir por ). Responder: $725495$ $4588$ $725495$ $65537$ $x \equiv 4588 \pmod {65537}.$

La segunda solución, más simple y rápida, no requiere la construcción de la relación de Bezout, sino que también es equivalente al algoritmo de Euclides.

Paso 1. Divida el módulo por el coeficiente de x con el resto: . Multiplica ambos lados de la comparación original por el cociente y suma ; obtenemos: , pero el lado izquierdo es un múltiplo de , es decir, comparable a cero, de donde: $65537=100 \cdot 655+37$ $655$ $37x$ $65537x\equiv 26855+37x{\pmod {65537}}$ $65537$

37x\equiv -26855{\pmod {65537}}

Obtuvimos un coeficiente de 37 en lugar de 100 para at En cada paso siguiente, disminuimos de la misma manera hasta obtener uno. $X$

Paso 2. Del mismo modo, dividimos por un nuevo coeficiente en x: . Multiplica ambas partes de la comparación obtenida en el paso anterior por el cociente y suma ; reemplazando nuevamente el lado izquierdo con cero, obtenemos: $65537=37 \cdot 1771+10$ $1771$ $10x$

10x \equiv 47560205 \pmod {65537}

$47560205$ reemplazar por su resto cuando se divide por igual : $65537,$ $45880$

10x \equiv 45880 \pmod {65537}

Entonces sería posible hacer otros 5 pasos de la misma manera, pero es más fácil dividir ambas partes de la comparación por 10 e inmediatamente obtener el resultado: $x \equiv 4588 \pmod {65537}.$

Comparaciones de segundo grado

Las comparaciones de módulo m de segundo grado tienen la siguiente forma general:

c_0x^2+c_1x+c \equiv 0\pmod {m}.

Esta expresión se puede llevar a la forma

(x+b)^{2}\equiv a{\pmod {m)),

y cuando se reemplaza, se simplifica a $z = x + segundo$

z^{2}\equiv a{\pmod {m)).

Resolver esta comparación se reduce a averiguar si el número dado es un residuo cuadrático (usando la ley de reciprocidad cuadrática ) y luego calcular la raíz cuadrada módulo this [17] . Para calcular la raíz cuadrada de un residuo cuadrático, existe un método probabilístico de Berlekamp y un algoritmo determinista de Tonelli-Shanks .

Sistemas de comparación

El teorema chino del resto establece que un sistema de congruencias con módulos coprimos por pares es: $m_{1},m_{2},\ldots,m_{n}$

{\begin{casos}x\equiv a_{1}{\pmod {m_{1}}}\\x\equiv a_{2}{\pmod {m_{2}}}\\\ldots \\x\ equivalente a_{n}{\pmod {m_{n}}}\end{casos}}

siempre tiene solución, y su solución es módulo único . ${\displaystyle m_{1}\cdot m_{2}\cdot \ldots \cdot m_{n))$

En otras palabras, el teorema chino del resto establece que un anillo de residuos módulo el producto de varios números coprimos por pares es el producto directo de los anillos de residuos correspondientes a los factores.

Aplicación

La aritmética modular se utiliza en teoría de números, teoría de grupos , teoría de anillos , teoría de nudos , álgebra general , criptografía , informática , química y otros campos.

Por ejemplo, las comparaciones se utilizan a menudo para calcular las sumas de comprobación utilizadas en los identificadores. Entonces, para determinar errores al ingresar un número de cuenta bancaria internacional , se utiliza el módulo de comparación 97 [18] .

En criptografía, las comparaciones se pueden encontrar en sistemas de clave pública utilizando, por ejemplo, el algoritmo RSA o el protocolo Diffie-Hellman . Además, la aritmética modular proporciona campos finitos sobre los que luego se construyen curvas elípticas , y se utiliza en varios protocolos de clave simétrica ( AES , IDEA ) [19] .

En química, el último dígito del número de registro CAS es el valor de la suma de comprobación , que se calcula sumando el último dígito del número multiplicado por 1, el segundo dígito de la derecha multiplicado por 2, el tercer dígito multiplicado por tres, y así hasta el primer dígito de la izquierda, terminando con el cálculo del resto de la división por 10 [20]

Véase también

Notas

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Literatura

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