Anillo final

Un anillo finito en álgebra general  es un anillo que contiene un número finito de elementos (llamado el orden del anillo). En otras palabras, este es un conjunto finito (no vacío) , sobre el cual se definen las operaciones de suma y multiplicación, y con respecto a la suma forma un grupo finito conmutativo , y la multiplicación está conectada con la suma por las leyes habituales de distribución . La existencia de una unidad y la conmutatividad de la multiplicación en un anillo no siempre se cumplen, también pueden existir divisores de cero .

El número de anillos de órdenes pequeños se da en la enciclopedia en línea de secuencias enteras [1] .

Ejemplos de anillos finitos

• El ejemplo más simple es el anillo trivial , que consta de un cero. Cualquier anillo contiene un subanillo trivial . Este es el único anillo donde el cero es uno multiplicativo [2] . Todos los demás anillos finitos se llaman no triviales.

• Un ejemplo clásico de un anillo finito es  el anillo de residuo módulo algún valor natural . Un anillo de residuos es un campo si y solo si el número es primo [3] . Si el número es compuesto, entonces hay cero divisores en el anillo . Por ejemplo, un conjunto con operaciones de suma y multiplicación módulo 8 da un ejemplo de un anillo sin unidad y con divisores cero: Los anillos de residuos son importantes para estudiar la estructura de grupos abelianos generados finitamente , también se pueden usar para construir p -adic numeros _ Este anillo es conmutativo, pero el anillo de matrices cuadradas de un orden dado cuyos elementos son clases de residuos módulo , ya no es conmutativo.

• El anillo de subconjuntos de un conjunto finito  es un anillo cuyos elementos son subconjuntos en . La operación de suma es la diferencia simétrica , y la multiplicación es la intersección de conjuntos :

Los axiomas de los anillos se verifican fácilmente. El elemento cero es el conjunto vacío , el elemento unidad es todo . Todos los elementos del anillo son idempotentes , es decir, . Cualquier elemento es su inverso además: El anillo de subconjuntos es importante en la teoría de las álgebras booleanas y la teoría de la medida , en particular, para la construcción de la teoría de la probabilidad [2] .

• Todo campo finito o cuerpo finito es también un anillo finito.

Algunas propiedades

En un anillo finito conmutativo con uno, cada elemento distinto de cero es invertible o es un divisor de cero . De hecho, sea un elemento distinto de cero del anillo de orden ; componemos productos por todos los elementos distintos de cero del anillo: . Si hay uno entre estos productos, entonces el elemento es invertible, y si no, entonces uno de los productos es igual a cero, o algunos dos productos son iguales: o En ambos casos , un divisor de cero, etc.

Corolario: un anillo finito conmutativo no trivial sin divisores de cero es un campo (la existencia de una unidad en el anillo se deriva del mismo razonamiento).

Un anillo con multiplicación no trivial (para el cual no todos los productos de los elementos son iguales a cero) se llama simple si no contiene ideales de dos lados , excepto el subanillo trivial y él mismo . Cualquier campo es un simple anillo, ya que el campo no tiene ideales propios. Un anillo conmutativo con identidad es un campo si y solo si es un anillo simple.

Teoremas de Wedderburn

El pequeño teorema de Wedderburn establece que todo cuerpo finito es un campo (es decir, conmutativo por multiplicación) [4] [5] .

Nathan Jacobson descubrió más tarde otra condición que garantiza la conmutatividad de un anillo: si para cada elemento del anillo hay un número entero tal que , entonces el anillo es conmutativo [6] . También se han encontrado otros signos de la conmutatividad de los anillos [7] .

Otro teorema de Wedderburn: sea  un anillo simple con identidad y mínimos ideales a la izquierda. Entonces el anillo es isomorfo al anillo de todas las matrices de orden sobre algún anillo de división . En este caso , el cuerpo está definido de forma única y el cuerpo está definido hasta el isomorfismo. A la inversa, para cualquier cuerpo, un anillo es un simple anillo. Esto significa que cualquier anillo simple finito es isomorfo a un anillo de matriz cuadrada sobre algún campo finito [8] .

Notas

1. ↑ Secuencia OEIS A027623 _
2. ↑ 1 2 Vinberg, 2011 , pág. 18-19.
3. ↑ Vinberg, 2011 , pág. 28-34.
4. ↑ Herstein, 1972 , pág. 70-71.
5. ↑ Polinomios de Prasolov V.V. - M. : MTSNMO, 2003. - S. 113. - 336 p. — ISBN 5-94057-077-1 .
6. ↑ Herstein, 1972 , pág. 74.
7. ↑ Pinter-Lucke J. Condiciones de conmutatividad para anillos: 1950–2005 // Expositiones Mathematicae. - 2007. - T. 25 , núm. 2 . - S. 165-174 . -doi : 10.1016/ j.exmath.2006.07.001 .
8. ↑ Van der Waerden, 1975 , pág. 372.

Literatura

• Atiyah M. , McDonald I. Introducción al álgebra conmutativa. - M. : Mir, 1972. - 160 p.
• Belsky A., Sadovsky L. Anillos  // Kvant . - 1974. - Nº 2 .
• Van der Waerden B. L. Álgebra. - M. : Mir, 1975. - 623 p.
• Curso de Álgebra de Vinberg E. B. — Nueva edición, revisada. y adicional — M.: MTsNMO, 2011. — 592 p.
• Jacobson N. Estructura de anillos. - M. : Editorial de literatura extranjera, 1961.
• Herstein I. Anillos no conmutativos. - M. : Mir, 1972. - 190 p.