Torsión (álgebra)

En álgebra general , el término torsión se refiere a los elementos de un grupo que tienen un orden finito, oa los elementos de un módulo aniquilados por un elemento regular del anillo.

Definición

Un elemento g de un grupo G se llama elemento de torsión si es de orden finito , es decir, existe un número natural n tal que g n = e , donde e denota el elemento neutro del grupo. Un grupo se llama periódico (o grupo de torsión ) si todos sus elementos son elementos de torsión, y un grupo libre de torsión si el único elemento de torsión es neutro. Se sabe que todo grupo abeliano es un módulo sobre el anillo de los enteros; en particular, la definición de un elemento de torsión para él se puede reformular de la siguiente manera: hay un número entero distinto de cero tal que la multiplicación por este número lleva este elemento a cero. Esto motiva la siguiente definición:

Un elemento m de un módulo M sobre un anillo R se llama elemento de torsión si existe un elemento regular r distinto de cero del anillo R (es decir, un elemento que no es un divisor de cero por la izquierda o por la derecha ) que anula m , es decir, tal que rm = 0. En el caso de tratarse de un anillo integral , se puede descartar la suposición de regularidad. El módulo de torsión y el módulo libre de torsión se definen de manera similar . En caso de que el anillo R sea conmutativo , el conjunto de todos los elementos de torsión del módulo M forma un submódulo denominado submódulo de torsión (en particular, para un módulo sobre Z se denomina subgrupo de torsión ).

De manera más general, sea M un módulo sobre R y S un sistema multiplicativamente cerrado del anillo. Un elemento m de un módulo M se llama elemento S-torsión si existe un elemento del sistema multiplicativo que aniquila m . En particular, el conjunto de elementos regulares de un anillo es el sistema multiplicativo más grande.

Ejemplos

Sea M un módulo libre sobre un anillo R , de la definición se sigue inmediatamente que M es un módulo libre de torsión. En particular, los espacios vectoriales están libres de torsión.
En un grupo modular, cualquier elemento de torsión no trivial tiene orden 2 y es conjugado con S , o tiene orden 3 y es conjugado con ST . Los elementos de torsión aquí no forman un subgrupo: por ejemplo, S · ST = T , y T tiene un orden infinito.
El grupo abeliano (que puede considerarse como el grupo de rotaciones de un círculo en un ángulo proporcional a la circunferencia del círculo) es un grupo de torsión. Este ejemplo se puede generalizar de la siguiente manera: si R es un anillo conmutativo y Q es su campo cociente , entonces Q/R es un grupo de torsión. $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$
Sea un espacio vectorial V sobre un campo F con un operador lineal . Si consideramos naturalmente este espacio como un módulo F(x) , entonces este módulo es un módulo de torsión (por el teorema de Hamilton-Cayley, o simplemente porque el espacio es de dimensión finita).

El caso del dominio de los ideales principales

Sea R un dominio ideal principal y M un módulo R generado finitamente . De acuerdo con el teorema de la estructura correspondiente , este módulo se puede descomponer en una suma directa

M\simeq F\o más T(M),

donde F es un módulo R libre y T ( M ) es un submódulo de torsión de M . Para módulos que no se generan finitamente, dicha descomposición, en términos generales, no existe: incluso el subgrupo de torsión de un grupo abeliano no es necesariamente un sumando directo.

Torsión y localización

Sea R un dominio de integridad con un campo de fracciones Q y M un módulo R. Entonces podemos considerar un módulo Q (es decir, un espacio vectorial)

M_{Q}=M\otimes_{R}Q.

Hay un homomorfismo natural de un grupo abeliano M a un grupo abeliano M Q , y el núcleo de este homomorfismo es exactamente el submódulo de torsión. De manera similar, para la localización del anillo R con respecto al sistema multiplicativo S $a\mapstoa\otimes 1$

M_{S}=M\otimes_{R}R_{S},

el núcleo del homomorfismo natural son exactamente los elementos de la S - torsión. Así, el submódulo de torsión puede entenderse como el conjunto de aquellos elementos que se identifican durante la localización.

Torsión en álgebra homológica

El concepto de torsión juega un papel importante en el álgebra homológica . Si M y N son módulos sobre un anillo conmutativo R , el funtor Tor produce una familia de R -módulos Tor i ( M , N ). Además, el módulo de torsión S del módulo M es naturalmente isomorfo a Tor 1 ( M , R S / R ). En particular, de esto se sigue inmediatamente que los módulos planos son módulos libres de torsión. El nombre Tor es una abreviatura del inglés torsión (torsión).

Literatura

Ernst Kunz , Introducción al álgebra conmutativa y la geometría algebraica, Birkhauser 1985 - ISBN 0-8176-3065-1
Irving Kaplansky , Grupos abelianos infinitos, Universidad de Michigan, 1954.
Michiel Hazewinkel (2001), Submódulo de torsión , en Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer - ISBN 978-1-55608-010-4