Un enlace de vértice de un poliedro o una figura de vértice es un poliedro de una dimensión menos, que se obtiene en una sección del poliedro original por un plano que corta un vértice. En particular, un enlace de vértice contiene información sobre el orden de las caras del poliedro alrededor de un vértice.
Si toma algún vértice del poliedro, marque un punto en algún lugar de cada uno de los bordes adyacentes, dibuje segmentos en las caras, conectando los puntos obtenidos, como resultado obtendrá un ciclo completo (polígono) alrededor del vértice. Este polígono es el enlace del vértice.
La definición formal puede variar mucho según las circunstancias. Por ejemplo, Coxeter (1948, 1954) cambió su definición para adaptarse a la discusión actual. La mayoría de las definiciones de enlace dadas a continuación encajan igualmente bien tanto para mosaicos infinitos en el plano como para mosaicos espaciales de poliedros .
Si corta un vértice de un poliedro intersecando cada una de las aristas adyacentes al vértice, la superficie cortada será un enlace. Este es quizás el enfoque más común y el más comprensible. Diferentes autores hacen un corte en diferentes lugares. Wenninger [1] [2] corta cada arista a la unidad de distancia del vértice, al igual que Coxeter (1948). Para poliedros uniformes, la construcción de Dorman Luke intersecta cada borde adyacente en el medio. Otros autores realizan un corte en el vértice del otro lado de cada arista [3] [4] .
Cromwell [5] realiza una sección esférica centrada en el vértice. La superficie de sección o enlace, entonces, es un polígono esférico sobre esa esfera.
Muchos enfoques combinatorios y computacionales (por ejemplo, Skilling [6] ) consideran un enlace como un conjunto ordenado (o parcialmente ordenado) de puntos de todos los vértices vecinos (conectados por el borde) para un vértice dado.
En la teoría de los poliedros abstractos, el enlace de un vértice V dado consta de todos los elementos incidentes en el vértice: vértices, aristas, caras, etc.
A este conjunto de elementos se le conoce como estrella pináculo .
El enlace de un vértice de un n -politopo es un ( n − 1)-politopo. Por ejemplo, el enlace de vértice de un politopo de 3 es un polígono y el enlace de un politopo de 4 es un politopo de 3.
Los enlaces son más útiles para politopos uniformes , ya que todos los vértices comparten el mismo enlace.
Para poliedros no convexos, el vínculo también puede ser no convexo. Los poliedros uniformes, por ejemplo, pueden tener caras en forma de polígonos estrellados , los enlaces también pueden ser estrellados.
La cara del poliedro dual es dual al enlace del vértice correspondiente.
Si el poliedro es regular, se puede describir mediante el símbolo de Schläfli , los símbolos de cara y enlace se pueden extraer de esta notación.
En el caso general, un poliedro regular con el símbolo de Schläfli { a , b , c ,..., y , z } tiene caras (de mayor dimensión) { a , b , c ,..., y }, y el enlace será { b , c ,..., y , z }.
Dado que el politopo dual de un politopo regular también es regular y está representado por índices inversos en el símbolo de Schläfli, es fácil entender que la figura dual al enlace de un vértice es una celda del politopo dual. Para poliedros regulares, este hecho es un caso especial de la construcción de Dorman Luke .
El enlace de la parte superior de los panales cúbicos truncados es una pirámide cuadrada heterogénea . Un octaedro y cuatro cubos truncados ubicados cerca de cada vértice forman un mosaico espacial .
| Vínculo de vértice : pirámide cuadrada no uniforme | diagrama de Schlegel |
perspectiva |
| Formado a partir de la base cuadrada del octaedro. | (3.3.3.3) | |
| y cuatro lados triangulares isósceles de un cubo truncado | (3.8.8) |
Otro concepto asociado con un enlace es un enlace de borde . Un enlace de borde es un politopo ( n - 2) que representa la disposición de n - caras unidimensionales alrededor de un borde dado (adyacente al borde dado). Un enlace de borde es un enlace de vértice de un enlace de vértice [7] . Los enlaces de borde son útiles para expresar enlaces entre elementos de poliedros regulares y uniformes.
Los politopos regulares y uniformes resultantes de reflexiones con un espejo activo tienen un solo tipo de enlace de borde, pero en general un politopo uniforme puede tener tantos enlaces como espejos estén activos cuando se construyen, ya que cada espejo activo crea un borde en la región fundamental.
Los poliedros regulares (y los panales) tienen un enlace de borde único que también es regular. Para un politopo regular { p , q , r , s ,..., z } el enlace de borde será { r , s ,..., z }.
En el espacio 4D, un vínculo de borde de un poliedro o panal 3D es un polígono que representa la disposición de las caras alrededor del borde. Por ejemplo, el enlace de borde de un panal cúbico regular {4,3,4} es un cuadrado , mientras que para un poliedro regular de cuatro dimensiones { p , q , r } el enlace de borde sería { r }.
Es menos obvio que el panal cúbico truncado t 0,1 {4,3,4} tiene una pirámide cuadrada como vértice de enlace . Hay dos tipos de enlaces de borde aquí . Uno es el eslabón cuadrado de la arista en la parte superior de la pirámide, que corresponde a los cuatro cubos truncados alrededor de la arista. La segunda cara son los triángulos en la base de la pirámide. Representan la disposición de dos cubos truncados y un octaedro alrededor de otras aristas.