Poliedro regular de cuatro dimensiones

Los poliedros regulares de cuatro dimensiones son análogos de cuatro dimensiones de los poliedros regulares en el espacio tridimensional y los polígonos regulares en el plano.

Los politopos regulares de 4 dimensiones fueron descritos por primera vez por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX, aunque el conjunto completo se descubrió mucho más tarde.

Hay seis politopos regulares de 4 estrellas convexos y diez , para un total de dieciséis.

Historia

Los poliedros convexos de 4 dimensiones fueron descritos por primera vez por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX. Schläfli descubrió que hay exactamente seis de esos cuerpos.

Schläfli también encontró cuatro poliedros estrellados regulares de 4 dimensiones : la gran estrella de 120 celdas , la gran estrella de 120 celdas en] , la gran estrella de 600 celdas y la gran estrella de 120 celdas . Se saltó los seis restantes porque no permitió violaciones de la característica de Euler en celdas o figuras de vértice ( F  −  E  +  V  = 2). Esto excluye celdas y formas de vértices como {5,5/2} y {5/2,5} .

Edmund Hess (1843-1903) publicó una lista completa en su libro alemán Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder Theorie of isohedral and equiangular polyhedra) en 1883.

Edificio

La existencia de un poliedro regular de 4 dimensiones está limitada por la existencia de poliedros regulares (tridimensionales) , que forman sus celdas y limitan el ángulo diedro .

de manera que las celdas son superficies tridimensionales cerradas.

Los poliedros de seis convexos y de diez estrellas descritos aquí son las únicas soluciones que satisfacen las restricciones.

Hay cuatro símbolos de Schläfli no convexos {p,q,r} que tienen celdas válidas {p,q} y figuras de vértice {q,r} que pasan la prueba del ángulo diedro pero no producen figuras finales - {3,5/ 2 ,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}.

4-poliedros convexos regulares

Los poliedros regulares convexos de 4 dimensiones son los análogos de cuatro dimensiones de los sólidos platónicos en el espacio tridimensional y los polígonos regulares convexos en el espacio bidimensional.

Cinco de ellos pueden entenderse como análogos cercanos de los sólidos platónicos. Hay una figura adicional, la celda de veinticuatro , que no tiene un equivalente tridimensional cercano.

Cada 4-politopo regular convexo está delimitado por un conjunto de celdas tridimensionales , que son sólidos platónicos del mismo tipo y tamaño. Las células están en contacto entre sí a lo largo de los bordes, formando la estructura correcta.

Propiedades

Las siguientes tablas enumeran algunas propiedades de los seis poliedros regulares convexos de 4 dimensiones. Los grupos de simetría de estos 4 poliedros son todos grupos de Coxeter y se dan en este artículo. El número que sigue al nombre del grupo es el orden del grupo .

nombres Imagen Familia Schlafli
Coxeter		 picos costillas facetas Células versh.
figura		 Doble
_ 		grupo de simetría

Pentaedro de cinco
celdas 4-simplex		 n -simplex
(Familia A n )		 {3,3,3}
CDel nodo 1.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.png		 5 diez 10
{3}		 5
{3,3}		 {3,3} (auto-dual
)		 Un 4
[3,3,3]		 120

tesseract de ocho
celdas de 4 cubos		 n -cubo
(Familia B n )		 {4,3,3}
CDel nodo 1.pngCDel 4.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.png		 dieciséis 32 24
{4}		 8
{4,3}		 {3,3} 16 celdas Si 4
[4,3,3]		 384
dieciséis
-cell 4-orthoplex		 n -orthoplex
(Familia B n )		 {3,3,4}
CDel nodo 1.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 4.pngCDel nodo.png		 ocho 24 32
{3}		 16
{3,3}		 {3,4} 8 celdas Si 4
[4,3,3]		 384

polioctaedro octaplex de veinticuatro
células (pO)		 Familia Fn {3,4,3}
CDel nodo 1.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 4.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.png		 24 96 96
{3}		 24
{3,4}		 {4,3} (auto-dual
)		 F4 [ 3,4,3
]		 1152
Dodecacontichoron dodecaplex polidodecaedro
de 120 celdas (pD)

 Poliedro n-pentagonal
(Familia H n )		 {5,3,3}
CDel nodo 1.pngCDel 5.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.png		 600 1200 720
{5}		 120
{5,3}		 {3,3} 600 celdas H 4
[5,3,3]		 14400

politetraedro tetraplex de seiscientas
células (pT)		 Poliedro n-pentagonal
(Familia H n )		 {3,3,5}
CDel nodo 1.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 5.pngCDel nodo.png		 120 720 1200
{3}		 600
{3,3}		 {3,5} 120 celdas H 4
[5,3,3]		 14400

John Conway es partidario de los nombres simplex, orthoplex, tesseract, octaplex o polyoctahedron (pO), dodecaplex o polydodecahedron (pD) y tetraplex o polytetrahedron (pT) [1] .

Norman Johnson es partidario de los nombres n-cell o pentachoron, tesseract u octachoron, hexadecachoron, icositetrachoron, hekatonikosahedron (o dodecacontachoron) y hexacosichoron. [2] [3] [4]

La característica de Euler para todos los poliedros de 4 dimensiones es cero. Hay un análogo de 4 dimensiones de la fórmula de Euler para poliedros:

donde N k es el número de caras k en el poliedro (un vértice es una cara 0, un borde es una cara 1, etc.).

Visualización

La siguiente tabla muestra algunas proyecciones 2D de poliedros 4D. Se pueden encontrar otras visualizaciones en enlaces externos. Los gráficos de los diagramas de Coxeter-Dynkin también se dan debajo del símbolo de Schläfli .

A4 = [3,3,3 ] BC4 = [4,3,3 ] F4 = [3,4,3 ] H4 = [5,3,3 ]
cinco celdas 8 celdas 16 celdas 24 celdas 120 celdas 600 celdas
{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}
CDel nodo 1.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.png CDel nodo 1.pngCDel 4.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.png CDel nodo 1.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 4.pngCDel nodo.png CDel nodo 1.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 4.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.png CDel nodo 1.pngCDel 5.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.png CDel nodo 1.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 5.pngCDel nodo.png
Proyecciones ortográficas 3D


capa tetraédrica
(célula/vértice centrado)

capa cúbica
(célula centrada)

capa cúbica
(célula centrada)

capa cuboctaédrica
(centrada en la celda)
Triacontaedro rómbico rómbico truncado [
(centrado en la celda)
pentakiikosi - capa dodecaédrica
(célula centrada)
Estructuras alámbricas de los diagramas de Schlegel ( proyección en perspectiva )

centrado en la celda
centrado en la celda
centrado en la celda
centrado en la celda
centrado en la celda
centrado en la parte superior
Wireframes de proyecciones estereográficas ( 3 esferas )

4-poliedros estrellados regulares (Schläfli–Hess)

Los 4 poliedros de Schläfli-Hess son una lista completa de diez 4 politopos estrellados regulares que se cortan a sí mismos [5] . Los poliedros llevan el nombre de sus descubridores Ludwig Schläfli y Edmund Hess. Cada poliedro está representado por el símbolo de Schläfli { p , q , r }, en el que uno de los números es 5/2 . Los poliedros son similares a los poliedros regulares no convexos de Kepler-Poinsot .

Nombres

Los nombres dados aquí son dados por John Conway y son extensiones de los nombres de Cayley para los poliedros de Kepler-Poinsot ; agregó gran a los modificadores estrellados y grandes . Conway definió las siguientes operaciones:

  1. stellation (formación de stellation) reemplaza los bordes con otros más largos en las mismas líneas. (Ejemplo: un pentágono se convierte en un pentagrama )
  2. el agrandamiento reemplaza caras con caras más grandes en los mismos planos. (Ejemplo: el icosaedro aumenta hasta convertirse en un gran icosaedro )
  3. el engrandecimiento (exaltación) reemplaza las células con otras más grandes en los mismos espacios tridimensionales. (Ejemplo: 600 celdas se exalta a la gran celda 600 )

Nombres de Conway para 10 formas de 3 poliedros de 4 dimensiones con celdas regulares: pT = politetraedro (politetraedro) {3,3,5} ( seiscientas celdas tetraédricas), pI = poliicoedro (poliicosaedro) {3,5,5/2} ( icosaédrico de 120 celdas ) y pD=polidodecaedro (polidodecaedro) {5,3,3} (dodecaédrico de 120 celdas ) con la modificación de los prefijos g , a y s para grande (grande), grand (grande) y estrellado ( estrellado). La estelación final, el gran gran polidodecaedro estrellado, se designaría entonces como gaspD .

Simetría

Los diez policoros tienen [3,3,5] ( H 4 ) simetría hexacosicoro . Son generados por seis grupos de simetría acoplados del orden racional de los tetraedros de Goursat : [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2 ,5,5/ 2], [5.5/2.3] y [3.3.5/2].

Cada grupo tiene 2 politopos de estrellas regulares, excepto dos grupos autoduales que contienen un politopo cada uno. Por lo tanto, hay 4 pares duales y 2 formas autodual entre los diez poliedros de estrellas regulares.

Propiedades

Nota:

Las celdas (poliedros tridimensionales), sus caras (polígonos), figuras de bordes poligonales y figuras de vértices poliédricos están representados por sus símbolos de Schläfli .


Abreviatura del nombre
Conway
proyección ortogonal		 Schlafli
Coxeter 		celdas
{p, q} 		Bordes
{p} 		costillas
_ 		Vértices
{q, r} 		Densidad [ es x
Poliicosaedro icosaédrico de 120 celdas
(pI) 		{3,5,5/2}
CDel nodo 1.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 5.pngCDel nodo.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel nodo.png 		120
{3.5}
 1200
{3}
 720
{5/2}
 120
{5,5/2}
 cuatro 480
Pequeño polidodecaedro120 ]


{5/2,5,3}
CDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 5.pngCDel nodo.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel nodo 1.png 		120
{5/2.5}
 720
{5/2}
 1200
{3}
 120
{5,3}
 cuatro −480
Gran polidodecaedro
( gpD)

{5.5/2.5}
CDel nodo 1.pngCDel 5.pngCDel nodo.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel nodo.pngCDel 5.pngCDel nodo.png 		120
{5,5/2}
 720
{5}
 720
{5}
 120
{5/2.5}
 6 0
Gran polidodecaedro de 120 celdas
( apD
) 		{5,3,5/2}
CDel nodo 1.pngCDel 5.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel nodo.png 		120
{5,3}
 720
{5}
 720
{5/2}
 120
{3,5/2}
 veinte 0
Gran polidodecaedro estrellado de 120 celdas
gran
(gspD) 		{5/2,3,5}
CDel nodo.pngCDel 5.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel nodo 1.png 		120
{5/2.3}
 720
{5/2}
 720
{5}
 120
{3.5}
 veinte 0
Gran polidodecaedro estrellado de 120 celdas
gran
polidodecaedro
(aspD) 		{5/2,5,5/2}
CDel nodo 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel nodo.pngCDel 5.pngCDel nodo.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel nodo.png 		120
{5/2.5}
 720
{5/2}
 720
{5/2}
 120
{5,5/2}
 66 0
Great great 120-cell
great great polidodecaedro (gapD) 		{5.5/2.3}
CDel nodo 1.pngCDel 5.pngCDel nodo.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.png 		120
{5,5/2}
 720
{5}
 1200
{3}
 120
{5/2.3}
 76 −480
Gran icosaedro de 120 celdas
gran
poliicosaedro
(gpI) 		{3.5/2.5}
CDel nodo.pngCDel 5.pngCDel nodo.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo 1.png 		120
{3,5/2}
 1200
{3}
 720
{5}
 120
{5/2.5}
 76 480
Granpolitetraedro de seiscientas celdas (apT)


{3,3,5/2}
CDel nodo 1.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel nodo.png 		600
{3,3}
 1200
{3}
 720
{5/2}
 120
{3,5/2}
 191 0
Gran gran
polidodecaedro estrellado de 120 celdas gran estrellado (
gaspD
) 		{5/2,3,3}
CDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel nodo 1.png 		120
{5/2.3}
 720
{5/2}
 1200
{3}
 600
{3,3}
 191 0

Véase también

Notas

  1. ↑ Conway, 2008 .
  2. ↑ Johnson también propuso el término polychoron para el nombre de los poliedros de 4 dimensiones como un análogo de los poliedros tridimensionales (poliedro) y los polígonos bidimensionales (polígono) como un derivado de las palabras griegas πολύ ("muchos") y χώρος ( "espacio", "habitación")
  3. ↑ "Polítopos convexos y abstractos", Programa y resúmenes, MIT, 2005 . Fecha de acceso: 23 de febrero de 2016. Archivado desde el original el 29 de noviembre de 2014.
  4. ↑ Johnson (2015), Capítulo 11, Sección 11.5 Grupos esféricos de Coxeter
  5. ↑ Coxeter, Star polytopes y la función de Schläfli f{α,β,γ) p. 122 2. Los politopos de Schlafli-Hess

Literatura

Enlaces