Poliedro abstracto

Digon es un poliedro con dos aristas, lo que corresponde al nombre. A diferencia de otros polígonos, ambas aristas comparten dos vértices comunes. Por este motivo, se considera degenerado .

Hasta ahora, hemos usado la "notación de vértices" para definir bordes, por ejemplo. { ø , a , b , c , ab , ac , bc , abc } para el triángulo abc . Este método tiene una clara ventaja sobre establecer la relación < .

En el caso del digon y muchos otros poliedros abstractos, no se puede usar la notación de vértice . Nos vemos obligados a dar a las caras nombres individuales y especificar pares de subcaras F < G (especificar orden).

Así, un digon debe definirse como un conjunto { ø , a , b , E', E", G} con relación de orden <

donde E' y E" son dos aristas y G es la cara mayor.

En resumen, un poliedro solo se puede describir completamente mediante la notación de vértices si alguna cara tiene un conjunto único de vértices . Un poliedro que tiene esta propiedad se llama atómico .

Ejemplos de orden superior

Como se señaló anteriormente, la noción de un poliedro abstracto es muy general e incluye:

• Infinito , es decir, infinitos poliedros o sustituciones
• Descomposiciones de otras variedades como el toro o el plano proyectivo real
• Hay muchos otros objetos, como la celda de once y la celda de cincuenta y siete , que no encajan de la manera habitual en espacios geométricos "normales".

En general, el conjunto de j -caras (−1 ≤ j ≤ n ) de un n -politopo tradicional forma un n -politopo abstracto.

Hosoedro

Digon se generaliza por osohedra , que se puede realizar como poliedros esféricos - mosaicos de la esfera.

Poliedros proyectivos

Cuatro ejemplos de poliedros abstractos no tradicionales son el semicubo [3] (que se muestra en la figura), el semi-octaedro , el semi-dodecaedro y el semi-icosaedro . Estos poliedros son contrapartes proyectivas de los poliedros regulares y se pueden realizar como poliedros proyectivos  : forman mosaicos en el plano proyectivo real .

El medio cubo es otro ejemplo en el que la notación de vértices no es aplicable: todas las caras de 2 y 3 caras comparten el mismo conjunto de vértices.

Dualidad

Cualquier poliedro tiene un poliedro dual , un poliedro en el que se invierte el orden parcial: el diagrama de Hasse del poliedro dual es el mismo que el original, pero invertido ("al revés"). Cada cara k original del politopo n pasa a la cara ( n  −  k  − 1) del dual. Entonces, por ejemplo, la cara n pasa a la cara (−1). El politopo dual del dual es idéntico ( isomorfo ) al original.

Un politopo es autodual si coincide con su politopo dual, es decir, es isomorfo al dual. Por lo tanto, el diagrama de Hasse de un politopo autodual debe ser simétrico con respecto al eje horizontal. La pirámide cuadrada del ejemplo anterior es un poliedro autodual.

La figura de vértice en el vértice V es el dual de la cara correspondiente del poliedro dual.

Poliedros regulares abstractos

Formalmente, un politopo abstracto se define como "regular" si su grupo de automorfismos actúa transitivamente sobre el conjunto de sus banderas. En particular, cualquier par de caras k F y G de un politopo n son "lo mismo", es decir , hay un automorfismo que asigna F a G. Cuando un politopo abstracto es regular, su grupo de automorfismos es isomorfo al grupo de factores del grupo de Coxeter .

Todos los politopos de rango ≤ 2 son regulares. Los poliedros regulares más famosos son los cinco sólidos platónicos. El medio cubo (que se muestra en la imagen) también es correcto.

Informalmente, esto significa que para cada rango k , no hay forma de distinguir una k - cara de otra - las caras deben ser las mismas y deben tener los mismos vecinos, y así sucesivamente. Por ejemplo, un cubo es regular porque todas sus caras son cuadrados, cada vértice de un cuadrado pertenece a tres cuadrados, y cada cuadrado está rodeado por las mismas otras caras, aristas y vértices, y así sucesivamente.

Esta condición sin ninguna adición es suficiente para que un poliedro abstracto tenga caras regulares isomórficas ( n - 1) y figuras de vértice regulares isomórficas.

Esta es una condición más débil que la corrección para los poliedros tradicionales, ya que se refiere al grupo de automorfismo (combinatorio), no al grupo de simetría (geométrica). Por ejemplo, cualquier polígono abstracto es correcto porque los ángulos, las longitudes de los bordes, la curvatura de los bordes, la inclinación, etc., no existen para los poliedros abstractos.

Hay algunos otros conceptos de relajación, algunos no del todo estandarizados, como poliedros semirregulares , cuasi-regulares , uniformes , quirales y sólidos de Arquímedes , que se aplican a poliedros en los que algunas pero no todas las caras son equivalentes para cada rango.

Un ejemplo de un poliedro irregular

Considerando cuánto espacio se da a los poliedros regulares, parecería que todos los poliedros son regulares. De hecho, los poliedros regulares son casos muy especiales.

El poliedro irregular más simple es la pirámide cuadrada , aunque tiene muchas simetrías.

La figura muestra un ejemplo de un poliedro sin simetría no trivial: ningún par de vértices, aristas o 2 caras es "igual" como se definió anteriormente. Quizás este sea el más simple de estos poliedros.

Implementaciones

Cualquier poliedro tradicional es un ejemplo de realización de su poliedro abstracto subyacente. Lo mismo es cierto para las teselaciones del plano u otras variedades lineales por partes en dimensiones dos o más. Estos últimos incluyen, por ejemplo, poliedros proyectivos . Se pueden obtener de poliedros usando simetría central identificando vértices opuestos, aristas, caras, etc. En tres dimensiones, esto da el medio cubo y el medio dodecaedro y sus duales, el medio octaedro y el semiicosaedro .

Más generalmente, la realización de un politopo abstracto regular es un conjunto de puntos en el espacio (correspondientes a los vértices del politopo), junto con la estructura de caras generada sobre ellos por el politopo (abstracto), y esta estructura al menos tiene la misma simetrías como el politopo abstracto original. Es decir, todos los automorfismos combinatorios de poliedros abstractos se realizan mediante simetrías geométricas. Por ejemplo, el conjunto de puntos {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} es una implementación de un 4-gon (cuadrado) abstracto. Sin embargo, esta no es la única implementación: en su lugar, puede elegir los vértices de un tetraedro regular. Para cualquier simetría de un cuadrado, hay una simetría correspondiente de un tetraedro regular (hay, sin embargo, más simetrías para un tetraedro regular que para un 4-ágono abstracto).

De hecho, cualquier politopo abstracto con v vértices tiene al menos una realización como vértice de un símplex ( v  − 1)-dimensional . A menudo es interesante encontrar una realización en la dimensión más pequeña.

Si un politopo n abstracto se realiza en un espacio n -dimensional de tal manera que la disposición geométrica no viole ninguna regla para los poliedros tradicionales (como caras curvilíneas o crestas [4] de tamaño cero), se dice que tal implementación ser correcto _ En general, solo un conjunto limitado de poliedros abstractos de rango n puede implementarse correctamente para cualquier espacio n .

El problema de la unificación y los poliedros universales

La teoría básica de las estructuras combinatorias ahora conocidas como "politopos abstractos" (originalmente llamados "politopos de incidencia" - poliedros incidentales) se describe en la tesis doctoral de Egon Schulte, aunque se basa en trabajos anteriores de Branko Grünbaum , Harold Coxeter y Jacques Tits . . Desde entonces, la investigación en la teoría de politopos abstractos se ha centrado principalmente en politopos regulares , es decir, politopos cuyos grupos de automorfismos actúan transitivamente sobre el conjunto bandera del politopo.

Un tema importante en la teoría de los poliedros abstractos es el problema de la mezcla . La tarea consiste en una serie de preguntas tales como

Por ejemplo, si K es un cuadrado y L  es un triángulo, las respuestas a estas preguntas son las siguientes

Se sabe que si la respuesta a la primera pregunta es sí ( Sí ) para algunos K y L propios , entonces existe un único politopo cuyas facetas son K y cuyas figuras de vértice son L. Este politopo se denomina politopo universal con estas facetas y figuras de vértice, que cubre todos los politopos de este tipo. Es decir, suponga que P es un politopo universal con facetas K y figuras de vértice L . Entonces cualquier otro politopo Q con estas caras y vértices puede escribirse como Q = P / N , donde

• N  es un subgrupo de automorfismos del grupo P
• P / N es el conjunto de órbitas de los elementos de P bajo las acciones de N con el orden parcial generado por el grupo P.

Q = P / N se llama el cociente de P , y decimos que P cubre Q .

Dado este hecho, la búsqueda de poliedros con facetas seleccionadas y figuras de vértices suele seguir el siguiente escenario:

1. Estamos tratando de encontrar un poliedro universal.
2. Estamos tratando de clasificar privado.

Estas dos tareas son, en general, muy difíciles.

Volviendo al ejemplo anterior, si K es un cuadrado y L  es un triángulo, el politopo universal { K , L } será un cubo (que se escribe como {4,3}). El semicubo es la relación {4,3}/ N , donde N  es un grupo de simetrías (automorfismos) con dos elementos: la simetría de identidad y la simetría que asigna cada esquina (arista o cara) al elemento opuesto.

Si L es también un cuadrado, el politopo universal { K , L } (es decir, {4,4}) es el mosaico del espacio euclidiano por cuadrados. Este mosaico tiene un número infinito de cocientes de cara cuadrada, cuatro por vértice, algunos de los cuales son regulares y otros no. A excepción del poliedro más universal, todos los cocientes corresponden a diferentes formas de teselar con cuadrados la superficie de un toro o de un cilindro infinitamente largo .

Once celdas y cincuenta y siete celdas

La celda de once , descubierta independientemente por Coxeter y Grünbaum , es un poliedro abstracto de 4 dimensiones. Sus caras son semi-icosaedros. Dado que las facetas son, topológicamente, planos proyectivos y no esferas, una celda de once no es un mosaico de ninguna variedad en el sentido habitual. En cambio, una celda once es un politopo localmente proyectivo. El de once celdas no solo es matemáticamente hermoso, sino que es históricamente importante como el primer poliedro abstracto no convencional que se descubrió. El poliedro es autodual y universal: es el único poliedro con facetas hemiicosaédricas y figuras de vértices hemidodecaédricas.

El 50 -cell también es autodual, tiene facetas semi-dodecaédricas. El poliedro fue encontrado por Harold Coxeter poco después del descubrimiento de las once celdas. Como el de once celdas, es universal, siendo el único poliedro con facetas semi-dodecaédricas y figuras de vértice semi-icosaédricas. Por otro lado, hay muchos otros politopos con facetas semidodecaédricas y el símbolo de Schläfli {5,3,5}. El poliedro universal con facetas semidodecaédricas y figuras de vértice icosaédricas (no semi-icosaédricas) es finito pero muy grande, tiene 10006920 facetas y la mitad de vértices.

Topología local

El problema de la fusión, históricamente, estuvo relacionado con la topología local . Es decir, en lugar de restringir K y L a politopos específicos, se permite cualquier politopo con una topología determinada , es decir, cualquier mosaico de poliedros de una variedad dada . Si K y L son esféricos (es decir, mosaicos de una esfera topológica ), entonces se dice que P es localmente esférico y corresponde a un mosaico de alguna variedad. Por ejemplo, si K y L son cuadrados (y, por lo tanto, topológicamente, círculos), P será un mosaico de un plano, un toro o una botella de Klein con cuadrados. Un mosaico de una variedad de n dimensiones es, de hecho, un poliedro de rango n  + 1. Y esto es consistente con la intuición de que los sólidos platónicos son tridimensionales, aunque pueden considerarse como mosaicos de la superficie del superficie bidimensional de una pelota.

En general, un politopo abstracto se denomina localmente X si sus facetas y vértices son, topológicamente, esferas o X pero no esferas al mismo tiempo. El de once celdas y el de cincuenta y siete celdas son ​​ejemplos de politopos de rango 4 localmente proyectivos (es decir, tetradimensionales), ya que sus facetas y figuras de vértices son mosaicos de los planos proyectivos reales . Hay, sin embargo, una debilidad en la terminología aquí. La definición no proporciona formas simples de describir poliedros cuyas facetas son toros y cuyas figuras de vértice son planos proyectivos, por ejemplo. Es aún peor cuando diferentes facetas tienen diferentes topologías o ninguna topología definida. Sin embargo, se ha dado un gran paso hacia la clasificación completa de n poliedros regulares localmente toroidales [5] .

Pantallas de intercambio

Sea Ψ  la bandera de un n -politopo abstracto y sea −1 <  i  <  n . A partir de la definición de un politopo abstracto, se puede demostrar que existe una bandera única que difiere de Ψ en solo un elemento de rango i , y por lo demás es la misma. Si denotamos tal bandera por Ψ ( i ) , entonces esto define un conjunto de asignaciones de banderas del poliedro, digamos φ i . Estas asignaciones se denominan asignaciones de intercambio porque intercambian pares de banderas: ( Ψφ i ) φ i  =  Ψ [6] . Algunas otras propiedades de las asignaciones de intercambio:

• φ i 2 mapeo de identidad
• φ formo un grupo .
• Si | yo  -  j | > 1, φ yo φ j = φ j φ yo
• Si α  es un automorfismo de un poliedro, entonces αφ i = φ i α
• Si el politopo es regular, el grupo generado por φ i es isomorfo al grupo de automorfismos, en caso contrario es estrictamente mayor.

Los mapas de intercambio se pueden usar para probar que cualquier politopo abstracto se deriva de algún politopo regular.

Matrices de incidentes

Un poliedro se puede representar como una tabla de incidencias. A continuación se muestra la matriz de incidencia para un triángulo:

Un punto en la tabla indica que una cara es una subcara de otra cara (o viceversa , de modo que la tabla es simétrica en diagonal ). Así, la tabla contiene información redundante , bastaría con mostrar un punto cuando el número de cara de la fila ≤ el número de cara de la columna (matriz triangular superior).

Dado que el cuerpo en sí y el conjunto vacío son incidentes con todos los demás elementos, la primera fila y la primera columna, así como la última fila y la última columna, son triviales y pueden omitirse.

Se puede obtener más información contando los incidentes. Esta representación numérica permite agrupar por simetría como en el diagrama de Hasse de una pirámide cuadrada  : si los vértices B, C, D y E son equivalentes en simetría en un poliedro abstracto, entonces las aristas f, g, h y j se agrupan, y lo mismo para las aristas k, l, m y n. Finalmente, también se agrupan los triángulos ' P' , ' Q' , ' R' y ' S' . La matriz de incidencia correspondiente de un poliedro abstracto podría verse así:

En esta matriz de incidencia, los elementos de la diagonal dan el número total de cada tipo de elemento.

Está claro que los elementos de diferente tipo del mismo rango nunca pueden ser incidentes, por lo que el valor siempre es 0, pero para ayudar a reconocer esta relación, la tabla utiliza un asterisco (*) en lugar de cero.

Los elementos subdiagonales de la tabla para cada fila representan el número de ocurrencias de los subelementos correspondientes, mientras que los elementos supradiagonales representan el número de ocurrencias de elementos en vértices, bordes y otras formas.

Ya este ejemplo de una pirámide cuadrada muestra que tal matriz de incidencia no es simétrica. Sin embargo, las conexiones simples de los elementos de la tabla permanecen, ya que para tales matrices de incidencia se cumple lo siguiente:

Historia

Los primeros ejemplos de poliedros abstractos fueron descubiertos por Coxeter y Petrie  , tres estructuras infinitas {4, 6}, {6, 4} y {6, 6}, a las que llamaron asimetría regular infinithedra .

En 1960, Branko Grünbaum invitó a la comunidad geométrica a discutir una generalización del concepto de poliedros regulares , a los que llamó polystromata (poli + estroma [7] ). Desarrolló la teoría mostrando ejemplos de nuevos objetos, incluida la celda once .

Un poliedro de once celdas es un poliedro autodual de cuatro dimensiones cuyas caras no son icosaedros , sino " medios icosaedros ". Es decir, las figuras que se obtienen si los lados opuestos del icosaedro se consideran una (la misma) cara (Grünbaum, 1977). Unos años después del descubrimiento de Grünbaum de la celda once , Coxeter descubrió un poliedro similar, el de cincuenta y siete celdas (Coxeter 1982, 1984), y luego redescubrió de forma independiente la celda once.

Egon Schulte definió "complejos incidentes regulares" y "poliedros incidentes regulares" en su disertación en la década de 1980, que proporcionó la primera definición moderna. Posteriormente, él y Peter McMullen desarrollaron la teoría subyacente en una serie de artículos que luego se recopilaron en un libro. Numerosos investigadores han contribuido desde entonces, y los pioneros de la investigación (incluido Grünbaum) han aceptado la definición de Schulte como "correcta".

Véase también

• Eleven -cell y Fifty -seven-cell  son ​​dos poliedros regulares abstractos de 4 dimensiones
• Conjunto parcialmente ordenado de Euler
• Pose graduada
• poliedro regular

Notas

1. ↑ 1 2 poset = conjunto parcialmente ordenado
2. ↑ McMullen, Schulte, 2002 , pág. 31
3. ↑ En inglés, hay dos términos que se pueden traducir como medio cubo  : hemicubo y demicubo. El artículo es sobre hemicubo.
4. ↑ Un peine es una cara de dimensión n -2. Para politopos tridimensionales, la cresta coincide con el borde.
5. ↑ McMullen, Schulte, 2002 .
6. ↑ Hartley, Hulpke, 2010 , pág. 107.
7. ↑ polistromata = poli + estroma, estroma = pl. horas desde el estroma = base, esqueleto

Literatura

• Peter Mc Mullen, Egon Schulte. Politopos regulares abstractos . — 1er. - Prensa de la Universidad de Cambridge , 2002. - ISBN 0-521-81496-0 .
• El mundo de Jaron: formas en otras dimensiones , Discover mag. , abr 2007
• Dr. Matrices de incidencia de Richard Klitzing
• E. Schulte. Manual de geometría discreta y computacional / JE Goodman , O'Rourke, J.. - 2nd. — Chapman & Hall, 2004.
• Michael I. Hartley, Alexander Hulpke. Politopos derivados de grupos simples esporádicos // Contribuciones a la Matemática Discreta. - 2010. - V. 5 , núm. 2 . - S. 106-118 . — ISSN 715-0868 .