Poliedro 4D

Un poliedro de cuatro dimensiones  es un poliedro en un espacio de cuatro dimensiones [1] [2] . Un poliedro es una figura cerrada conectada, que consta de elementos poliédricos de una dimensión más pequeña: vértices , aristas , caras ( polígonos ) y celdas ( poliedros tridimensionales ). Cada cara pertenece exactamente a dos celdas.

El análogo bidimensional de los poliedros tetradimensionales es el polígono , y el análogo tridimensional es el poliedro tridimensional .

Topológicamente, los poliedros 4D están estrechamente relacionados con los panales uniformes , como los panales cúbicos que forman mosaicos en el espacio 3D. De manera similar, un cubo tridimensional se relaciona con infinitos panales cuadrados bidimensionales . Los poliedros 4D convexos se pueden cortar y desenvolver en el espacio 3D .

Definición

Un poliedro de cuatro dimensiones es una figura cerrada de cuatro dimensiones . Consta de vértices (puntos de esquina), aristas , caras y celdas . Una celda es un análogo tridimensional de una cara y es un poliedro tridimensional . Cada cara 2D debe conectar exactamente dos celdas, al igual que los bordes de un poliedro 3D conectan exactamente dos caras. Al igual que otros politopos, los elementos de un politopo 4 no se pueden dividir en dos o más conjuntos que también son politopos 4, es decir, no es compuesto.

El poliedro de cuatro dimensiones más famoso es el tesseract (hipercubo), un análogo de cuatro dimensiones del cubo.

Visualización

Los poliedros de cuatro dimensiones no se pueden representar en un espacio tridimensional debido a la dimensión adicional. Se utilizan varias técnicas para la visualización.

Las proyecciones ortográficas se pueden utilizar para mostrar varias simetrías de un poliedro 4D. Las proyecciones se pueden representar como gráficos bidimensionales, o se pueden representar como sólidos tridimensionales como capas proyectivas .

Así como las formas 3D se pueden proyectar en una hoja plana, las formas 4D se pueden proyectar en un espacio 3D o incluso en un plano. Un tipo común de proyección es el diagrama de Schlegel , que utiliza una proyección estereográfica de puntos sobre la superficie de una esfera tridimensional en un espacio tridimensional, conectados en un espacio tridimensional por aristas rectas, caras y celdas.

Así como cortar un poliedro revela una superficie cortada, cortar un poliedro 4D revela una "hipersuperficie" en el espacio 3D. La secuencia de tales cortes se puede utilizar para comprender la figura completa. La dimensión extra se puede equiparar al tiempo requerido para animar estas secciones.

El desarrollo de un poliedro de cuatro dimensiones consta de celdas poliédricas conectadas por caras y ubicadas en el espacio tridimensional, al igual que las caras poligonales de un desarrollo de un poliedro tridimensional están conectadas por aristas y están todas ubicadas en el mismo avión.

Características topológicas

La topología de cualquier poliedro 4D dado está determinada por sus números de Betti y sus coeficientes de torsión [3] .

El valor de la característica de Euler utilizada para caracterizar los poliedros no se generaliza correctamente a dimensiones superiores y es cero para todos los poliedros de cuatro dimensiones, cualquiera que sea la topología subyacente. Esta inconsistencia en la característica de Euler para distinguir de manera confiable entre diferentes topologías en grandes dimensiones conduce a la aparición de números de Betti más refinados [3] .

De manera similar, la noción de orientabilidad de un poliedro es insuficiente para caracterizar la torsión de las superficies de los poliedros toroidales, lo que conduce al uso de coeficientes de torsión [3] .

Clasificación

Criterios

Los poliedros de cuatro dimensiones se pueden clasificar por propiedades como " convexidad " y " simetría " [3] .

• Un 4-politopo es convexo si sus límites (incluidas las celdas, las caras (tridimensionales) y las aristas) no se intersecan entre sí (en principio, las caras de un politopo pueden pasar dentro del caparazón) y los segmentos que conectan dos puntos cualesquiera del politopo. Los 4 politopos están contenidos completamente dentro de él. De lo contrario, el poliedro se considera no convexo . Los poliedros de cuatro dimensiones que se intersecan a sí mismos también se conocen como poliedros en estrella , por analogía con las formas en forma de estrella de los poliedros no convexos de Kepler-Poinsot .
• Un politopo de cuatro dimensiones es regular si es transitivo con respecto a sus banderas . Esto significa que todas sus celdas son poliedros regulares congruentes , y también todas sus figuras de vértice son congruentes con otro tipo de poliedros regulares.
• Un politopo de cuatro dimensiones convexo es semirregular si tiene un grupo de simetría tal que todos los vértices son equivalentes ( transitivos de vértice ) y las celdas son politopos regulares . Las celdas pueden ser de dos o más tipos, siempre que tengan el mismo tipo de rostro. Hay solo 3 figuras de este tipo encontradas por Thorold Gosset en 1900: una de cinco celdas [en] completamente truncada, una de seiscientas celdas completamente truncada y una de veinticuatro celdas de nariz chata .
• Un poliedro de cuatro dimensiones es homogéneo si tiene un grupo de simetría tal que todos los vértices son equivalentes y las celdas son poliedros uniformes . Las caras (bidimensionales) de un politopo uniforme de 4 deben ser polígonos regulares .
• Un politopo de cuatro dimensiones es un isótopo [4] si es de vértice transitivo y tiene bordes de la misma longitud. Es decir, se permiten celdas no uniformes, como los poliedros convexos de Johnson .
• Un politopo regular de cuatro dimensiones, que también es convexo , se dice que es un politopo regular convexo de cuatro dimensiones .
• Un poliedro de cuatro dimensiones es prismático si es un producto directo de dos o más poliedros de menor dimensión. Un poliedro prismático de cuatro dimensiones es homogéneo si sus factores en el producto directo son homogéneos. El hipercubo es prismático (el producto de dos cuadrados , o un cubo y un segmento de línea ), pero se trata por separado porque tiene una simetría más alta que las simetrías heredadas de los factores.
• El mosaico o panal en el espacio tridimensional es una descomposición del espacio euclidiano  tridimensional en una red repetitiva de células poliédricas. Tales mosaicos o teselados son infinitos y no están limitados por un volumen "4D", por lo que son ejemplos de poliedros 4D infinitos. Un mosaico uniforme del espacio tridimensional  es un mosaico en el que los vértices son congruentes y están conectados por un grupo cristalográfico , y las celdas son poliedros uniformes .

Clases

La siguiente lista de diferentes categorías de poliedros de cuatro dimensiones se clasifica de acuerdo con los criterios descritos anteriormente:

Poliedro homogéneo de cuatro dimensiones (transitivo de vértice).

• 4 poliedros uniformes convexos (64, más dos familias infinitas)
  • Los 47 4 politopos uniformes convexos no prismáticos incluyen:
    • 6 poliedros regulares de cuatro dimensiones .
  • Poliedros uniformes prismáticos :
    • {} × {p, q}: 18 prismas poliédricos (incluyendo hiperprismas cúbicos, hipercubos regulares );
    • Prismas construidos sobre antiprismas (familia infinita);
    • {p} × {q} : Duoprismas (familia infinita).
• Poliedros cuatridimensionales homogéneos no convexos (10 + desconocido):
  • 10 (regulares) politopos de Schläfli-Hess ;
  • 57 hiperprismas construidos sobre poliedros uniformes no convexos ;
  • Número desconocido de poliedros cuatridimensionales homogéneos no convexos: Norman Johnson y otros coautores encontraron 1849 poliedros (convexos y estrellados); todos están construidos sobre figuras de vértice usando el programa Stella4D [5] .

Otros poliedros 4D convexos:

• Pirámide poliédrica ;
• Prisma poliédrico .

Poliedros homogéneos infinitos de 4 dimensiones en el espacio tridimensional euclidiano (teselados homogéneos por celdas homogéneas convexas):

• 28 panales uniformes convexos (embaldosados ​​convexos uniformes), que incluyen:
  • 1 mosaico regular, panal cúbico : {4,3,4}.

Poliedros tetradimensionales homogéneos infinitos del espacio tridimensional hiperbólico (teselados homogéneos por células homogéneas convexas):

• 76 panales uniformes convexos de Wythoff en el espacio hiperbólico que incluyen:
  • 4 mosaicos regulares de un espacio 3D hiperbólico compacto : {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}.

Poliedros cuatridimensionales homogéneos duales ( transitivo celular ):

• 41 poliedros cuatridimensionales homogéneos duales únicos;
• 17 prismas poliédricos homogéneos duales únicos;
• una familia infinita de duoprismas homogéneos convexos duales (con células tetraédricas irregulares);
• 27 celdas homogéneas duales únicas, que incluyen:
  • Panal dodecaédrico rómbico ;
  • Panales tetraédricos isoédricos .

Otro:

• La estructura Weir-Phelan panales periódicos que llenan espacios con celdas irregulares.

Poliedros tetradimensionales regulares abstractos :

• Once celda ;
• Celda cincuenta y siete .

Estas categorías incluyen solo poliedros de cuatro dimensiones con un alto grado de simetría. Pueden existir muchos otros poliedros de cuatro dimensiones, pero no se han estudiado tan intensamente como los enumerados anteriormente.

Véase también

• Poliedro regular de cuatro dimensiones
• La 3 esfera es otra figura ampliamente discutida ubicada en un espacio de cuatro dimensiones. Pero no es un poliedro de cuatro dimensiones, ya que no se limita a las celdas poliédricas.
• Un duocilindro es una figura en el espacio de cuatro dimensiones asociada a duoprismas , aunque tampoco es un poliedro.

Notas

1. ↑ Vialar, 2009 , pág. 674.
2. ↑ Capecchi, Buscema, D'Amore, 2010 , p. 598.
3. ↑ 1 2 3 4 Richeson, D.; La gema de Euler: la fórmula del poliedro y el nacimiento de la topología , Princeton, 2008.
4. ↑ En inglés, se usa la palabra scaliform , formada a partir de dos palabras - scale (una palabra polisemántica, aquí - size, scale) y uniform (homogéneo). Nombre sugerido por Jonathan Bowers
5. ↑ Uniform Polychora , Norman W. Johnson (Wheaton College), 1845 casos en 2005

Literatura

• T. Vialar. Dinámica no lineal compleja y caótica: avances en economía y finanzas. - Springer, 2009. - Pág. 674. - ISBN 978-3-540-85977-2 .
• V. Capecchi, P. Capecchi, M. Buscema, B. D'Amore. Aplicaciones de las Matemáticas en Modelos, Redes Neuronales Artificiales y Artes. - Springer, 2010. - Pág. 598. - ISBN 978-90-481-8580-1 . -doi : 10.1007 / 978-90-481-8581-8 .
• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins, JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
  • HSM Coxeter . Politopos regulares . - 3º (1947, 63, 73). - Nueva York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
• HSM Coxeter . Caleidoscopios: escritos seleccionados de HSM Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Publicación Wiley-Interscience, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
  • (Prueba 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semiregulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2.10]
  • (Prueba 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Prueba 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• JH Conway , MJT Guy. Actas del Coloquio sobre Convexidad en Copenhague. - 1965. - S. 38-39.
• Norman Johnson . La teoría de politopos uniformes y panales. - Doctor. Disertación. — Universidad de Toronto, 1966.
• Politopos de Arquímedes en cuatro dimensiones (alemán), Marco Möller, tesis doctoral de 2004 [1]

Enlaces

• Weisstein, Eric W. Polychoron  (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. Fórmula poliédrica  (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. Características de Euler del policoron regular  (inglés) en Wolfram MathWorld . * Jorge
• Página de figuras de cuatro dimensiones
• George Olshevsky Polychoron sobre el glosario del hiperespacio
• Uniform Polychora , Jonathan Bowers
• Uniform polychoron Viewer — Java3D Applet con fuentes
• Dr. R. Klitzing, policora