Dimensión de Lebesgue

La dimensión de Lebesgue o dimensión topológica es la dimensión definida por medio de recubrimientos, la invariante más importante del espacio topológico . La dimensión de Lebesgue de un espacio generalmente se denota por . $X$ $\dim X$

Definición

Para espacios métricos

Para un espacio métrico compacto , la dimensión de Lebesgue se define como el entero más pequeño que tiene la propiedad de que, para cualquiera , existe un abierto finito -recubrimiento- que tiene multiplicidad ; $X$ $norte$ $\varepsilon >0$ $\varepsilon$ $X$ $\leqslant n+1$

Donde

$\varepsilon$ -una cubierta de un espacio métrico es una cubierta cuyos elementos tienen todos diámetro , y $<\varepsilon$
la multiplicidad de una cubierta finita de un espacio es el mayor entero tal que existe un punto en el espacio contenido en los elementos de esta cubierta. $X$ $k$ $X$ $k$

Para espacios topológicos

Para un espacio normal arbitrario (en particular, metrizable ) , la dimensión de Lebesgue es el entero más pequeño tal que para cada cubierta abierta finita del espacio existe una cubierta (abierta finita) de multiplicidad inscrita en él . $X$ $norte$ $X$ $n+1$

Se dice que una tapa está inscrita en una tapa si cada elemento de la tapa es un subconjunto de al menos un elemento de la tapa . ${\ matemática P}$ $\mathcal Q$ ${\ matemática P}$ $\mathcal Q$

Ejemplos

Espacios de dimensión cero: espacio de un punto, espacio discreto , conjunto de Cantor .
- Véase también espacio de dimensión cero .
Espacios unidimensionales: círculo , triángulo de Sierpinski , alfombra de Sierpinski , esponja de Menger
- Véase también la curva de Urysohn

Propiedades

Desigualdad $\dim(X\times Y)\leqslant \dim X+\dim Y.$

se cumple bajo uno de los siguientes requisitos sobre espacios topológicos y :

X

Y

metrizabilidad,
compacidad,
compacidad local y paracompactidad.

Hay ejemplos de pares de espacios en los que se viola esta desigualdad; [1] esta desigualdad también puede resultar estricta, por ejemplo, para algunos pares de superficies de Pontryagin .

La dimensión de Lebesgue de un espacio métrico no excede su dimensión de Hausdorff .
- Además, la dimensión de Lebesgue de un espacio separable metrizable coincide con el ínfimo de las dimensiones de Hausdorff con respecto a todas las métricas en . $X$ $X$
Teorema de la dimensión coloreada de Ostrand: un espacio normal tiene una dimensión si y solo si para cualquier cubierta abierta localmente finita del espacio existe una cubierta inscrita que consta de subfamilias , de modo que cada subfamilia consta de conjuntos disjuntos. $X$ ${\ estilo de visualización \ dim X \ leqslant n}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A))))$ $X$ ${\ matemática V}$ $n+1$ ${\mathcal {V}}_{1},{\mathcal {V}}_{2},\dots,{\mathcal {V}}_{n+1}$ ${\mathcal {V}}_{i}$

Historia

Presentado por primera vez por Henri Lebesgue . Conjeturó que la dimensión de un cubo bidimensional es . Leutzen Brouwer lo demostró por primera vez. Pavel Samuilovich Uryson dio una definición exacta de un invariante (para la clase de conjuntos compactos métricos) . $norte$ $norte$ $\dim X$

Notas

↑ Wage, Michael L. La dimensión de los espacios de productos // Proc. Nat. Academia ciencia EE.UU. - 1978. - T. 75 , N º 10 . — S. 4671–4672 . -doi : 10.1073/ pnas.75.10.4671 .

Literatura

Alexandrov P. S., Pasynkov B. A. Introducción a la teoría de la dimensión. Moscú: Nauka, 1973

fractales
Características	dimensión fractal Dimensión de Hausdorff Dimensión de Lebesgue recursión auto-similitud
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atractor extraño	Multifractal
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