Hidrodinámica magnética

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La magnetohidrodinámica es una disciplina física que surgió en la intersección de la hidrodinámica y la electrodinámica continua . El tema de su estudio es la dinámica de un fluido o gas conductor en un campo magnético . Ejemplos de los medios estudiados son varios tipos de plasma , metales líquidos , agua salada.

Hannes Alfven , quien fue galardonado con el Premio Nobel en 1970 por su trabajo, es reconocido como un pionero en la investigación en el campo de la teoría de la magnetohidrodinámica . El primer trabajo experimental en esta área fue el estudio de Hartmann en 1937 sobre la resistencia al flujo de mercurio en un tubo bajo la influencia de un campo magnético transversal.

Ecuaciones de magnetohidrodinámica

El sistema completo de ecuaciones de la magnetohidrodinámica no relativista de un fluido conductor tiene la forma:

{\begin{casos}\displaystyle \rho {\frac {\parcial {\vec {v))}{\parcial t))+\rho ({\vec {v)),\nabla ){\ vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatorname {rot} {\vec {H}}]+\eta \Delta { \vec {v}}+\left({\frac {1}{3}}\eta +\zeta \right)\displaystyle \nabla \operatorname {div} {\vec {v}}\\\displaystyle p= p(\rho )\\\displaystyle {\frac {\parcial \rho }{\partial t))+\operatorname {div} \rho {\vec {v))=0\\\displaystyle {\frac {\ parcial {\vec {H))}{\parcial t))=-{\frac {1}{\sigma }}{\frac {c^{2}}{4\pi }}\operatorname {rot} \ izquierda[\nabla \times {\vec {H}}\right]+\operatorname {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {H}}=0\end{casos}}

Aquí:

$pags$ es la presión en el medio;
$\rho$ es la densidad del medio;
$\sigma$ — conductividad del medio;
$\eta$ es la viscosidad de cizallamiento del medio;
$\zeta$ es la viscosidad aparente del medio;
${\ vec {v}}$ es el campo de velocidad;
${\ vec {H}}$ es la fuerza del campo magnético .

Este sistema contiene 8 ecuaciones y le permite determinar 8 incógnitas ( , , , ) para condiciones iniciales y de contorno dadas. $pags$ $\rho$ ${\ vec {H}}$ ${\ vec {v}}$

Si usamos las siguientes aproximaciones ( límite no disipativo ):

$\sigma \to \infty ;$
${\ estilo de visualización \ eta = 0;}$
${\ estilo de visualización \ zeta = 0,}$

entonces el sistema de ecuaciones MHD se puede escribir en una forma más simple:

{\begin{casos}\displaystyle \rho {\frac {\parcial {\vec {v))}{\parcial t))+\rho ({\vec {v)),\nabla ){\ vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatorname {rot} {\vec {H}}]\\\displaystyle p= p(\rho )\\\displaystyle {\frac {\parcial \rho }{\partial t))+\operatorname {div} \rho {\vec {v))=0\\\displaystyle {\frac {\ parcial {\vec {H}}}{\parcial t}}=\operatorname {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\displaystyle \nabla \ cdot {\vec {H}}=0\end{casos}}

Derivación de ecuaciones

Derivación de las ecuaciones MHD a partir de las ecuaciones hidrodinámicas y de Maxwell

Escribamos el sistema de ecuaciones de Maxwell en el sistema CGS :

{\begin{casos}\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\parcial {\vec {H}}}{\ t parcial}}\\\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\parcial {\vec {E}}}{\parcial t}} +{\frac {4\pi}}{\vec {j}}\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {H}}=0\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E }}=0\end{casos}}

Partiremos de los siguientes supuestos:

la permeabilidad magnética es igual a uno: ${\ estilo de visualización \ mu = 1;}$
sin cargas electricas ${\ estilo de visualización \ rho = 0;}$
La ley de Ohm tiene la forma: ${\vec {j}}=\sigma {\vec {E}}+{\frac {\sigma }{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}.$

Nos restringimos al caso no relativista ( ), es decir, $v \ ll c$ $\left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\frac {\parcial {\vec {E}}}{ \t parcial}}\right|.$

Justificación de la aproximación no relativista.

Demostremos que es equivalente $v \ ll c$ $\left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\frac {\parcial {\vec {E}}}{ \t parcial}}\right|:$

\left|\nabla \times \nabla \times {\vec H}\right|\gg \left|{\frac 1c}\nabla \times {\frac {\parcial {\vec E)){\parcial t} }\right|={\frac {1}{c^{2}}}\left|{\frac {\parcial ^{2}{\vec H}}{\parcial t^{2}}}\right |

Evaluemos esta expresión:

{\frac {H}{L^{2}}}\gg {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {H}{\tau^{2}}},

dónde:

$L$ es la longitud característica;
$\tau$ es un tiempo característico.

Esto nos lleva a la siguiente relación:

c^{2}\gg {\frac {L^{2}}{\tau^{2}}}=v^{2};

{\ estilo de visualización v \ ll c.}

Es decir, la velocidad característica del sistema debe ser mucho menor que la velocidad de la luz.

Las ecuaciones de Maxwell en esta aproximación se escribirán de la siguiente manera:

{\begin{casos}\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\parcial {\vec {H}}}{\ t parcial}}\\\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\end{casos}}

Expresando a partir de la ley de Ohm y sustituyéndola en la primera ecuación, obtenemos: ${\ vec E}$

-{\frac {1}{c}}{\frac {\parcial {\vec {H}}}{\parcial t}}=\nabla \times \left({\frac {1}{\ sigma }}{\vec {j}}-{\frac {1}{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right).

Sustituyendo la corriente de la segunda ecuación de Maxwell en esta ecuación, obtenemos:

-{\frac {1}{c}}{\frac {\parcial {\vec {H}}}{\parcial t}}={\frac {1}{\sigma }}{\frac { c}{4\pi }}\nabla \times \left[\nabla \times {\vec {H}}\right]-{\frac {1}{c}}\nabla \times \left[{\vec {v}}\veces {\vec {H}}\derecha].

En el límite de un fluido conductor ideal , obtenemos: $\sigma \to \infty$

${\frac {\parcial {\vec {H}}}{\parcial t}}=\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right] .$

Para conectar con la hidrodinámica , se agrega un término a la ecuación de Navier-Stokes que es responsable de la fuerza Ampère que actúa sobre las corrientes del campo magnético (la corriente se expresa a partir de la segunda ecuación de Maxwell a través de la fuerza del campo magnético):

{\vec {f}}={\frac {1}{c}}\left[{\vec {j}}\times {\vec {H}}\right]=-{\frac {1 }{4\pi }}\left[{\vec {H}}\times \operatorname {rot} {\vec {H}}\right]

Aplicaciones

Los principios de la magnetohidrodinámica se utilizan para el seguimiento y control remoto del comportamiento de los metales líquidos en la industria, en particular:

en bombas MHD ;
en generadores MHD .

Véase también

Literatura

V. Denisov «Introducción a la electrodinámica de los medios materiales: libro de texto». - M .: Editorial de Moscú. un-ta, 1989. - ISBN 5-211-01371-9
Landau L. D., Lifshitz E. M. Electrodinámica de medios continuos. - 4ª edición, estereotipada. — M .: Fizmatlit , 2003 . — 656 pág. - ("Física Teórica", Tomo VIII). — ISBN 5-9221-0123-4 .
Kotelnikov IA Conferencias sobre física del plasma. Volumen 2: Magnetohidrodinámica. - 3ra ed. - San Petersburgo. : Lan , 2021. - 446 p. - ISBN 978-5-8114-6933-8 .

Enlaces

Hidrodinámica magnética en la enciclopedia "Krugosvet".
Sitio web de la revista del Instituto de Física de la Universidad de Letonia "Magnetohydrodynamics" (antigua revista "Magnetic hydrodynamics") .

diccionarios y enciclopedias

En catálogos bibliográficos
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