Superficie de batalla

La superficie de Boi es el primer ejemplo conocido de inmersión de un plano proyectivo real en un espacio euclidiano tridimensional .

Historia

La superficie fue construida por Werner Boy en 1901. Como sugirió Hilbert , Boy necesitaba demostrar que el plano proyectivo no admite este tipo de inmersiones.

Edificio

Comienza con un casquete esférico.
Divida su borde en seis partes iguales y coloque tres tiras en las partes pares.
Dobla cada tira y une el otro extremo al lado opuesto del borde de la tapa. Al pasar por la tira, la orientación
Pegue los bordes restantes de las tiras.

Propiedades

La superficie de Boy tiene simetría axial triple . Es decir, hay un eje tal que cualquier rotación de 120° alrededor de este eje traerá la superficie hacia sí misma.
- En particular, la superficie Boy se puede cortar en tres partes congruentes por pares .
La superficie de combate aparece a la mitad de la implementación de la eversión de la esfera .

La parametrización de Bryant-Kunser

La parametrización más natural fue propuesta por Rob Kunser y Robert Bryant . [una]

Para un número complejo , sea $w$

{\begin{alineado}g_{1}&=-{3 \over 2}\cdot \mathrm {Im} \left[{w\cdot (1-w^{4}) \over w^{ 6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]\\g_{2}&=-{3 \over 2}\cdot \mathrm {Re} \left[{w \cdot (1+w^{4}) \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]\\g_{3}&=\mathrm { Im} \left[{1+w^{6} \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]-{1 \over 2}\\ \end{alineado}}

Una superficie es una superficie mínima con tres extremos . Su inversión, es decir, la superficie dada como $w\mapsto (g_{1},\;g_{2},\;g_{3})$ $w\mapsto(x,\;y,\;z)$

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\frac {1}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+g_{ 3}^{2}}}\cdot {\begin{pmatrix}g_{1}\\g_{2}\\g_{3}\end{pmatrix}}.

y hay superficies de Boy.

Notas

La superficie permanece sin cambios cuando , donde es el complejo conjugado de k . ${\displaystyle w\mapsto -{\tfrac {1}{\bar {w))))$ ${\ barra w}$ ${\ estilo de visualización w}$

Véase también

superficie de morina

Notas

↑ Raymond O'Neil Wells. The Mathematical Heritage of Hermann Weyl (12 a 16 de mayo de 1987, Universidad de Duke, Durham, Carolina del Norte ) . - American Mathematical Soc., 1988. - P. 227-240. - (Proc. Sympos. Pure Math.). - ISBN 978-0-8218-1482-6 . -doi : 10.1090 / pspum/048/974338 .

Literatura

Kirby, Rob (noviembre de 2007), ¿Cuál es la superficie de Boy? , Notices of the AMS Vol . 54 (10): 1306–1307 , < http://www.ams.org/notices/200710/tx071001306p.pdf > Archivado el 4 de agosto de 2016 en Wayback Machine describe el modelo de superficie poliédrica de Boy .
- Casselman, Bill (noviembre de 2007), Collapsing Boy's Umbrellas , Notices of the AMS vol 54(10): 1356 , < http://www.ams.org/notices/200710/200710-about-the-cover.pdf > Archivado el 3 de marzo de 2016 en el artículo de Wayback Machine en la ilustración de portada que acompaña al artículo de Rob Kirby.
Kusner, Rob (1987), Geometría conforme y superficies mínimas completas , Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense (nueva serie) volumen 17 (2): 291–295, doi : 10.1090/S0273-0979-1987-15564-9 , < http://www.ams.org/bull/1987-17-02/S0273-0979-1987-15564-9/S0273-0979-1987-15564-9.pdf > Archivado el 7 de septiembre de 2008 en Wayback Machine .
Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (2011), La superficie del niño en Oberwolfach , < https://www.mfo.de/about-the-institute/history/boy-surface/the-boy-surface-at-oberwolfach > Archivado desde el 26 de diciembre 2019 en la Wayback Machine .
Morin, Bernard (1978), Equations du retournement de la sphère, CR Acad. ciencia París T. 287(13): A879–A882
Sanderson, B. Boy's será Boy's . Archivado el 17 de abril de 2007 en Wayback Machine .

Enlaces externos

Página de superficie de combate que contiene varias visualizaciones de varias ecuaciones, así como enlaces y referencias útiles . Archivado el 8 de julio de 2016 en Wayback Machine .
[1] Archivado el 19 de octubre de 2008 en Wayback Machine - applet plus log .
[2] Archivado el 12 de julio de 2016 en Wayback Machine , contiene artículos originales Archivado el 8 de septiembre de 2016 en Wayback Machine y una introducción Archivado el 8 de septiembre de 2016 en Wayback Machine en un topólogo en Oberwolf Boy Surface .
[3] Archivado el 16 de septiembre de 2016 en Wayback Machine .
Modelo de papel para la superficie Battle - patrón e instrucciones
Un modelo basado en Java que se puede rotar libremente . Archivado el 14 de agosto de 2016 en Wayback Machine .
Superficie de campo de la línea para colorear Archivado el 3 de marzo de 2016 en Wayback Machine .
Superficie de niño Archivado el 16 de mayo de 2016 en el video de visualización Wayback Machine del Instituto Matemático de la Academia de Ciencias y Artes de Serbia.
[4] Archivado el 18 de abril de 2016 en Wayback Machine . Cómo hacer una superficie de batalla con tijeras, un trozo de papel y cinta adhesiva. Plan de papel en video.

Superficies compactas y sus inmersiones en el espacio tridimensional

La clase de homeoformidad de una superficie triangulada compacta está determinada por la orientabilidad, el número de componentes de contorno y la característica de Euler.

Sin bordes

Orientable	Esfera (género 0) Thor (género 1) "Ocho" (género 2) " Pretzel " (género 3)...
no orientable	plano proyectivo real género 1; Superficie de batalla superficie romana Botella de Klein (género 2) Superficie de pene (género 3) ...

con frontera

Disco
- hemisferio
Cinta
- Anillo
- Cilindro
La cinta de Moebius
- Cinta de Moebius
Esfera con tres agujeros...

Conceptos relacionados

Propiedades	Conectividad compacidad Triangulación o suavidad orientabilidad
Características	Número de componentes de borde Género Característica de Euler
Operaciones	Suma conectada corte de agujeros pegando el mango Colocación de la cinta de Möbius Inmersión