Superficie de sherk

La superficie de Scherk (llamada así por Heinrich Scherk) es un ejemplo de superficie mínima . Sherk describió dos superficies mínimas anidadas completas en 1834 [1] . Su primera superficie es una superficie doblemente periódica y su segunda superficie es simplemente periódica. Eran el tercer ejemplo no trivial de superficies mínimas (las dos primeras son catenoide y helicoide ) [2] . Las dos superficies están conectadas entre sí.

Las superficies de Scherk surgen en el estudio de ciertos problemas de superficies mínimas y en el estudio de los difeomorfismos armónicos de un espacio hiperbólico .

Primera superficie de Sherk

La primera superficie de Scherk tiende asintóticamente a dos familias infinitas de planos paralelos ortogonales entre sí. Las superficies forman, cerca de z = 0, arcos de puentes en un patrón de tablero de ajedrez. La superficie contiene un número infinito de líneas rectas verticales.

Construcción de una superficie Sherk simple

Considere la siguiente superficie mínima en un cuadrado en el plano euclidiano: para un número natural n , encuentre la superficie mínima como un gráfico de alguna función ${\ estilo de visualización \ Sigma _ {n}}$

u_{n}:\left(-{\tfrac {\pi }{2)),+{\tfrac {\pi }{2))\right)\times \left(-{\tfrac {\ pi {2)),+{\tfrac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R}

asi que

\lim _{y\to \pm \pi /2}u_{n}\left(x,y\right)=+n

por

-{\tfrac {\pi }{2}}<x<+{\tfrac {\pi }{2)),

\lim _{x\to \pm \pi /2}u_{n}\left(x,y\right)=-n

por

-{\tfrac {\pi }{2}}<y<+{\tfrac {\pi }{2}}.

Es decir, u n satisface la ecuación de superficie mínima

\mathrm {div} \left({\tfrac {\nabla u_{n}(x,y)}{\sqrt {1+|\nabla u_{n}(x,y)|^{2} }}}\right)\equiv 0

\Sigma _{n}=\left\{(x,y,u_{n}(x,y))\in \mathbb {R} ^{3}\left|-{\tfrac {\pi {2}}<x,y<+{\tfrac {\pi }{2}}\right.\right\}.

¿Qué le sucederá a la superficie cuando n tiende a infinito? La respuesta la dio H. Sherk en 1834: la superficie límite es la gráfica de la función $\Sigma$

u:\left(-{\tfrac {\pi }{2)),+{\tfrac {\pi }{2))\right)\times \left(-{\tfrac {\pi }{ 2)),+{\tfrac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R} ,

u(x,y)=\log \left({\tfrac {\cos(x)}{\cos(y)))\right).

Es decir, la superficie de Scherk sobre el cuadrado es

\Sigma =\left\{\left.\left(x,y,\log \left({\tfrac {\cos(x)}{\cos(y)))\right)\right)\ en \mathbb {R} ^{3}\right|-{\tfrac {\pi }{2}}<x,y<+{\tfrac {\pi }{2}}\right\}.

Superficies de Scherk más generales

Podemos considerar problemas similares con superficies mínimas en otros cuadriláteros en el plano euclidiano. También se puede considerar el mismo problema en cuadriláteros en el plano hiperbólico . En 2006, Harold Rosenberg y Pascal Collin utilizaron las superficies hiperbólicas de Scherk para construir un difeomorfismo armónico del plano complejo al plano hiperbólico (un disco unitario con una métrica hiperbólica), refutando así la conjetura de Schön-Yau .

Segunda superficie de Sherk

La segunda superficie de Scherk se ve globalmente como dos planos ortogonales, cuya intersección consiste en una secuencia de túneles en direcciones alternas. Su intersección con planos horizontales consiste en hipérbolas alternas.

La superficie viene dada por la ecuación:

\sin(z)-\mathrm {sh} \,(x)\mathrm {sh} \,(y)=0

La superficie tiene una parametrización de Weierstrass-Enneper , y se puede parametrizar como [3] : ${\displaystyle f(z)={\tfrac {4}{1-z^{4))))$ ${\ Displaystyle g (z) = iz}$

x(r,\theta )=2\Re (\ln(1+re^{i\theta })-\ln(1-re^{i\theta }))=\ln \left({ \tfrac {1+r^{2}+2r\cos \theta {1+r^{2}-2r\cos \theta }}\right)

y(r,\theta )=\Re (4i\tan ^{-1}(re^{i\theta }))=\ln \left({\tfrac {1+r^{2}- 2r\sin \theta {1+r^{2}+2r\sin \theta }}\right)

z(r,\theta )=\Re (2i(-\ln(1-r^{2}e^{2i\theta })+\ln(1+r^{2}e^{2i \theta }))=2\tan ^{-1}\left({\tfrac {2r^{2}\sin 2\theta }{r^{4}-1}}\right)

para y . Esto da un período de la superficie, que se puede extender en la dirección z por simetría. ${\ estilo de visualización \ theta \ en [0,2 \ pi)}$ ${\ estilo de visualización r \ en (0,1)}$

La superficie fue generalizada por H. Karcher en una familia de monturas de pilones superficies mínimas periódicas.

En la literatura, esta superficie se denomina erróneamente la quinta superficie de Sherk [4] [5] . Para evitar confusiones, es útil referirse a la superficie como la superficie de Sherk de un período o como la torre de Sherk.

Notas

↑ Scherk, 1835 , pág. 185–208.
↑ Heinrich Scherk (1798 - 1885) - Biografía - MacTutor Historia de las Matemáticas . Consultado el 16 de julio de 2020. Archivado desde el original el 3 de noviembre de 2019. (indefinido)
↑ Weistein, 2002 .
↑ Kapuoleas, 2001 , pág. 499.
↑ Hoffman, Meeks, 1990 .

Literatura

Scherk HF Bemerkungen über die kleinste Fläche innerhalb gegebener Grenzen // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1835. - T. 13 .
Nikolaos Kapuoleas. Construcciones de superficies mínimas mediante el pegado de inmersiones mínimas // Teoría global de superficies mínimas: Actas de la escuela de verano Clay Mathematics Institute 2001, Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas, Berkeley, California, 25 de junio-27 de julio. - 2001.
David Hoffman, William H. Meeks. Límites de superficies mínimas y Quinta superficie de Scherk // Archivo para mecánica racional y análisis. - 1990. - T. 111.
Eric W. Weisstein. Enciclopedia Concisa de Matemáticas de CRC // 2.ª edición - CRC press, 2002.

Enlaces

Sabitov, I. Kh. (2001), Scherk_surface , en Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Primera superficie de Scherk en MSRI Geometry [1]
Segunda superficie de Scherk en MSRI Geometry [2]
Superficies mínimas de Scherk en Mathworld [3] Archivado el 21 de febrero de 2020 en Wayback Machine .

Superficies mínimas
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