Booleano

Booleano ( grado de un conjunto , conjunto exponencial , conjunto de partes ) es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado (incluido el cero uno y el propio conjunto A), denotado por o (porque corresponde al conjunto de aplicaciones de a ). $A$ ${\ matemáticas P} (A)$ $2^A$ $A$ ${\ estilo de visualización \ {0,1\}}$

Si dos conjuntos son equivalentes , entonces sus valores booleanos también son equivalentes. La afirmación inversa (es decir, la inyectividad de la operación para cardenales ) es independiente de ZFC . $\kappa \mapsto 2^{\kappa }$

En la categoría de conjuntos , se puede dotar a una función con la estructura de un funtor covariante o contravariante de la siguiente manera: ${\ matemáticas {P}}$

un funtor covariante mapea una función a una función tal que mapea a una imagen con respecto a ; $f\dos puntos A\a B$ ${\mathcal {P}}f\colon {\mathcal {P}}A\to {\mathcal {P}}B$ $X$ $X$ $F$
el funtor contravariante asigna una función a tal que asigna a la preimagen completa con respecto a . $f\dos puntos A\a B$ ${\mathcal {P}}f\dos puntos {\mathcal {P}}B\to {\mathcal {P}}A$ $X$ $X$ $F$

Un problema matemático abierto : existen conjuntos infinitos y tales que la cardinalidad del conjunto es menor que la cardinalidad del conjunto y la cardinalidad del conjunto es menor que la cardinalidad del conjunto de todos los subconjuntos del conjunto : ? [una] $A$ $B$ $A$ $B$ $B$ $A$ $|A|<|B|<|2^{A}|$

Potencia del booleano final

La siguiente afirmación es verdadera: el número de subconjuntos de un conjunto finito que consta de elementos es igual a . El resultado se demuestra por inducción matemática . En la base, el conjunto vacío ( ) tiene solo un subconjunto: él mismo y . En el paso de la inducción, la afirmación se considera establecida para conjuntos de cardinalidad y se considera un conjunto arbitrario con número cardinal ; fijando algún elemento , los subconjuntos del conjunto se dividen en dos familias: $norte$ $2^{n}$ $\varnada$ $n=0$ $2^{0}=1$ $norte$ $METRO$ $n+1$ $a_{0}\en M$ $METRO$

$M_{1}$ , que contiene , $un_{0}$
$M_{2}$ , que no contienen , es decir, son subconjuntos del conjunto . $un_{0}$ $M\setminus \{a_{0}\}$

Subconjuntos del segundo tipo, por la suposición de inducción , hay exactamente el mismo número de subconjuntos del primer tipo, ya que un subconjunto de este tipo se obtiene de algunos y, además, un único subconjunto del segundo tipo al agregar un elemento y , por lo tanto: $2^{n}$ $un_{0}$

2^{M}=M_{1}\bigcup M_{2}

y .

M_{1}\bigcap M_{2}=\varnada

Por la hipótesis de inducción y , es decir: $\izquierda|M_{1}\derecha|=2^{n}$ $\izquierda|M_{2}\derecha|=2^{n}$

\left|2^{M}\right|=\left|M_{1}\right|+\left|M_{2}\right|=2^{n}+2^{n}=2^{{ n+1}}=2^{\izquierda|M\derecha|}

Véase también

Notas

↑ Brudno, 1971 , pág. 34.

Literatura

Brudno A. L. Teoría de funciones de variable real. - M. : Nauka, 1971. - 119 p.