Transformada Z modificada

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La transformada Z modificada (desplazada) es un caso más general de la transformada Z habitual , que contiene un retardo ideal que es un múltiplo de la frecuencia de muestreo . Matemáticamente escrito como:

{\displaystyle F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty}f(kT+m)z^{-k))

dónde

T - período de muestreo
m ("parámetro de compensación") - parte del período de muestreo ${\ estilo de visualización [0, T).}$

La transformada Z modificada se usa ampliamente en teoría de control, en particular, para un modelado más preciso de sistemas con retrasos.

Propiedades

Si el parámetro de desplazamiento m es fijo, entonces todas las propiedades de la transformada z modificada son las mismas que las de la transformada z normal.

Linealidad

Z\left[\sum_{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right]=\sum_{k=1}^{n}c_{k} F(z,m).

Cambio de tiempo

Z\left[u(t-nT)f(t-nT)\right]=z^{-n}F(z,m).

Debilitamiento

Z\left[f(t)e^{-a\,t}\right]=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m).

Multiplicación de un argumento

Z\left[t^{y}f(t)\right]=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m) .

Teorema del valor finito

\lim_{k=\infty}f(kT+m)=\lim_{k=1+}F(z,m).

Tabla de transformaciones básicas

pie)	F(z, m)
1 (t)	${\frac{z}{z-1}}$
t	${\frac {zmT}{z-1}}+{\frac {zT}{(z-1)^{2}}}$
e -en	${\displaystyle {\frac {ze^{-amT}}{ze^{-aT))))$
1-e- en	${\frac {z}{z-1}}-{\frac {ze^{-amT}}{ze^{-aT}}}$
sen ωt	${\frac {z^{2}\sin {(m\omega T)}+z\sin {[(1-m)\omega T]}}{z^{2}-2z\cos { \omega T}+1}}$

Ejemplo

Deje que el original para convertir . Después: $f(t)=\cos(\omega t)$

F(z,m)=Z\left[\cos \left(\omega \left(kT+m\right)\right)\right]

F(z,m)=Z\left[\cos(\omega kT)\cos(\omega m)-\sin(\omega kT)\sin(\omega m)\right]

F(z,m)=\cos(\omega m)Z\left[\cos(\omega kT)\right]-\sin(\omega m)Z\left[\sin(\omega kT) \Correcto]

F(z,m)=\cos(\omega m){\frac {z\left(z-\cos(\omega T)\right)}{z^{2}-2z\cos(\ omega T)+1}}-\sin(\omega m){\frac {z\sin(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}

F(z,m)={\frac {z^{2}\cos(\omega m)-z\cos(\omega (Tm))}{z^{2}-2z\cos(\ omega T)+1}}.

Si , entonces coincide con la transformada Z: $metro=0$ ${\ estilo de visualización F (z, m)}$

F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1))

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Muestreo	Supermuestreo submuestreo Reducir la resolución Aumento de resolución alias Filtro Frecuencia de muestreo Frecuencia de Nyquist