Transformada Z

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La transformada Z ( transformada de Laurent ) es la convolución de la señal original, dada por una secuencia de números reales en el dominio del tiempo, en una función analítica de la frecuencia compleja . Si la señal representa la respuesta al impulso de un sistema lineal , entonces los coeficientes de transformada Z muestran la respuesta del sistema a exponenciales complejas , es decir, a oscilaciones armónicas con diferentes frecuencias y tasas de aumento/disminución. $E(n)=z^{{-n}}=r^{{-n}}e^{{-i\omega n}}$

Definición

La transformada Z, como muchas transformadas integrales, se puede especificar como unilateral y bilateral .

Transformada Z bidireccional

La transformada Z bilateral de una señal en tiempo discreto viene dada por: $X(z)$ $x[n]$

X(z)=Z\{x[n]\}=\sum_{{n=-\infty}}^{{\infty}}x[n]z^{{-n}}.

donde es un entero y es un número complejo. $norte$ $z$

z=Ae^{{j\varfi}},

donde es la amplitud, y es la frecuencia angular (en radianes por muestra) $A$ $\varphi$

Transformada Z unidireccional

En los casos en que solo se define para , la transformada Z unilateral viene dada por: $x[n]$ $n\geqslant 0$

X(z)=Z\{x[n]\}=\sum_{{n=0}}^{{\infty}}x[n]z^{{-n}}.

Transformada Z inversa

La transformada Z inversa se define, por ejemplo, como sigue:

x[n]=Z^{{-1}}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint \limits_{{C}}X(z)z ^{{n-1}}\,dz,

donde es el contorno que encierra el área de convergencia . El contorno debe contener todos los residuos . $C$ $X(z)$ $X(z)$

Introduciendo la fórmula anterior , obtenemos una definición equivalente: $z=re^{{j\varfi}}$ $x[n]={\frac {r^{n}}{2\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{\pi }X(re^{{j\varphi }}) e^{{jn\varphi}}\,d\varphi.$

Región de convergencia

La región de convergencia es un cierto conjunto de puntos en el plano complejo en el que existe un límite finito de la serie: $D$

D=\left\{z{\Big |}\lim _{m\to \infty}\sum _{n=-m}^{m}x[n]z^{-n}=const <\infty\right\}.

Ejemplo 1 (sin región de convergencia)

deja _ Expandiendo el intervalo , obtenemos $x[n]=0{,}5^{n}$ $x[n]$ $(-\infty,\;\infty)$

x[n]=\{\ldots ;\;0{,}5^{-3};\;0{,}5^{-2};\;0{,}5^{-1 };\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^{2};\;0{,}5^{3};\;\ldots \}=\{\ldots ; \;2^{3};\;2^{2};\;2;\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^{2};\;0{,} 5^{3};\;\ldots\}.

Veamos la cantidad:

\sum _{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}=\infty.

Por lo tanto, no existen tales valores que satisfagan la condición de convergencia. $z$

Relación con la transformada de Laplace

La transformada bilineal se puede utilizar para transformar el tiempo continuo, por ejemplo, cuando se describen analíticamente filtros lineales representados por la transformada de Laplace en muestras de tiempo discreto con un período representado en el dominio z y viceversa. Esta transformación utiliza una sustitución de variable: $T,$

s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1))).

La transición inversa de la transformada z a la transformada de Laplace se realiza mediante un cambio de variable similar:

z={\frac {2+sT}{2-sT)).

La transformada bilineal asigna el plano s complejo de la transformada de Laplace al plano z complejo de la transformada z. Este mapeo no es lineal y se caracteriza por el hecho de que mapea el eje del plano s al círculo unitario en el plano z. $s=\sigma +j\omega$ $j\omega$

Por lo tanto, la transformada de Fourier , que es la transformada de Laplace de una variable , se convierte en una transformada de Fourier de tiempo discreto. Se supone que existe la transformada de Fourier, es decir, el eje está en la región de convergencia de la transformada de Laplace. $j\omega$ $j\omega$

Tabla de algunas transformadas Z

Designaciones:

$\theta [n]=\left\{{\begin{array}{c}1,n\geqslant 0\\0,n<0\end{array}}\right.$ es la función de Heaviside .
$\delta[n]=1$ para , y para todos los demás n es una secuencia delta (que no debe confundirse con el símbolo delta de Kronecker y la función delta de Dirac). $n=0$ $\delta[n]=0$

	Señal, $x[n]$	transformada Z, $X(z)$	área de convergencia
una	${\ estilo de visualización \ delta [n]}$	$una$	${\ estilo de visualización \ para todos los z}$
2	${\ estilo de visualización \ delta [n-n_ {0}]}$	${\frac{1}{z^{{n_{0))))}$	${\ estilo de visualización z \ neq 0}$
3	${\ estilo de visualización \ theta [n]}$	${\frac{z}{z-1}}$	$\|z\|>1$
cuatro	$a^{n}\theta[n]$	${\frac{1}{1-az^{{-1))))$	${\ estilo de visualización \|z\|>\|a\|}$
5	$na^{n}\theta[n]$	${\frac{az^{{-1}}}{(1-az^{{-1}})^{2}}}$	${\ estilo de visualización \|z\|>\|a\|}$
6	$-a^{n}\theta[-n-1]$	${\frac{1}{1-az^{{-1))))$	${\ estilo de visualización \|z\|<\|a\|}$
7	${\displaystyle-na^{n}\theta [-n-1]}$	${\frac{az^{{-1}}}{(1-az^{{-1}})^{2}}}$	${\ estilo de visualización \|z\|<\|a\|}$
ocho	${\ estilo de visualización \ cos (\ omega _ {0} n) \ theta [n]}$	${\frac {1-z^{{-1}}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{{-1}}\cos(\omega _{0})+z^{ {-2}}}}$	$\|z\|>1$
9	${\ estilo de visualización \ pecado (\ omega _ {0} n) \ theta [n]}$	${\frac {z^{{-1}}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{{-1}}\cos(\omega _{0})+z^{{- 2}}}}$	$\|z\|>1$
diez	$a^{n}\cos(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac{1-az^{{-1}}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{{-1}}\cos(\omega _{0})+a^{ 2}z^{{-2}}}}$	${\ estilo de visualización \|z\|>\|a\|}$
once	$a^{n}\sin(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z ^{-2}}}$	${\ estilo de visualización \|z\|>\|a\|}$

Véase también

Enlaces

Weisstein, Eric W. Z-Transform (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Döch G. Guía para la aplicación práctica de la transformada de Laplace y la transformada Z. Con la aplicación de tablas compiladas por R. Herschel: Per. del alemán Serie: Biblioteca físico-matemática de un ingeniero. 1971. 288 págs.

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