Transformación bilineal

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La transformación bilineal (o, en la literatura occidental, la transformación del método de Tustin ) es un mapeo conforme utilizado para transformar la función de transferencia de un sistema estacionario lineal (por ejemplo, un elemento correctivo de un sistema de control , un filtro electrónico , etc.) continuo forma en la función de transferencia de un sistema lineal en forma discreta . $Posee)\$ $H_{d}(z)\$

Mapea los puntos del eje -, , en el plano s a un círculo de radio unitario , , en el plano z . $j\omega\$ $Re[s]=0\$ $|z|=1\$

Esta transformación conserva la estabilidad del sistema continuo original y existe para todos los puntos de su función de transferencia. Es decir, para cada punto de la función de transferencia o AFC del sistema original, existe un punto similar con idéntica fase y amplitud del sistema discreto. Sin embargo, este punto puede estar ubicado en una frecuencia diferente . El efecto de cambio de frecuencia es casi imperceptible a bajas frecuencias, pero es significativo a frecuencias cercanas a la frecuencia de Nyquist .

La transformación bilineal es una función que se aproxima al logaritmo natural , que es un mapeo exacto del plano z al plano s. Al aplicar la transformada de Laplace sobre una señal discreta (que representa una secuencia de muestras), el resultado es una transformada Z hasta un cambio de variables:

$z\$ $=e^{{st}}\$ $={\frac{e^{{sT/2}}}{e^{{-sT/2}}}}\$ $\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}\ ,$

donde es el período de muestreo (el recíproco de la tasa de muestreo ). $T\$

La aproximación dada arriba es una transformación bilineal.

La transformación inversa del plano s al plano z y su aproximación bilineal se escriben de la siguiente manera:

$s\$ $={\frac{1}{T}}\ln(z)\$ $={\frac {2}{T}}\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1} {z+1}}\derecha)^{3}+{\frac {1}{5}}\izquierda({\frac {z-1}{z+1}}\derecha)^{5}+{ \frac {1}{7}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{7}+\ldots \right]\$ $\approx {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\approx \$ $\approx {\frac {2}{T}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\ .$

La transformación bilineal usa esta relación para reemplazar la función de transferencia con su contraparte discreta: $Posee)\$

s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\ ,

eso es:

H_{d}(z)=H_{a}(s){\bigg |}_{s={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1} }}=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)\ .

La transformación bilineal es un caso especial de la transformación de Möbius , definida como:

z^{\prime }={\frac {az+b}{cz+d}}\ .

Fuentes

1 (enlace inaccesible) en la p. 47

Capítulo 2 3.2.2 Método de transformación bilineal

Cálculo de la característica de transferencia de un filtro IIR basado en un prototipo de filtro analógico. Transformación bilineal . Recuperado: 15 de noviembre de 2010. (Ruso)

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