Grupo multioperador

Un grupo multioperador es un álgebra arbitraria , dotada de una estructura de grupo, que generaliza los conceptos de grupo , anillo , cuerpo , grupo de operadores (que, a su vez, generaliza módulos sobre anillos , en particular, espacios vectoriales ) .

Introducida en 1956 por el matemático inglés Philip Higgins [1] [2] como la estructura más universal en la que cada congruencia se representa mediante una descomposición en clases laterales en ideales , y para la que se puede definir la noción de conmutador .

Otros ejemplos de grupos multioperador son near- ring y near- field . También estudiamos clases universales especiales de grupos de operadores múltiples: anillos de operadores múltiples y álgebras de operadores múltiples .

Definiciones

Un grupo multioperador o -grupo es un álgebra que forma un grupo , además, para cualquier operación -aria , es decir, forma un subsistema en . Se supone que parte de la firma no contiene operaciones nulas. A veces, un grupo multioperador se llama por su firma adicional - -group. $\Sigma$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $\langle G, +, -, 0$ $norte$ $\sigma \en \Sigma$ $\sigma(0, \puntos, 0) = 0$ $\{0\}$ $\mathfrak G$ $\Sigma$ $\Sigma$

Un subgrupo normal de un grupo se llama ideal de un grupo multioperador si para cualquier operación -aria , arbitraria ( ) y todos los elementos de la forma: $norte$ $\langle G, +, -, 0$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $norte$ $\sigma \en \Sigma$ $g_i \in G$ $1 \leqslant i \leqslant n$ $un \ en N$

-\sigma(g_1, \puntos, g_n) + \sigma(g_1, \puntos, g_{i-1}, a+g_i, g_{i+1}, \puntos, g_n)

re -poseído La notación se puede utilizar por analogía con la notación de un subgrupo normal y un ideal de un anillo. Un grupo multioperador se llama simple si tiene solo dos ideales: el grupo en sí y el subgrupo cero. $norte$ $N \triangleleft \mathfrak G$

El conmutador de elementos de un grupo multioperador se define como un elemento , denotado por . $g_{1},g_{2}$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $-g_1 - g_2 + g_1 + g_2$ $[g_1, g_2]$

El conmutador de un grupo multioperador es un ideal generado por todos los conmutadores y elementos de la forma: $[g, h]$

-\sigma (g_{1},\puntos,g_{n})-\sigma (h_{1},\puntos,h_{n})+\sigma (g_{1}+h_{1},\puntos ,g_{n}+h_{n})

para cualquier operación -aria a partir de la firma adicional del grupo multioperador. $norte$ $\sigma \en \Sigma$

Propiedades de un ideal

Para grupos, el ideal de grupo multioperador coincide con el concepto de subgrupo normal , y para anillos y estructuras basadas en ellos, con el concepto de ideal de dos caras .

Cualquier ideal de un grupo multioperador es su subsistema . La intersección de cualquier sistema de ideales del grupo multioperador vuelve a ser su ideal, además, este ideal coincide con el subgrupo del grupo generado por estos ideales. $\{N_i \mid i \in I\}$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $N = \gran capitalización N_i$ $\langle G, +, -, 0$

La propiedad principal de un ideal es que cualquier congruencia en un grupo multioperador se describe mediante expansiones en clases laterales con respecto a algún ideal, en otras palabras, se puede hablar de un sistema de cociente de un grupo multioperador (grupo de cociente multioperador) como una construcción que genera un nuevo grupo multioperador desde su ideal.

Clases especiales de grupos multioperador

Un anillo multioperador es un grupo multioperador cuyo grupo aditivo es abeliano y cada operación -aria es distributiva con respecto a la suma del grupo: $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $norte$ $\sigma \en \Sigma$

\sigma(g_1, \dots, g_i + h_i, \dots, g_n) = \sigma(g_1, \dots, g_i, \dots, g_n) + \sigma(g_1, \dots, h_i, \dots, g_n)

para cualquier $g_i, h_i \in G$

Un álgebra multioperador es un anillo multioperador, todas las operaciones unarias de cuya firma adicional forman un campo , además, la estructura es un espacio vectorial sobre este campo, y para todas , todas las operaciones -arias de aridad mayor que uno y elementos arbitrarios , tenemos : $\Sigma$ $\Sigma_1$ $\lambda \en \Sigma_1$ $norte$ $\sigma \in \Sigma \setminus \Sigma_1$ $g_i \in G$

\lambda \sigma(g_1, \dots, g_i, \dots, g_n) = \sigma(\lambda g_1, \dots, g_i, \dots, g_n) = \sigma(g_1, \dots, \lambda g_i, \dots , g_n) = \sigma(g_1, \puntos, g_i, \puntos, \lambda g_n

Al igual que otras estructuras multioperador, suele identificarse en el texto con una firma adicional: multioperador -álgebra $\Sigma$ (en este caso y para evitar ambigüedades entre un álgebra sobre un anillo , de la que es una generalización especial, y un álgebra en sentido universal ).

Los ideales de anillos multioperadores y álgebras son subgrupos en los que la presencia de un elemento implica el contenido en ellos de todos los elementos de la forma [3] . $N \triangleleft G$ $g_i \in N$ $\sigma(g_1, \puntos, g_i, \puntos, g_n) \en N$

Notas

↑ PJ Higgins. Grupos con múltiples operadores // Actas de la London Mathematical Society. - 1956. - vol. 6 , núm. 3 . - Pág. 366-416 . -doi : 10.1112 / plms/s3-6.3.366 .
↑ Kurosh, 1973 , pág. 114.
↑ Álgebra general, 1991 , p. 357.

Literatura

A. G. Kurosh . Grupos con multioperadores // Clases de álgebra general. - 2ª ed. - M. : Nauka, 1973. - S. 114-124. — 400 s. — 30.000 copias.
Artamónov V. A. . Capítulo VI. Álgebras Universales // Álgebra General / Ed. edición L. A. Skornyakova . - M. : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Biblioteca matemática de referencia). — 25.000 copias. — ISBN 5-9221-0400-4 .
I. M. Vinogradov. Grupo multioperador // Enciclopedia Matemática. — M.: Enciclopedia soviética . - 1977-1985. (Ruso)