Ecuación de Schrödinger no lineal

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La ecuación de Schrödinger no lineal o cúbica ( NLS ) es una ecuación diferencial parcial no lineal de segundo orden que juega un papel importante en la teoría de las ondas no lineales , en particular, en la óptica no lineal y la física del plasma .

La ecuación se parece a: [1]

i{\frac {\parcial u}{\parcial t))+{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x^{2))}+\nu |u|^{2}u= 0

donde es una función de valor complejo . $tu(x, t)$

Importancia en la física

La ecuación no lineal de Schrödinger describe la envolvente de un paquete de ondas en un medio con dispersión y no linealidad cúbica . Una situación similar ocurre, por ejemplo, en la propagación de ondas electromagnéticas en un plasma : por un lado, el plasma es un medio dispersivo ; por otro lado, a amplitudes de onda suficientemente altas, aparece la no linealidad ponderomotriz , que en algunos casos puede aproximarse mediante un término cúbico. Otro ejemplo es la propagación de la luz en cristales no lineales con dispersión : en muchos casos, la no linealidad cuadrática es pequeña o idéntica a cero debido a la simetría central de la red cristalina, por lo que solo se tiene en cuenta el término cúbico.

Decisiones

Para la ecuación no lineal de Schrödinger se han encontrado una gran cantidad de soluciones exactas, que son ondas no lineales estacionarias. En particular, las soluciones son funciones de la forma

u(x,t)=\exp \left\{irx-ist\right\}v(x-Ut)

donde r , s , U son constantes relacionadas por relaciones:

r={\frac {U}{2}}\qquad s={\frac {U^{2}}{4}}-\alfa

y la función satisface una ecuación diferencial ordinaria de la forma ${\ estilo de visualización v (q)}$

{\frac{d^{2}v}{dq^{2}}}-\alpha v+\nu v^{3}=0

donde _ Las soluciones periódicas de esta ecuación tienen la forma de ondas cnoidales . Además, existe una solución localizada del tipo solitón : ${\ estilo de visualización \ alfa =r^{2}-s}$

v={\frac {\sqrt {2\alpha /\nu }}{\operatorname {ch} \left[{\sqrt {\alpha }}\left(x-Ut\right)\right]} }

Así, el parámetro determina la amplitud de las ondas , y el parámetro U determina su velocidad . Es interesante que las soluciones de solitones para la ecuación no lineal coinciden cualitativamente con las soluciones de solitones para otra ecuación no lineal importante, la ecuación de Korteweg-de Vries (KdV), pero difieren, en primer lugar, en que la amplitud y la velocidad de los solitones son independientes en NSE , mientras que en KdV están relacionados entre sí, y en segundo lugar, por el hecho de que en NLS las soluciones localizadas son solitones envolventes, mientras que en KdV son solitones verdaderos. $\alfa$

Las soluciones de solitones son de particular importancia, ya que en , las soluciones estacionarias de la ecuación no lineal de Schrödinger son inestables y se descomponen en muchos solitones. Dada una distribución inicial arbitraria de la función, la solución se puede encontrar mediante el método del problema de dispersión inversa . $\nu>0$ $tu(x, t)$

Integrales

La ecuación no lineal de Schrödinger es completamente integrable y tiene un conjunto ilimitado de integrales de movimiento . Las siguientes integrales son ejemplos:

I_{1}=\int |u|^{2}dx

I_{2}=\int {\frac {i}{2}}\left(\overline {u}{\frac {\parcial u}{\parcial x}}-u{\frac {\parcial \overline { u}}{\parcial x}}\right)dx

I_{3}=\int \left(\left|{\frac {\parcial u}{\parcial x))\right|^{2}+\kappa |u|^{4}\right)dx

donde la barra superior significa tomar el conjugado complejo .

Literatura

Dubrovin B. A., Krichever I. M., Novikov S. P. Sistemas integrables. I.- Sistemas Dinámicos - 4, Itogi Nauki i Tekhniki. - M. : VINITI, 1985. - T. 4. - S. 179-284. - (Problemas modernos de matemáticas. Direcciones fundamentales).
Zakharov V.E., Manakov S.V., Novikov S.P., Pitaevsky L.P. Teoría de los solitones: el método del problema inverso. - 1980. - 319 págs.
Ecuación de Schrödinger no lineal - Artículo de la Enciclopedia de Física

Notas

↑ J. Whitham. Ondas lineales y no lineales . - Mir, 1977. - S. 574-578. — 622 págs.