Normalización (álgebra)

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La normalización es un mapeo de los elementos de un campo o un anillo integral en algún campo ordenado con las siguientes propiedades: $F$ $PAGS$ $x\mapsto\|x\|$

1) y sólo cuando

{\ estilo de visualización \|x\|\geqslant 0}

{\ estilo de visualización \|x\|=0}

x=0

{\ estilo de visualización \|xy\|=\|x\|\cdot \|y\|}

\|x+y\|\leqslant\|x\|+\|y\|

Si en lugar de 3) se cumple una condición más fuerte:

3a) , entonces la valoración se llama no arquimediana .

\|x+y\|\leqslant \max(\|x\|,\|y\|)

El valor se llama la norma del elemento . Si el campo ordenado es el campo de los números reales , la valoración suele denominarse valor absoluto. $\|x\|$ $X$ $PAGS$ $\matemáticas {R}$

Normas y se dice que son equivalentes si es equivalente a . ${\ estilo de visualización \|\ cdot \|_{1))$ ${\ estilo de visualización \|\ cdot \|_{2))$ ${\ estilo de visualización \|x\|_{1}<1}$ ${\ estilo de visualización \|x\|_{2}<1}$

Ejemplos de normalizaciones

Normalización en virtud de la cual , para el resto . Tal normalización se llama trivial. ${\ estilo de visualización \|0\|=0}$ ${\ estilo de visualización \|x\|=1}$ $X$
El valor absoluto habitual en el campo de los números reales y el módulo en el campo de los números complejos son normalizaciones. $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {C}$
Sea el campo de los números racionales y sea algún número primo . Cualquier número racional se puede representar como una fracción , donde y no son múltiplos . Es posible definir la siguiente normalización . Esta valoración no es arquimediana y se denomina valoración p-ádica . $\matemáticas {Q}$ $pags$ $x=p^{n}{\frac{a}{b}}$ $a$ $b$ $pags$ $|x|_{p}=p^{{-n}}$

Según el teorema de Ostrovsky , cualquier norma no trivial es equivalente al valor absoluto oa la valoración p-ádica. $\matemáticas {Q}$ $|x|$

Propiedades de norma

$|1|=|-\!1|=1$
Para la normalización de valores reales, la propiedad se cumple (aquí se supone que la norma habitual se establece en el campo de los números reales: el módulo del número ) ${\Bigl |}|x|-|y|{\Bigr |}\leqslant |xy|$
Una valoración de valor real es no arquimediana si y solo si existe un número positivo , tal que para cualquier suma de elementos de identidad del campo : $A$ $F$

3b)

\|1+1+...+1\|\leqslant A

Que se cumpla esta condición. Entonces para cualquier elemento y del campo tenemos: $X$ $y$ $F$

$|(x+y)^{n}|=|x^{n}+\ldots +C_{n}^{i}\,x^{{ni}}\,y^{i}+\ldots + y^{n}|\leqslant (n+1)A[\max(|x|,|y|)]^{n}$

Tomando la raíz de ambas partes y pasando al límite en , obtenemos la condición 3a). $n\to\infty$ Lo contrario es obvio.

El campo normado como espacio métrico

De las propiedades 1-3 se sigue inmediatamente que, definiendo la distancia entre dos elementos de un cuerpo normado de valor real como la norma de la diferencia , la convertimos en un espacio métrico , en el caso de una norma no arquimediana, en un espacio ultramétrico . Diferentes normas definen diferentes métricas. Las normas equivalentes definen la misma topología en . $F$ ${\ estilo de visualización \|xy\|}$ $F$

Reposición

Al igual que con cualquier espacio métrico, se puede introducir el concepto de completitud y probar que cualquier campo valorado está incrustado isomórficamente en un campo valorado completo , es decir, hay un isomorfismo . La norma en continúa la norma en , es decir, para cada uno de : , y es densa en con respecto a esta norma. Cualquiera de estos campos se define de forma única hasta un isomorfismo que conserva las normas ( isometría ) y es idéntico a ; se llama completar campo . $F$ $F^{*}$ $i:F\flecha derecha F^{*}$ $F^{*}$ $F$ $X$ $F$ $\|i(x)\|_{F^{*}}=\|x\|$ $F$ $F^{*}$ $F^{*}$ $F$ $F$

Ejemplo. La terminación del campo de los números racionales con métrica p-ádica es el campo de los números p-ádicos . ${\ matemáticas {Q}}$ ${\matemáticas {Q}}_{p}$

Normalización exponencial

Sea un mapeo de un grupo de campos multiplicativo a algún grupo abeliano bien ordenado , tal que $v$ $K^{*}$

una)

v(xy)=v(x)+v(y)

v(x+y)\geqslant \min(v(x),v(y))

También es conveniente redefinir esta función en cero: . La operación de grupo sobre se define de la siguiente manera: para cualquier , se ordena de tal manera que sea mayor que todos los elementos del grupo original. En este caso, las propiedades 1) y 2) siguen siendo válidas. $v(0)=\infty$ $\infty$ $a+\infty =\infty +a=\infty$ $a$ $\infty$

En la terminología de Bourbaki , una función con tales propiedades se denomina valoración . Además, el término "normalización" para tal función es utilizado por Atiyah y McDonald [1] y Leng. [2] Sin embargo, algunos autores dejan el término "normalización" para una función que tiene las propiedades enumeradas al principio de este artículo, y la valoración de Bourbaki se llama valoración exponencial . El rango de valores del mapeo se denomina grupo de valoración , y el conjunto de aquellos elementos del campo para los cuales es el anillo de valoración (notación - ), es fácil comprobar que efectivamente se trata de un anillo. $v$ $X$ $k$ $v(x)\geqslant 0$ $R_{v}$

La normalización discreta es una normalización exponencial, que es una asignación al grupo aditivo de enteros. En este caso, el anillo de valoración se denomina anillo de valoración discreto .

Notas

↑ Atiyah M., McDonald I. Introducción al álgebra conmutativa, p. 115.
↑ Leng S. Álgebra, pág. 337.

Literatura

Atiyah M., McDonald I. Introducción al álgebra conmutativa. — M .: Mir, 1972.
Van der Waerden B. L. Álgebra. — M .: Nauka, 1975.
Zarissky O., Samuel P. Álgebra conmutativa. - M. : IL, 1963. - T. 2.
Leng S. Álgebra. — M .: Mir, 1967.