Forma normal de Poincaré-Dulac

En la teoría de sistemas dinámicos , la forma normal de Poincaré - Dulac es la forma normal de un campo vectorial o ecuación diferencial ordinaria en una vecindad de su punto singular .

Redacción

Resonancias

Por definición, la resonancia de un conjunto es la igualdad ${\ estilo de visualización (\ lambda _ {1}, \; \ ldots, \; \ lambda _ {n}) \ en \ mathbb {C} ^ {n})$

\lambda _{j}=\langle \lambda,\;k\rangle,

((*))

donde _ $k\in \mathbb {Z} ^{n},\;k_{1},\;\ldots,\;k_{n}\geqslant 0,\;k_{1}+\ldots +k_{ n}\geqslant 2$

El monomio resonante de un campo vectorial cuya parte lineal se reduce a la forma normal de Jordan con valores propios se llama monomio ${\ estilo de visualización \ lambda _ {1}, \; \ ldots, \; \ lambda _ {n}}$

z^{k}\parcial /\parcial z_{j},

donde y para y se satisface (*). $z^{k}=z_{1}^{k_{1}}\ldots z_{n}^{k_{n}}$ $\lambda$ $k$

El teorema de Poincaré-Dulac

Teorema. Un campo vectorial formal con un punto singular en el origen es formalmente equivalente a un campo vectorial formal cuya parte lineal se reduce a la forma normal de Jordan, y todos los monomios distintos de cero son resonantes.

La forma indicada en el teorema se denomina forma normal formal resonante de Poincaré-Dulac .

Conceptos relacionados

Las regiones de Poincaré y Siegel

Se dice que un vector está en el dominio de Poincaré si el cero no está en el casco convexo de puntos . De lo contrario, se dice que pertenece al área de Siegel . Finalmente, si el cero pertenece a la envolvente convexa junto con algunos de sus vecinos , se dice que el vector pertenece al dominio estricto de Siegel . $\lambda \in \mathbb {C} ^{n}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\;\ldots,\;\lambda _{n}\en \mathbb {C} \sim \mathbb {R} ^{2))$ $\lambda$

En el caso de un vector de valores propios perteneciente al dominio de Poincaré, la forma normal resonante de Poincaré-Dulac es de hecho polinomial. En el caso de tales valores propios, se puede argumentar que el campo vectorial es analíticamente equivalente a su forma normal formal resonante.

Teorema de Levell

El teorema de Levell , que describe la forma normal resonante de un punto singular de Fuchsian

{\dot {z}}={\frac{A(t)}{t}}z

puede considerarse como lineal en la variante de la forma normal de Poincaré-Dulac para el sistema extendido $z$

\left\{{\begin{array}{l}{\dot {z}}=A(t)z,\\{\dot {t}}=t.\end{array}}\right .

Literatura

Arnold VI, Ilyashenko Yu. S. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Sistemas dinámicos - 1 // Itogi nauki i tekhniki. — Ser. "Moderno. problema estera. Fundam. direcciones". - Nº 1. — M.: VINITI, 1985. — pág. 7-140.
Ilyashenko Yu., Yakovenko S. Conferencias sobre ecuaciones diferenciales analíticas.