Función inversa

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Una función inversa es una función que invierte la dependencia expresada por la función dada. Por ejemplo, si una función de x da y , entonces su función inversa de y da x . Generalmente se denota la inversa de una función , a veces también se usa la notación . $F$ $f^{-1}$ $f^{\mathrm{inv))$

Una función que tiene una inversa se llama reversible .

Definición

Una función se llama inversa a una función si se cumplen las siguientes identidades: $g:Y\a X$ $f:X\a Y$

$f(g(y))=y$ para todos $y\en Y;$
$g(f(x))=x$ para todos $x\en X.$

Definiciones relacionadas

Una función se llama la inversa izquierda de una función si para todo . $g:Y\a X$ $f:X\a Y$ $g(f(x))=x$ $x\en X$
La función se llama inversa derecha de la función si para todo [1] . $g:Y\a X$ $f:X\a Y$ $f(g(y))=y$ $y\en y$

Existencia

Para encontrar la función inversa, necesitas resolver la ecuación para . Si tiene más de una raíz, entonces no hay función inversa. Por lo tanto, una función es invertible en un intervalo si y solo si es uno a uno en este intervalo . $y = f(x)$ $X$ $F$ $f(x)$ $(a;b)$

Para una función continua, es posible expresar a partir de una ecuación si y solo si la función es estrictamente monótona (ver el teorema de la función implícita ). Sin embargo, una función continua siempre puede invertirse en intervalos de su estricta monotonicidad. Por ejemplo, es la función inversa de k en , aunque la función inversa es diferente en el intervalo: . $F(y)$ $y$ $x - F(y) = 0$ $F(y)$ $\sqrt{x}$ $x^{2}$ $[0, +\infty)$ $(-\infty, 0]$ $-\raíz cuadrada{x}$

Para la existencia de una función inversa no es necesaria ni la continuidad ni la monotonicidad de la función original. Ejemplo: la función donde es la función de Dirichlet es discontinua y no monótona, pero existe la inversa para ella [2] : ${\ estilo de visualización y = x + D (x),}$ $D(x)$ ${\ estilo de visualización x = yD (y).}$

Ejemplos

si en algún lugar $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_+,\; F(x) = a^x$ $a>0,a\neq 1,$ $F^{-1}(x) = \log_a x.$
Si , donde son constantes fijas y , entonces $F(x) = ax+b, \; x\en \mathbb{R}$ $a,b\en \mathbb{R}$ $un \ neq 0$ $F^{-1}(x) = \frac{xb}{a}.$
si , entonces $F(x)=x^n,x \ge 0, n\in \mathbb Z$ $F^{-1}(x)=\sqrt[n]{x}.$

Propiedades

El dominio es el conjunto y el dominio es el conjunto . $F^{-1}$ $Y$ $X$
Por construcción tenemos:

y = F(x) \Leftrightarrow x = F^{-1}(y)

F\izquierda(F^{-1}(y)\derecha) = y,\; \para todo y \en Y

F^{-1}(F(x)) = x,\; \para todo x \en X

o más corto

F \circ F^{-1} = \mathrm{id}_Y

F^{-1} \circ F = \mathrm{id}_X

donde denota la composición de las funciones , y son las asignaciones idénticas en y , respectivamente. $\circ$ $\mathrm{id}_X, \mathrm{id}_Y$ $X$ $Y$

Tal mapeo que ("inverso a la derecha") se llama una sección del mapeo . $G\dos puntos \,Y\a X$ $F\circ G=\mathrm {id} _{Y}$ $F$

La función es inversa a : $F$ $F^{-1}$

\left(F^{-1}\right)^{-1} = F

Sea una biyección. Sea su función inversa. Entonces las gráficas de las funciones y son simétricas con respecto a la recta . $F:X \subconjunto \mathbb{R} \to Y \subconjunto \mathbb{R}$ $F^{-1}:Y \a X$ $y = F(x)$ $y = F^{-1}(x)$ $y=x$
Además, si una función tiene una inversa , entonces las gráficas de estas funciones serán simétricas con respecto a la línea . $f(x)$ ${\ estilo de visualización f ^ {-1} (x)}$ $y=x$

teorema _ La composición de dos funciones invertibles cualesquiera es una función invertible, es decir, . ${\displaystyle {\left(f\circ g\right)}^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1))$

Prueba
Dado que y para cualquier función reversible , donde es la transformación identidad, podemos escribir las siguientes igualdades. $\alpha \circ {\alpha }^{-1}={\alpha }^{-1}\circ \alpha =e$ $\alpha \circ e=e\circ \alpha =\alpha$ $\alfa$ $mi$ Tenemos: $e=e\Longleftrightarrow e=f\circ f^{-1}\Longleftrightarrow e=f\circ g\circ g^{-1}\circ f^{-1}\Longleftrightarrow e=\left( f\circ g\right)\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right).$ Actuemos a la izquierda por la función y obtengamos: El teorema está demostrado. ${\displaystyle {\left(f\circ g\right)}^{-1))$ ${\left(f\circ g\right)}^{-1}\circ \mid e=\left(f\circ g\right)\circ \left(g^{-1}\circ f ^{-1}\right)\Longleftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1}\circ e={\left(f\circ g\right)}^{-1}\circ \left(f\circ g\right)\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\Longleftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1 }=e\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\Longleftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1}=g^{-1 }\circf^{-1}.$

Esta afirmación es fácil de recordar así: "La chaqueta se pone después de la camisa y se quita antes ".

Expansión de la serie de potencia

La función inversa de una función analítica en alguna vecindad de un punto se puede representar como una serie de potencias : $x_{0}$

f^{-1}(y)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}(x_{0}){\frac {(yf(x_{0}))^ {k}}{k!}},

donde las funciones están dadas por la fórmula recursiva: $Alaska$

A_{n}(x)={\begin{casos}x\;,\;n=0\\{\frac {A_{n-1}'(x)}{f'(x)} }\;,\;n>0\end{casos}}

Véase también

Notas

↑ Kulikov L. Ya. "Álgebra y Teoría de Números: Libro de Texto para Institutos Pedagógicos"
↑ Shibinsky V. M. Ejemplos y contraejemplos en el curso del análisis matemático. Tutorial. - M. : Escuela Superior, 2007. - S. 29-30. — 543 pág. - ISBN 978-5-06-005774-4 .