Péndulo inverso

Un péndulo invertido es un dispositivo que es un péndulo , que tiene un centro de masa sobre su punto de apoyo, fijado en el extremo de una varilla rígida. A menudo, el fulcro se fija en un carro que se puede mover horizontalmente. Mientras que un péndulo normal cuelga constantemente hacia abajo, un péndulo inverso es inherentemente inestable y debe equilibrarse constantemente para mantenerse erguido, ya sea aplicando torsión al punto de pivote o moviendo el punto de pivote horizontalmente, como parte del sistema de retroalimentación . La demostración más sencilla sería equilibrar un lápiz en la punta del dedo.

Resumen

El péndulo invertido es un problema clásico en dinámica y teoría de control y es ampliamente utilizado como punto de referencia para probar algoritmos de control ( controladores PID , redes neuronales , control difuso , etc.).

El problema del péndulo inverso está relacionado con la guía del misil, ya que el motor del misil está ubicado debajo del centro de gravedad, lo que provoca inestabilidad. [1] El mismo problema se resuelve, por ejemplo, en el Segway , un dispositivo de transporte autoequilibrado.

Otra forma de estabilizar un péndulo inverso es balancear rápidamente la base en un plano vertical. En este caso, puede prescindir de comentarios. Si las oscilaciones son lo suficientemente fuertes (en términos de aceleración y amplitud), entonces el péndulo inverso puede estabilizarse. Si el punto en movimiento oscila de acuerdo con oscilaciones armónicas simples , entonces el movimiento del péndulo se describe mediante la función de Mathieu .

Ecuaciones de movimiento

Con un punto fijo de apoyo

La ecuación de movimiento es similar a la de un péndulo recto , excepto que el signo de la posición angular se mide desde la posición vertical del equilibrio inestable :

{\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =0

Cuando se traduce, tendrá el mismo signo de aceleración angular :

{\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta

Así, el péndulo inverso acelerará desde el equilibrio inestable vertical en la dirección opuesta, y la aceleración será inversamente proporcional a la longitud. Un péndulo alto cae más lentamente que uno corto.

Péndulo sobre carro

Las ecuaciones de movimiento se pueden derivar usando las ecuaciones de Lagrange . Estamos hablando de la figura de arriba, donde el ángulo del péndulo es largo con respecto a la vertical y la fuerza de gravedad y las fuerzas externas actúan en la dirección . Determine la posición del carro. Lagrangiano del sistema: $\ theta (t)$ $yo$ $F$ $X$ $x(t)$ ${\ estilo de visualización L = TV}$

L={\frac {1}{2}}Mv_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-mg\ell \cos \theta

donde es la velocidad del carro, y es la velocidad del punto material . y puede expresarse en términos de y escribiendo la velocidad como la primera derivada de la posición. $v_{1}$ $v_{2}$ $metro$ $v_{1}$ $v_{2}$ $X$ $\ theta$

v_{1}^{2}={\punto {x}}^{2}

v_{2}^{2}=\left({\frac {d}{dt)){\left(x-\ell \sin \theta \right)}\right)^{2}+\ izquierda({\frac {d}{dt}}{\left(\ell \cos \theta \right)}\right)^{2}

Simplificando la expresión se obtiene: $v_{2}$

v_{2}^{2}={\dot {x}}^{2}-2\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +\ell ^ {2}{\punto {\theta}}^{2}

El lagrangiano ahora se define mediante la fórmula:

L={\frac {1}{2}}\left(M+m\right){\dot {x}}^{2}-m\ell {\dot {x}}{\dot { \theta ))\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell \cos \theta

y las ecuaciones de movimiento:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\parcial {L} \over \parcial {\dot {x}}}-{\parcial {L} \over \ parcial x}=F

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\parcial {L} \over \parcial {\dot {\theta }}}-{\parcial {L} \over \theta parcial }=0

La sustitución en estas expresiones con la subsiguiente simplificación conduce a ecuaciones que describen el movimiento de un péndulo inverso: $L$

\left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2 }\sen\theta =F

\ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta

Estas ecuaciones no son lineales, pero dado que el objetivo del sistema de control es mantener el péndulo vertical, las ecuaciones se pueden linealizar tomando . $\theta \aproximadamente 0$

Un péndulo con una base oscilante

La ecuación de movimiento de tal péndulo está relacionada con una base oscilante sin masa y se obtiene de la misma manera que para un péndulo sobre un carro. La posición del punto material está determinada por la fórmula:

\left(-\ell \sin \theta ,y+\ell \cos \theta \right)

y la velocidad se encuentra a través de la primera derivada de la posición:

v^{2}={\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\sin \theta +\ell ^{2} {\punto {\theta}}^{2}.

El lagrangiano para este sistema se puede escribir como:

L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\ sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-mg\left(y+\ell \cos \theta \right)

las ecuaciones de movimiento se siguen de:

{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\parcial {L} \over \parcial {\dot {\theta))}-{\parcial {L} \over \parcial \theta }=0

como resultado:

\ell {\ddot {\theta }}-{\ddot {y}}\sin \theta =g\sin \theta .

Si y fluctúa de acuerdo con vibraciones armónicas simples , entonces obtenemos la ecuación diferencial : $y=A\sin \omega t$

{\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =-{A \over \ell }\omega ^{2}\sin \omega t\sin \theta .

Esta ecuación no tiene una solución elemental en forma cerrada, pero se puede estudiar en muchas direcciones. Está cerca de la ecuación de Mathieu , por ejemplo, cuando la amplitud de oscilación es pequeña. El análisis muestra que el péndulo permanece en posición vertical cuando se balancea rápidamente. El primer gráfico muestra que con un péndulo que oscila lentamente , el péndulo cae rápidamente después de dejar una posición vertical estable. Si oscila rápidamente, entonces el péndulo puede permanecer estable en la posición vertical. El segundo gráfico muestra que, después de dejar la posición vertical estable, el péndulo ahora comienza a oscilar alrededor de la posición vertical ( ), la desviación de la posición vertical sigue siendo pequeña y el péndulo no cae. $y$
$y$ $\ theta = 0$

Aplicación

Un ejemplo es el equilibrio de personas y objetos, como en las acrobacias o andar en monociclo . Y también un segway , un scooter eléctrico de dos ruedas con autoequilibrio.

El péndulo invertido fue un componente central en el desarrollo de varios de los primeros sismógrafos [2] .

Véase también

monociclo de auto-equilibrio
segway
péndulo inverso doble
péndulo giroscópico
péndulo furuta

Enlaces

↑ Estabilidad de cohetes (enlace descendente) . Consultado el 23 de abril de 2012. Archivado desde el original el 7 de junio de 2013. (indefinido)
↑ La historia temprana de la sismometría (hasta 1900) (enlace no disponible) . Consultado el 30 de septiembre de 2017. Archivado desde el original el 27 de agosto de 2016. (indefinido)

D. Liberzon Conmutación en Sistemas y Control (2003 Springer) pp. 89ff

Lecturas adicionales

Franklin; et al. (2005). Control de realimentación de sistemas dinámicos, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0