Operador de Schrödinger

El operador de Schrödinger es un operador diferencial de la forma:

H=-\sum_{j=1}^{n}{\frac {1}{2m_{j))}\Delta_{j}+\sum_{i<j}^{n} v_{ij}(x_{i}-x_{j})+\sum_{j=1}^{n}v_{j}(x_{i})

Es un operador de un problema de valor límite singular elíptico . La teoría matemática de los operadores de Schrödinger se utiliza en mecánica cuántica [1] , geometría diferencial (demostración del teorema de Gauss-Bonnet [2] ), topología (en la teoría de Morse al probar la desigualdad de Morse [3] ). Permite numerosas generalizaciones [4] . Bajo ciertas condiciones en los potenciales y es un operador autoadjunto con un dominio de definición denso en todas partes en el espacio de funciones integrables al cuadrado [5] [6] . Esta propiedad es equivalente a la capacidad de resolución única de la ecuación de Schrödinger no estacionaria [6] . Es muy importante para los fundamentos de la mecánica cuántica, ya que solo los operadores autoadjuntos describen observables mecánicos cuánticos. En mecánica cuántica , el operador de Schrödinger es el operador de energía de un sistema de partículas cargadas en la representación de coordenadas. En una descripción aproximada del comportamiento de una partícula en un campo externo o en un sistema de dos partículas interactuantes, el operador de Schrödinger se define en el espacio de funciones integrables al cuadrado y tiene la forma: , donde es un vector espacial tridimensional [ 1] . $v_{ij}(x)$ ${\ Displaystyle v_ {j} (x)}$ ${\ estilo de visualización \ psi (x_{1}, \ puntos, x_ {n}))}$ $norte$ $H=-\Delta +v(x)$ $X$

Operador unidimensional de Schrödinger

El operador de Schrödinger unidimensional tiene la forma:

H_{1}=-{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}+v(z)

donde es un vector espacial unidimensional. En el caso de un potencial infinitamente creciente en , su espectro es discreto, único. En el caso de un oscilador armónico - . Valores propios y funciones propias , donde , son polinomios de Hermite . $z$ $v(z)\rightarrow\infty$ $\left|z\right|\rightarrow \infty$ $v(z)=z^{2}$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {n} = 2n + 1}$ $\psi _{n}(z)=e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}H_{n}(z)$ ${\ estilo de visualización n = 0,1,2, \ puntos}$ $H_{n}(z)$

Un criterio suficiente para la autoadjunción del operador de Schrödinger

Para el operador de Schrödinger para un sistema de partículas definidas sobre funciones finitas suaves: $norte$

H=-\sum_{j=1}^{n}{\frac {1}{2m_{j))}\Delta_{j}+\sum_{i<j}^{n} v_{ij}(x_{i}-x_{j})+\sum_{j=1}^{n}v_{j}(x_{i})

condiciones suficientes para la autoadjunción esencial son las siguientes condiciones:

\int _{\left|x\right|\leqslant R}v_{ij}^{2}(x)<\infty

\int _{\left|x\right|\leqslant R}v_{j}^{2}(x)<\infty

y bajo las condiciones: ${\ estilo de visualización \ izquierda | x \ derecha | \ geqslant R}$

\left|v_{ij}(x)\right|\leqslant M

\left|v_{j}(x)\right|\leqslant M

El dominio de definición de la clausura del operador de Schrödinger en este caso coincide con el dominio de definición de la clausura del operador [5] . ${\displaystyle -\sum_{j=1}^{n}\Delta_{j))$

Notas

↑ 1 2 Crane, 1972 , p. 430.
↑ Tsikon, 1990 , pág. 291.
↑ Tsikon, 1990 , pág. 265.
↑ Grúa, 1972 , pág. 435.
↑ 1 2 Crane, 1972 , p. 441.
↑ 1 2 Tsikon, 1990 , pág. 9.

Literatura

Kerin S. G. Análisis funcional. - M. : Nauka, 1972. - 544 p.
Operadores Zikon H., Froese R., Kirsch W., Simon B. Schrödinger con aplicaciones a la mecánica cuántica y la geometría global. — M .: Mir, 1990. — 408 p. — ISBN 5-03-001422-5 .