Fórmula de Gauss-Bonnet

La fórmula de Gauss-Bonnet relaciona la característica de Euler de una superficie con su curvatura gaussiana y la curvatura geodésica de su límite.

Redacción

Sea una variedad de Riemann orientada bidimensional compacta con límite suave . Denote por la curvatura gaussiana y por la curvatura geodésica . Después $\Omega$ $\parcial \Omega$ $k$ $\Omega$ $kg}$ $\parcial \Omega$

\int \limits _{\Omega }K\,d\sigma +\int \limits _{\parcial \Omega }k_{g}\,ds=2\pi \chi (\Omega ),

donde es la característica de Euler . $\chi (\Omega)$ $\Omega$

En particular, si no hay límite, obtenemos $\Omega$

\int \limits _{\Omega }K\,d\sigma =2\pi \chi (\Omega ).

Si la superficie se deforma, entonces su característica de Euler no cambia, mientras que la curvatura gaussiana puede cambiar punto por punto. Sin embargo, según la fórmula de Gauss-Bonnet, la integral de curvatura gaussiana sigue siendo la misma.

Historia

Un caso especial de esta fórmula para triángulos geodésicos fue obtenido por Friedrich Gauss [1] , Pierre Ossian Bonnet [2] y Jacques Binet independientemente generalizaron la fórmula al caso de un disco delimitado por una curva arbitraria; Binet no publicó un artículo sobre el tema, pero Bonnet lo menciona en la página 129 de su "Mémoire sur la Théorie Générale des Surfaces". Para dominios no simplemente conectados, la fórmula aparece en el trabajo de Walter von Dyck [3] . La formulación moderna la da Wilhelm Blaschke [4] .

Variaciones y generalizaciones

La fórmula de Gauss-Bonnet se generaliza naturalmente a dominios con un límite suave por partes. Si en el punto de quiebre el vector tangente gira en ángulo hacia la región (puede ser un número positivo o negativo ), entonces la fórmula se generaliza a esto: $Pi}$ ${\ símbolo de negrita {\ tau))$ $\phi_i$ $\Omega$ $\int \limits _{\Omega }K\,d\sigma +\int \limits _{L}k_{g}\,ds+\sum _{i}\phi _{i}=2\pi \chi (\Omega).$
La fórmula generalizada de Gauss-Bonnet es una generalización de la fórmula a dimensiones superiores .
La desigualdad de Cohn-Vossen es una generalización a superficies no compactas.
El teorema de comparación de Toponogov refina la siguiente consecuencia de la fórmula de Gauss-Bonnet: cualquier triángulo en una superficie completa de curvatura gaussiana no negativa tiene una suma de ángulos de al menos $\Pi$ .

Véase también

fórmula de Gauss

Enlaces

↑ C. F. Gauss, Disquisitiones generales alrededor de superficies curvas, Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores. Tomo VI, págs. 99–146.
↑ Bonnet, 1848 'Mémoire sur la Théorie Générale des Surfaces', J. École Polytechnique 19 (1848) págs. 1-146
↑ von Dyck W. Beiträge zur analysis situs. Matemáticas Ann, 32: 457–512 (1888)
↑ Wilhelm Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, 1921

S. E. Stepanov, El teorema de Gauss-Bonnet, SOZH, 2000, No 9, p. 116-121.
Wu, Hung-hsi. "Desarrollo histórico del teorema de Gauss-Bonnet". Ciencia en China Serie A: Matemáticas 51.4 (2008): 777-784.