Cálculo operacional

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 24 de mayo de 2021; la verificación requiere 1 edición .

El cálculo operativo es uno de los métodos de análisis matemático , que en algunos casos permite resolver problemas matemáticos complejos con la ayuda de medios simples.

Historia

A mediados del siglo XIX aparecieron una serie de trabajos sobre el llamado cálculo simbólico y su aplicación a la solución de ciertos tipos de ecuaciones diferenciales lineales . La esencia del cálculo simbólico es que las funciones del operador de diferenciación se introducen en consideración y se interpretan adecuadamente ( teoría del operador ). Entre los trabajos sobre cálculo simbólico, vale la pena señalar la monografía detallada del profesor y matemático Mikhail Vashchenko-Zakharchenko , "Cálculo simbólico y su aplicación a la integración de ecuaciones diferenciales lineales" , publicada en 1862 en Kiev . Establece y resuelve las principales tareas del método, que más tarde se conocería como método operativo. $p={d\sobre dt}$

En 1892 aparecieron los trabajos del científico inglés Oliver Heaviside , dedicados a la aplicación del método de cálculo simbólico a la resolución de problemas en la teoría de la propagación de vibraciones eléctricas en los cables. A diferencia de sus predecesores, Heaviside definió el operador inverso de manera única, suponiendo y contando para . El trabajo de Heaviside sentó las bases para la aplicación sistemática del cálculo simbólico u operativo a la solución de problemas físicos y técnicos. ${\frac {1}{p}}f(t)=\int \limits_{{0}}^{{t}}\!f(u)\,du$ $f(u)=0$ $tu<0$

Sin embargo, el cálculo operativo ampliamente desarrollado en los trabajos de Heaviside no recibió una justificación matemática y muchos de sus resultados quedaron sin probar. Mucho más tarde se dio una justificación rigurosa, cuando se estableció una conexión entre la transformada funcional de Laplace y el operador de diferenciación. A saber, si existe una derivada para la cual y existe , entonces . ${\bar {f}}(p)=L\left[f(t)\right]=\int \limits _{{0}}^{\infty }\!e^{{-pt}}f( t)\,dt$ ${d\sobre dt}.$ $f^{\principal}(t)$ $L\izquierda[{df \sobre dt}\derecha]$ $f(0)=0$ $L\left[{df \over dt}\right]=p{\bar {f}}(p)$

En la década de 1950, Jan Mikusinsky continuó la fundamentación teórica del cálculo operativo , sus ideas se distinguen por un aspecto original y un enfoque innovador, su versión del cálculo operativo se denominó "cálculo operativo según Mikusinsky". Este método se puede aplicar para resolver ecuaciones diferenciales y se basa en el uso de la operación de convolución usando la transformada de Fourier .

Propiedades de imagen

linealidad

El original de la combinación lineal de características es igual a la combinación lineal de imágenes con los mismos coeficientes.

a\cdot f(t)+b\cdot g(t)\quad \Rightarrow \quad a\cdot F(p)+b\cdot G(p),

donde a y b son números complejos arbitrarios .

teorema de similitud

f(en)\quad \Rightarrow \quad {\frac {1}{a}}F\left({\frac {p}{a}}\right),

donde a>0.

diferenciando el original

f(t)\quad \Rightarrow \quad F(p);

f'(t)\quad \Rightarrow \quad pF(p)-f(0);

f''(t)\quad \Rightarrow \quad p^{2}F(p)-pf(0)-f'(0);

f'''(t)\quad \Rightarrow \quad p^{3}F(p)-p^{2}f(0)-pf'(0)-f''(0);

...

f^{{(n)}}(t)\quad \Rightarrow \quad p^{n}F(p)-p^{{n-1}}f(0)-p^{{n-2} }f'(0)-p^{{n-3}}f''(0)-...-f^{{(n-1)}}(0).

Diferenciación de imagen

-tf(t)\quad \Rightarrow \quad F'(p).

Integración del original.

\int \limits _{0}^{t}f(t)dt\quad \Rightarrow \quad {\frac {1}{p}}F(p).

Integración de imágenes

{\frac {f(t)}{t}}\quad \Rightarrow \quad \int \limits _{p}^{\infty}F(p)dp.

teorema de desplazamiento

e^{{en}}f(t)\quad \Rightarrow \quad F(pa).

teorema de retardo

f(t-\tau )\quad \Rightarrow \quad e^{{-p\tau }}F(p).

Teorema de la multiplicación (convoluciones)

\int \limits _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau \quad \Rightarrow \quad F(p)\cdot G(p).

Imágenes de varias funciones

Original	Imagen	Original	Imagen	Original	Imagen
$C$	${\frac{C}{p}}$	$t\cdot \sin ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {2p\omega }{(p^{2}+\omega ^{2})^{2))))$	$t\cdot \operatorname {sh} ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {2p\omega }{(p^{2}-\omega ^{2})^{2))))$
${\displaystyle e^{en))$	${\frac{1}{pa}}$	$t\cdot \cos~\omega t$	${\displaystyle {\frac {p^{2}-\omega ^{2}}{(p^{2}+\omega ^{2})^{2))))$	$t\cdot \operatorname {ch} ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {p^{2}+\omega ^{2}}{(p^{2}-\omega ^{2})^{2))))$
$\sin ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {\omega}{p^{2}+\omega^{2))))$	${\ estilo de visualización \ nombre del operador {sh} ~ \ omega t}$	${\displaystyle {\frac {\omega}{p^{2}-\omega ^{2))))$	$t^{n}$	${\displaystyle {\frac {n!}{p^{n+1))))$
$\cos ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {p}{p^{2}+\omega^{2))))$	${\ estilo de visualización \ nombre del operador {ch} ~ \ omega t}$	${\displaystyle {\frac {p}{p^{2}-\omega^{2))))$	$t^{un}$	${\displaystyle {\frac {\Gamma (a+1)}{p^{a+1))))$
$e^{at}\sin ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {\omega }{(pa)^{2}+\omega ^{2))))$	$e^{at}\operatorname {sh} ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {\omega }{(pa)^{2}-\omega ^{2))))$	$e^{en}t^{n}$	${\displaystyle {\frac {n!}{(pa)^{n+1))))$
$e^{at}\cos ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {pa}{(pa)^{2}+\omega ^{2))))$	$e^{at}\operatorname {ch} ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {pa}{(pa)^{2}-\omega ^{2))))$

Aplicación de métodos de operador en ingeniería eléctrica

Reto

La figura muestra un circuito RL conmutado . En algún momento t=0, la llave K se cierra. Determine la dependencia de la corriente en el circuito RL con el tiempo.

Decisión por el método tradicional

De acuerdo con la segunda ley de Kirchhoff , el circuito se describe mediante la siguiente ecuación diferencial:

U=iR+L{\frac{di}{dt}},

donde el primer término describe la caída de voltaje en la resistencia R y el segundo término describe la caída de voltaje en el inductor L.

Hacemos un cambio de variable y llevamos la ecuación a la forma: ${\ estilo de visualización i = ab}$

U=Rab+L(a'b+ab');\qquad U=a(Rb+Lb')+La'b.

Dado que uno de los factores a, b puede elegirse arbitrariamente, elegimos b para que la expresión entre paréntesis sea igual a cero:

Rb+Lb'=0.

Separación de variables:

{\frac {b'}{b}}=-{\frac {R}{L));\qquad \ln b=-{\frac {R}{L}}t;\qquad b= e^{-{\frac{R}{L}}t}.

Teniendo en cuenta el valor elegido de b, la ecuación diferencial se reduce a la forma

U=La'e^{-{\frac {R}{L}}t};\qquad a'={\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{ L}};

Integrando, obtenemos

a={\frac {L}{R}}\cdot {\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{L}}+C={\frac {Ue^ {{\frac{R}{L}}t}}{R}}+C;\qquad

Obtenemos la expresión para la corriente.

i=ab=\left({\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{R}}+C\right)\cdot e^{-{\frac {R {L}}t}={\frac{U}{R}}+Ce^{-{\frac {R}{L}}t};

El valor de la constante de integración se encuentra a partir de la condición de que en el momento t=0 no había corriente en el circuito:

i(0)=0;\qquad {\frac {U}{R}}+C=0;\qquad C=-{\frac {U}{R}}.

Finalmente obtenemos

i={\frac {U}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right).

Solución por método de operador

Encuentra imágenes de cada uno de los términos de la ecuación diferencial:

i\Rightarrow I;\qquad U\Rightarrow {\frac {U}{p);\qquad iR\Rightarrow IR;\qquad L{\frac {di}{dt))\Rightarrow L\left[ pI -i(0)\derecha]=pLI.

[una]

$U\Flecha derecha {\frac {U}{p}}$ se obtiene porque el cambio en U a lo largo del tiempo se expresa mediante la función U = H(t)U (el interruptor se cerró en el tiempo t = 0), donde H(t) es la función escalón de Heaviside (función unitaria), ( H (t) = 0 en t < 0 y H(t) = 1 para t = 0 y t > 0, y la imagen H(t) es 1/ p ).

Obtenemos la siguiente imagen de la ecuación diferencial

{\frac {U}{p}}=RI+pLI=I(R+pL).

De la última expresión encontramos la imagen de la corriente:

I={\frac {U}{p(R+pL))).

Así, la solución se reduce a encontrar la corriente original a partir de la imagen conocida. Expandamos el lado derecho de la ecuación en fracciones elementales:

{\frac {U}{p(R+pL)}}={\frac {A}{p}}+{\frac {B}{R+pL}}={\frac {A(R +pL)+Bp}{p(R+pL)}}={\frac {AR+p(AL+B)}{p(R+pL))));

AR=U;\qquad A={\frac {U}{R));

AL+B=0;\qquad B=-AL=-{\frac {UL}{R));

I={\frac {U}{Rp}}-{\frac {UL}{R(R+pL)))={\frac {U}{Rp}}-{\frac {U}{ R({\frac {R}{L}}+p)}}={\frac {U}{R}}\left({\frac {1}{p}}-{\frac {1}{{ \frac{R}{L}}+p}}\derecha).

Encontremos los elementos originales de la última expresión:

{\frac {1}{p}}\Leftarrow 1;\qquad {\frac {1}({\frac {R}{L}}+p}}\Leftarrow e^{-{\frac { R}{L}}t}.

Finalmente obtenemos

i={\frac {U}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right).

Conclusión

El cálculo operativo es extremadamente conveniente en ingeniería eléctrica para calcular los modos dinámicos de varios circuitos. El algoritmo de cálculo es el siguiente.

1) Consideramos todos los elementos del circuito como resistencias Z i , cuyos valores se encuentran en función de las imágenes de las funciones de transición de los elementos correspondientes.

Por ejemplo, para una resistencia:

u=iR;\quad \Rightarrow \quad U=IR\quad \Rightarrow \quad Z_{R}=R.

Por inductancia:

u=L{\frac {di}{dt}}\quad \Rightarrow \quad U=IpL\quad \Rightarrow \quad Z_{L}=pL.

Para contenedor:

u={\frac {1}{C}}\int idt\quad \Rightarrow \quad U={\frac {I}{pC}}\quad \Rightarrow \quad Z_{C}={\frac {1 PC}}.

2) Usando los valores de resistencia indicados, encontramos imágenes de corrientes en el circuito usando métodos estándar para calcular circuitos usados en ingeniería eléctrica.

3) Teniendo imágenes de las corrientes en el circuito, encontramos las originales, que son la solución de las ecuaciones diferenciales que describen el circuito.

Aplicación del cálculo operacional

Los métodos del operador se utilizan en la teoría de los circuitos eléctricos , la teoría del control automático , la teoría de las señales y la mecánica teórica . La transición a imágenes te permite pasar de resolver ecuaciones diferenciales a algebraicas. El cálculo operativo te permite trabajar con funciones discontinuas , por ejemplo , la función tijera , cantidad de movimiento, función delta , y otras. Esta característica distingue el cálculo operativo del análisis matemático con su continuidad y diferenciación en cada punto .

Notas

Es interesante notar que las expresiones obtenidas arriba para la resistencia del operador de varios elementos, hasta la transformación

p\rightarrow j\omega

coinciden con las expresiones correspondientes para resistencias en circuitos de CA:

Z_{R}=R;\qquad Z_{L}=j\omega L;\qquad Z_{C}={\frac {1}{j\omega C)).

Notas

↑ En la literatura extranjera, la variable compleja p suele denotarse con la letra s .

Literatura

Sidorov Yu V., Fedoryuk MV, Shabunin MI Conferencias sobre la teoría de funciones de una variable compleja. - 1989. - S. 479. - ISBN 5-02-013954-8 .
Transformada de Bracewell R. Hartley. - 1990. - S. 172.
Transformada de Decch G. Laplace . - 1971. - S. 288 .

Ditkin V. A., Prudnikov A. P. Cálculo operativo. - 1975. - S. 408.
Kontorovich MI Cálculo operativo . - 1955. - S. 229 .
Martynenko V. S. Cálculo operativo. - 1990. - S. 359.
MikusinskyJan. Cálculo del operador . - 1956. - S. 363 .
Shostak R. Ya. Cálculo operativo. - 1972. - S. 274.

Shtokalo I. Z. Cálculo operativo. - 1972. - S. 304.

Eiderman V. Ya. Cálculo operativo . - " Fizmatlit ", 2002. - S. 256 . — ISBN 5-9221-0283-4 .

Panteleev A. V., Yakimova A. S. La teoría de funciones de una variable compleja y cálculo operativo en ejemplos y problemas : un tutorial. - " Alto. escuela ”, 2001. - S. 445 . — ISBN 5-06-004135-2 .