Continuación analítica

Una continuación analítica en análisis complejo es una función analítica que coincide con una función dada en su dominio original C y está definida en el dominio D que contiene a C , que es una continuación analítica de la función . La continuación analítica siempre es única . $F$ $F$

El concepto fue introducido por Karl Weierstrass en 1842 , también desarrolló la técnica correspondiente para construir dichas extensiones.

Un caso especial para las funciones holomorfas es la extensión holomorfa .

Definición

Singularidad

En cualquier caso, una continuación analítica no existe, pero siempre es única : dos funciones analíticas cualesquiera extendidas de la misma función siempre coinciden. Para las funciones holomorfas (un caso especial de las funciones analíticas), la unicidad se puede derivar del siguiente hecho: si una función f es idénticamente igual a cero , entonces cualquiera de sus extensiones es cero en todas partes. Dado que las funciones holomorfas forman un espacio lineal , esto es suficiente para la unicidad de la extensión holomorfa.

Maneras de construir

Métodos elementales

Para las funciones más elementales, como la función de potencia y la función exponencial , la continuación analítica es casi directa. Esto se debe a que la continuación analítica en tales casos se realiza a partir de un conjunto de un tipo muy específico, que es la línea real, este conjunto no tiene puntos interiores complejos .

Para casos más complejos, se utilizan métodos más artificiales. Por ejemplo, considere algunas series de Taylor que convergen en un círculo , donde es el radio de convergencia de esta serie. Según una de las definiciones equivalentes, se obtiene así la función analítica en el círculo . ¿Qué significa? Esto no significa que en cualquier punto fuera de la función resultante ya no será analítica, esto se desconoce actualmente, simplemente significa que hay un punto tal que la serie diverge en este punto. Sin embargo, puede elegir un punto determinado ; dado que en este punto la función es analítica, se puede expandir en una serie que converge en un círculo determinado . Si la relación se cumple para el nuevo radio de convergencia , entonces ya habrá puntos que pertenecen pero no a , y de esto, en virtud del teorema de unicidad, se seguirá que la función, definida inicialmente sólo en , se extiende a algún conjunto más grande, a saber, a . Si esto no es posible, entonces el círculo será el límite natural de la continuación analítica. $\Delta _{a}=\{z\colon |za|<\rho \}$ $\rho$ $\Delta _{a}$ $f(z)$ $\Delta _{a}$ $z_{0}\colon |z_{0}-a|=\rho$ $b\in\Delta _{a}$ $f(z)$ $\Delta _{b}=\{z\colon |zb|<\theta \}$ $\ theta$ $\theta >\rho -|ab|$ $\Delta _{b}$ $\Delta _{a}$ $\Delta _{a}$ $\Delta _{a}\taza \Delta _{b}$ $\parcial \Delta _{a}$

Para muchas funciones especiales, la continuación analítica se lleva a cabo utilizando alguna ecuación funcional. Se toma un área en la que la solución de esta ecuación es obviamente analítica y los resultados se transfieren a un área más grande. Básicamente, las continuaciones de las funciones especiales del análisis real se construyen de esta manera, por ejemplo, la función gamma y la función zeta de Riemann .

Continuación analítica a lo largo de una cadena de dominios

Para construir continuaciones analíticas en casos no triviales, se utiliza el concepto de elemento analítico .

Los elementos y se denominan continuación analítica entre sí a través de una cadena de dominios si existe una secuencia de elementos y se cumplen las siguientes tres condiciones: $P=(G,f)$ $Q=(H,g)$ $\{\ Delta \}_{1}^{n}$ $P_{k}=(G_{k},f_{k}),\,k=0,1,\puntos,n$

$P_{0}=P,\,P_{n}=Q$ ;
Para dominios sucesivos arbitrarios de la cadena, su intersección no es vacía y es su componente conectado definitivo; $D_{k}\cap D_{{k+1}}$ $\Delta _{k}$
El elemento es una continuación analítica a través del conjunto . $P_{{k+1}}$ $Paquete}$ $\Delta _{k}$

Un germen puede ser considerado como un elemento analítico que consta de un círculo de convergencia y una función analítica propia, la suma de una serie. Los elementos de este tipo tienen su propio nombre: elementos canónicos y se denotan como , donde es el círculo de convergencia de la serie y es su suma. El centro del círculo de convergencia de la serie que lo define se llama centro de un elemento canónico. $(Kf)$ $k$ $F$

Continuación analítica a lo largo de un camino

Para construir una continuación analítica en el camino hacia el desarrollo de la técnica de construcción "discreta" con respecto a una cadena de dominios, es necesario hacer una transición, en un sentido similar a la transición de una secuencia a una función.

Consideramos un elemento canónico centrado en un punto y una curva de Jordan continua ( ) con la propiedad . $P_{0}=(K_{0},f_{0})$ $z=z_{0}$ $\varphi (t)\dos puntos [0;1]\to {\mathbb C}$ $\Gamma =\varphi([0;1])$ $z_{0}=\varfi(0)$

Supongamos que existe una familia de elementos canónicos con radios de convergencia distintos de cero tal que es el centro del elemento y para una arbitraria existe tal vecindad (entendido en el sentido de vecindades sobre la recta real) que satisface la condición ; entonces, si para cualquiera el elemento es una continuación inmediata del elemento , entonces se considera que el elemento continúa analíticamente a lo largo del camino . $\{P_{t}\}_{{t\en [0;1]}}$ $\varfi (t)$ $P_{t}$ $t_{0}\en [0;1]$ ${{\U matemática}}_{{t_{0}}}\subconjunto [0;1]$ $\varphi ({{\mathcal U}}_{{t_{0}}})\subconjunto K_{{t_{0}}}$ $t\in {{\U matemática}}_{{t_{0}}}$ $P_{t}$ $P_{{t_{0}}}}$ $P_0$ $\Gama$

La familia de regiones puede elegirse arbitrariamente, ya que se puede probar que el resultado de la continuación analítica no depende de la elección de la familia de regiones.

Una propiedad bastante interesante también tiene una función : el radio del círculo de convergencia . Para la familia mencionada en la definición de continuación a lo largo de un camino, la función será continua en el sentido de análisis real sobre . $R(t)\dos puntos [0;1]\to (0;+\infty )$ $K_{{t}}.$ $R(t)$ $[0;1]$

Supongamos que el elemento canónico se obtiene del elemento por continuación analítica a lo largo de algún camino a través de la familia intermedia de elementos . Entonces, si elegimos alguna secuencia creciente de elementos del segmento , donde los círculos y se intersecan, entonces el elemento será una continuación analítica del elemento a través de la cadena de regiones . $q$ $PAGS$ $\varphi (t)\dos puntos [0;1]\to {\mathbb C}$ $\{P_{t}\}_{{t\en [0;1]}}$ $0,t_{1},t_{2},\puntos,t_{n},1$ $[0;1]$ $k_k$ $K_{{k+1}}$ $Q=P_{1}$ $P=P_{0}$ $K_{{t_{1}}},K_{{t_{2}}},\puntos,K_{{t_{n}}}$

Uno de los resultados más interesantes será el teorema de la invariancia homotópica de la continuación analítica y su corolario, el teorema de la monodromía .

Función analítica completa

Habiendo desarrollado el aparato de continuación analítica a lo largo de caminos, ahora es posible pasar de la función analítica original a través de elementos analíticos y canónicos a un concepto más general: la función analítica completa . Este término denotará el conjunto de todos los elementos canónicos obtenidos a partir de cualquier elemento inicial por el método de la continuación analítica respecto de todas las posibles curvas de Jordan que permitan tal extensión y tengan su origen en el punto - centro del elemento . $PAGS$ $z_{0}$ $PAGS$

La estructura interna de un concepto tan abstracto es aclarada por el teorema de Poincaré-Volterra , que dice que en cada punto de su dominio de definición, una función analítica completa puede tener como máximo un conjunto contable de elementos centrados en ese punto.

La importancia del concepto de función analítica completa radica en que permite estudiar el concepto de punto singular desde un punto de vista más general . Es decir, los puntos singulares de una función analítica completa son simplemente los puntos de la frontera de su dominio de definición. Dependiendo del comportamiento de la función en la vecindad de estos puntos, se determina su carácter.

Considere algún punto singular para una función analítica completa y algo de su vecindad perforada , que pertenece al dominio de definición . Elegimos alguna curva de Jordan cerrada . Si la continuación analítica a lo largo de una curva da como resultado el mismo elemento, entonces el punto se denomina punto singular de un solo valor y se interpreta simplemente como un punto singular aislado ; si el resultado de la continuación analítica ya es otro elemento, entonces el punto se llama punto singular de carácter polivalente o punto de bifurcación . $z_{0}$ $\mathbf {f}$ ${\dot {{\mathcal U}}}_{{z_{0}}}$ $\mathbf {f}$ $\gamma \subset {\dot {{\mathcal U}}}_{{z_{0}}}$ $\Gama$

Teorema de Hadamard

Para serie de potencia

f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k

para el cual casi todos los coeficientes son iguales a cero en el sentido de que la secuencia de números de coeficientes distintos de cero satisface $k(yo)$

\lim_{i\to\infty} \frac{k(i+1)}{k(i)} > 1 + \delta \,

para algún δ > 0 fijo , el círculo con centro z 0 y radio igual al radio de convergencia es un límite natural — la continuación analítica de la función definida por tal serie es imposible fuera del círculo.

Generalizaciones y conceptos relacionados

La continuación analítica se puede considerar en dominios no solo en el plano complejo, sino también en superficies de Riemann y, de manera más general, en variedades complejas : D debe ser una variedad compleja y C un subconjunto de ella. Si C es un dominio en D y para cualquier dominio C′ : C ⊂ C′ ⊂ D' existe una función que es holomorfa en C pero no extensible a C′ , entonces C se llama dominio holomorfo . En el caso unidimensional complejo, cada dominio es un dominio de holomorfia; en el caso multidimensional, este no es el caso.

También se puede considerar la continuación analítica de conjuntos C que no son regiones, por ejemplo, de la línea real . En este caso, la función f se define inicialmente en algún conjunto abierto (dependiente de la función) que contiene C .

Véase también

Literatura

Evgrafov M. A. Funciones analíticas. - 2ª ed., revisada. y adicional — M .: Nauka , 1968 . — 472 pág.
Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Métodos de la teoría de funciones de una variable compleja. - 4ª ed. — M .: Nauka , 1972 .
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoría de funciones de una variable compleja. — M .: Nauka, 1967. — 304 p.
Shabat BV Introducción al análisis complejo. — M .: Nauka , 1969 . — 577 pág.