Sobre la interpretación teórica cuántica de las relaciones cinemáticas y mecánicas

"Sobre la interpretación teórica cuántica de las relaciones cinemáticas y mecánicas" ( en alemán: Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen ) es un artículo escrito por Werner Heisenberg que apareció en Zeitschrift für Physik en septiembre de 1925 y sentó las bases de la mecánica cuántica . El artículo fue enviado a los editores el 25 de julio de 1925; este día puede considerarse el cumpleaños de la teoría cuántica moderna [1] .

Mientras se recuperaba de la fiebre del heno en la isla de Helgoland , Heisenberg trabajó en el artículo mientras mantenía correspondencia con Wolfgang Pauli [2] sobre el tema . Cuando se le preguntó qué pensaba del manuscrito, Pauli respondió afirmativamente [3] , pero Heisenberg dijo que todavía estaba "muy inseguro al respecto" [4] . En julio de 1925 envió el manuscrito a Max Born para su revisión y decisión sobre su publicación [5] .

En el artículo, Heisenberg intentó explicar los niveles de energía del oscilador anarmónico unidimensional , evitando nociones de órbitas de electrones no observables , usando cantidades observables como probabilidades de transición para " saltos cuánticos ", que requerían el uso de dos índices correspondientes a los estados inicial y final [6] .

También en la obra apareció el conmutador de Heisenberg , su ley de la multiplicación, necesaria para describir ciertas propiedades de los átomos, por las que el producto de dos cantidades físicas no conmuta . Por lo tanto, PQ será diferente de QP , donde, por ejemplo, P es el momento del electrón y Q es su coordenada. Paul Dirac , quien recibió una copia de prueba del artículo en agosto de 1925, se dio cuenta de que la ley de conmutatividad no estaba completa y creó una expresión algebraica de los mismos resultados en una forma más lógica [7] .

Contenidos

Cinemática cuántica

El resumen del artículo formula el objetivo principal del artículo [8] [9]

En este trabajo se intenta obtener los fundamentos de la mecánica teórica cuántica, los cuales se basan únicamente en las relaciones entre cantidades fundamentalmente observables.

Como cantidades "no observables" que se usaban en la antigua teoría cuántica: las coordenadas y el período de revolución del electrón. En consecuencia, los valores disponibles en el experimento fueron observables: las energías de las órbitas de Bohr y las frecuencias de transición [8] : ${\ estilo de visualización W (n)}$

\omega (n,n-\alpha )={\frac {1}{\hbar }}\left[W(n)-W(n-\alpha )\right]\,,

( Nv. 1.1 )

donde n es un número natural que denota el nivel de energía inicial, y el nuevo nivel se denota por el índice n - α . En lugar de la cinemática habitual, es decir, la búsqueda de la trayectoria del electrón x ( t ) , Heisenberg propuso considerar las probabilidades de transición entre órbitas estacionarias de Bohr. La trayectoria de un electrón (se considera un problema unidimensional) ubicado en el nivel n con una frecuencia fundamental ω ( n ) se puede representar como una serie de Fourier [8] :

x(n,t)=\sum _{-\infty }^{\infty }X_{\alpha }(n)\exp ^{i\omega (n)\alpha t}\,.

( Nv. 1.2 )

La potencia de radiación del armónico α se puede tomar de la fórmula de Larmor para un electrón acelerado clásico que se mueve en un potencial parabólico.

-\left({\frac {dE}{dt}}\right)_{\alpha }={\frac {e^{2}}{3\pi \varepsilon_{0}c^{3 ))}[\omega (n)\alfa]^{4}|X_{\alfa}(n)|^{2}\,,

( Nv. 1.3 )

donde e es la carga del electrón, c es la velocidad de la luz [10] . La fórmula clásica que Heisenberg reescribe para ajustarse a las cantidades cuánticas ω ( n ) α se reemplaza por la expresión eq. 1.1 , para el componente de Fourier X α ( n ) — X ( n , n - α ) [8] . Lado derecho de ur. 1.3 se reemplaza por el producto de la energía y la probabilidad de transición

P(n,n-\alpha )={\frac {e^{2}}{3\pi \varepsilon _{0}\hbar c^{3}}}[\omega (n,n- \alfa )]^{4}|X(n,n-\alfa )|^{2}\,,

( Nv. 1.4 )

La amplitud de transición X ( n , n - α ) Heisenberg también se refiere al valor observado [8] [11] . Esta cantidad describe solo una transición, y para la probabilidad de transición total, todas las cantidades deben ser consideradas Además, el autor pregunta sobre la representación del cuadrado de la trayectoria de la partícula x ( t ) 2 , que resulta ser el producto de dos series de Fourier eq. 1.2 para una partícula clásica [8] : $X(nn-\alpha )\exp[i\omega (n,n-\alpha )t]\,.$

[x(t)]^{2}=\sum_{\alpha}\sum_{\gamma}X_{\alpha}(n)X_{\gamma}(n)\mathrm {e} ^ {i\omega (n)(\alfa +\gamma)t}\,

( Nv. 1.5 )

y después del cambio de variables ${\ estilo de visualización \ beta = \ alfa - \ gamma}$

[x(t)]^{2}=\sum_{\beta }Y_{\beta }(n)\mathrm {e} ^{i\omega (n)\beta t}\,,

( Nv. 1.6 )

dónde

Y_{\beta }(n)=\sum_{\alpha }X_{\alpha }(n)X_{\beta -\alpha }(n)\,.

( Nv. 1.7 )

Análogo cuántico de la ec. 1.6 habrá una expresión de la forma El principio de combinación de Ritz [11] se usa para construir un análogo de la ec. 1.7 [8] : $Y(n,n-\beta)\exp[i\omega (n,n-\beta)t]\,.$

\omega (n,n-\alpha )+\omega (n-\alpha ,n-\beta )=\omega (n,n-\beta )\,.

( Nv. 1.8 )

de donde se sigue la regla para multiplicar las amplitudes de transición [12]

Y(n,n-\beta )=\sum _{\alpha }X(n,n-\alpha )X(n-\alpha ,n-\beta )\,.

( Nv. 1.9 )

Heisenberg señala que el producto [ x ( t )] n se obtiene de manera similar, pero considerar los productos de dos cantidades x ( t ) y ( t ) es difícil, porque en la teoría cuántica, a diferencia de la clásica, la expresión puede diferir de y ( t ) ) x ( t ) , que interpretó como una característica importante de la cinemática cuántica [8] .

Dinámica cuántica

Heisenberg estableció cantidades observables para la nueva teoría cuántica: amplitudes y frecuencias de transición. Volviendo a la consideración de la dinámica utilizando el ejemplo de un oscilador armónico unidimensional, cuya solución en la antigua teoría cuántica consistía en integrar las ecuaciones de movimiento [8]

{\ddot {x}}+f(x)=0\,

( Nv. 2.1 )

y obtención de condiciones cuánticas para movimientos periódicos

\oint pdq=\oint m{\dot {x}}^{2}dt\equiv J\,(=nh)\,,

( Nv. 2.2 )

donde h es la constante de Planck. Para un oscilador clásico, sustituyendo la expansión de la coordenada en forma de serie de Fourier eq. 1.2 en ur. 2.1 es posible obtener relaciones de recurrencia para los coeficientes de expansión. Usando nuevos observables cinemáticos previamente derivados, es posible obtener relaciones de recurrencia similares para una determinada expresión f ( x ) , que se analiza a continuación . Para las condiciones cuánticas, utilizó la misma serie clásica de eq. 1.2 , lo que lleva a la expresión [8]

\oint m{\dot {x}}^{2}dt=2\pi m\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }|X_{\alpha }(n)|^ {2}\alfa^{2}\omega(n)\,.

( Nv. 2.3 )

Igualando esta expresión a nh y diferenciando con respecto a h , Heisenberg obtiene la expresión [8]

h=2\pi m\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }\alpha {\frac {d}{dn))(\alpha |X_{\alpha }(n)| ^{2}\omega(n))\,,

( Nv. 2.4 )

en el que las cantidades X α ( n ) se definen hasta una constante. Esta expresión se puede escribir en nuevas cantidades observables después de usar la regla de correspondencia de Bohr

h=4\pi m\sum _{\alpha =0}^{\infty }{|X(n+\alpha ,n)|^{2}\omega (n+\alpha ,n)-|X (n,n-\alfa)|^{2}\omega (n,n-\alfa)}\,,

( Nv. 2.5 )

que es la regla de la suma de Thomas-Kuhn . Ahora Heisenberg resuelve el sistema eq. 2.1 y ur. 2.5 para un tipo específico de fuerza que es un oscilador anarmónico unidimensional [8] . $f(x)=\omega_{0}^{2}x+\lambda x^{2}\,,$

Solución para el oscilador anarmónico

De acuerdo con la suposición de Heisenberg, la ecuación clásica de movimiento de un oscilador anarmónico también describe la dinámica cuántica [12]

{\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x+\lambda x^{2}=0\,.

( Nv. 3.1 )

Esta ecuación se expresa en cantidades observables utilizando la ec. 1.7 se convierte en [8]

[\omega_{0}^{2}-\omega ^{2}(n,n-\alpha )]X(n,n-\alpha )+\lambda \sum_{\beta }X (n,n-\beta)X(n-\beta,n-\alfa)=0\,.

( Nv. 3.2 )

Esta expresión toma una forma recurrente para cada valor de α . Luego construye una teoría de la perturbación en términos de un pequeño parámetro para un oscilador anarmónico, expandiendo la solución clásica de la ecuación. 3.1 seguidos [8] :

x(t)=\lambda a_{0}+a_{1}\cos \omega t+\lambda a_{2}\cos 2\omega t+\lambda ^{2}a_{3}\cos 3\ omega t+\dots +\lambda ^{\alpha -1}a_{\alpha }\cos \alpha \omega t+\dots \,.

( Nv. 3.3 )

cuyos coeficientes también se expanden en series en el pequeño parámetro

a_{0}=a_{0}^{(0)}+\lambda a_{0}^{(1)}+\lambda ^{2}a_{0}^{(2)}+\ puntos\,,

( Nv. 3.4 )

a_{1}=a_{1}^{(0)}+\lambda a_{1}^{(1)}+\lambda ^{2}a_{1}^{(2)}+\ puntos\,,

( Nv. 3.5 )

así como la frecuencia

\omega =\omega _{0}+\lambda \omega ^{(1)}+\lambda ^{2}\omega ^{(2)}+\dots \,.

( Nv. 3.6 )

Suministro de ur. 3.3 en ur. 3.1 , se obtiene un sistema de ecuaciones para los coeficientes de dilatación. Para encontrar estos coeficientes en el primer orden de la teoría de perturbaciones, es necesario restringirnos a términos a la primera potencia de λ . Usando un método similar para los observables cuánticos, Heisenberg llega a las ecuaciones cuánticas para los coeficientes de expansión y construye soluciones para ellos. En primer orden [8]

\omega ^{(0)}(n,n-\alpha )=\omega _{0}\,.

( Nv. 3.8 )

a^{(0)}(n,n-\alpha )=A_{\alpha }{\frac {\beta ^{\alpha }}{\omega _{0}^{2(\alpha - 1)))}{\sqrt {\frac {n!}{(n-\alpha )!}}}\,.

( Nv. 3.8 )

donde y es un coeficiente numérico que depende de α . Para la energía del oscilador, encuentra una expresión en el caso clásico $\beta ={\sqrt {h/\pi m\omega _{0))}\,$ ${\ Displaystyle A_ {\ alfa}}$

W=nh\omega _{0}/2\pi \,

( Nv. 3.9 )

y en el caso cuántico

W=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)h\omega _{0}/2\pi \,,

( Nv. 3.10 )

compara el resultado de los cálculos en el segundo orden de la teoría de la perturbación en λ 2 , lo que es consistente con los cálculos previos en la teoría anterior [8] .

Historia

En su primera carta a Pauli del 29 de septiembre de 1922, considera la interacción de un oscilador clásico anarmónico con la radiación, pero introduce el amortiguamiento sin explicar su mecanismo [13] . En una carta a R. Kronig fechada el 5 de junio de 1925, Heisenberg ya está utilizando la nueva teoría cuántica para resolver el oscilador anarmónico. Ya en esta carta da el equivalente del producto de armónicos clásicos

b_{2}{\textrm {e}}^{2i\omega t}=(a_{1}{\textrm {e}}^{i\omega t})^{2}\,,

en observables cuánticos [14]

b(n,n-2)=a_{1}(n,n-1)a_{1}(n-1,n-2)\,.

Esta expresión es equivalente al producto de los elementos de la matriz. Aparentemente, Heisenberg lo descubrió en junio [14] .

En junio de 1925, Heisenberg sufrió un ataque severo de fiebre del heno, por lo que, siguiendo el consejo de un médico, se mudó de Göttingen a la isla de Helgoland , que carecía de vegetación floreciente. Allí, sus ideas sobre una nueva teoría cuántica tomaron su forma definitiva [2] . En una carta del 21 de junio a Pauli, escribe la energía del oscilador armónico cuántico, y en una carta del 24 de junio analiza el oscilador anarmónico con más detalle, que luego aparece en su artículo [15] . El 29 de junio se convenció de la exactitud de su resultado, y diez días después terminó de escribir el manuscrito y envió el artículo a Pauli, pidiéndole su opinión [16] .

Calificaciones

Van der Waerden destaca los siguientes resultados principales del artículo de Heisenberg:

la mecánica clásica pierde su aplicabilidad a escalas atómicas;
la mecánica clásica debe ser el caso límite de la teoría cuántica para grandes números cuánticos, de acuerdo con el principio de correspondencia;
un método exitoso para vincular la teoría cuántica y la clásica debe considerarse el reemplazo de diferenciales en expresiones clásicas por diferencias finitas en el caso cuántico;
Heisenberg vio el problema principal de comprender la mecánica en dimensiones atómicas no en la desviación de las leyes clásicas, sino en la inaceptabilidad de la descripción cinemática del movimiento como tal [17] ;
rechazo de la interpretación clásica de la coordenada x en la ecuación de movimiento [18] ;
uso de cantidades de transición en lugar de coordenadas perdidas [19 ]
encontrar la relación de las cantidades de transición con las intensidades observadas de las líneas espectrales [20] ;
la formulación de la mecánica cuántica exclusivamente en términos de cantidades observables [21] ;
formulación de las reglas para la multiplicación de observables cuánticos, que luego fueron interpretadas en forma de reglas para el producto de matrices [22] ;
formulación de reglas de cuantificación;
la existencia del estado fundamental de un sistema cuántico [23] .

El resultado obtenido por Heisenberg para la energía de un oscilador armónico contenía la energía de las oscilaciones de punto cero, que fueron descubiertas por R. Milliken seis meses antes de la publicación de su artículo [24] . La inconsistencia de la teoría de Bohr con trayectorias clásicas imaginarias [24] resultó ser inconsistente con el principio de combinación de Ritz, como lo muestra Heisenberg [25] . El artículo sentó las bases de la mecánica de matrices , desarrollada posteriormente por M. Born y Pascual Jordan . Cuando M. Born leyó el artículo, se dio cuenta de que la formulación de Heisenberg podía reescribirse en el riguroso lenguaje matemático de las matrices. M. Born, con la ayuda de su asistente y ex alumno P. Jordan , lo reescribió inmediatamente en una nueva forma y envió sus resultados para su publicación. M. Born formuló las condiciones cuánticas de Heisenberg en la forma moderna de la relación de incertidumbre donde 1 es la matriz identidad [26] . M. Born llamó a Heisenberg "un ignorante talentoso" debido a su ignorancia del aparato matemático de matrices, pero la capacidad de redescubrirlo [25] . Su manuscrito fue recibido para su publicación sólo 60 días después del artículo de Heisenberg [27] . Un artículo de seguimiento de los tres autores, que amplía la mecánica de matrices a varias dimensiones, se envió para su publicación antes de fin de año [28] . ${\textbf {pq}}-{\textbf {qp}}={\frac {h}{2\pi i}}{\textbf {1}}\,,$

A pesar de la contribución fundamental a la creación de la teoría cuántica moderna, el artículo de Heisenberg es difícil de entender: por ejemplo, S. Weinberg dijo que no podía entender la motivación de algunas de las transiciones matemáticas del autor [8] . E. Fermi tampoco pudo ocuparse de la mecánica cuántica basándose en el trabajo de Heisenberg y la estudió sobre la base de la teoría de E. Schrödinger [29] . N. Bohr apreció mucho la conexión matemática formalizada entre los resultados de Heisenberg y el principio de correspondencia [30] .

Notas

↑ Milantiev, 2009 , pág. 147.
↑ 12 van der Waerden, 1968 , pág. 25
↑ Mehra, Rechenberg, 1982 , pág. 363.
↑ Kuhn, Thomas S. Werner Heisenberg - Sesión VII . https://www.aip.org/ . Instituto Americano de Física (22 de febrero de 1963). Consultado el 25 de mayo de 2022. Archivado desde el original el 27 de julio de 2021.
↑ van der Waerden, 1968 , pág. 36.
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↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Aitchison, Ian JR; MacManus, David A.; Snyder, Thomas M. Comprender el artículo "mágico" de Heisenberg de julio de 1925: una nueva mirada a los detalles de cálculo // American Journal of Physics. - 2004. - T. 72 . - S. 1370 . -doi : 10.1119/ 1.1775243 . — arXiv : 0404009 .
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↑ Razavy, 2011 , pág. 39.
↑ 1 2 Razavy, 2011 , pág. 40
↑ 1 2 Razavy, 2011 , pág. 41.
↑ van der Waerden, 1968 , pág. 23
↑ 12 van der Waerden, 1968 , pág. 24
↑ van der Waerden, 1968 , pág. 25-27.
↑ van der Waerden, 1968 , pág. 27
↑ van der Waerden, 1968 , pág. 28
↑ van der Waerden, 1968 , pág. 29
↑ van der Waerden, 1968 , pág. treinta.
↑ van der Waerden, 1968 , pág. 30-32.
↑ van der Waerden, 1968 , pág. 33-34.
↑ van der Waerden, 1968 , pág. 34.
↑ van der Waerden, 1968 , pág. 35.
↑ 1 2 Milantiev, 2009 , pág. 148.
↑ 1 2 Milantiev, 2009 , pág. 150.
↑ van der Waerden, 1968 , pág. 37.
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↑ Milantiev, 2009 , pág. 153.
↑ Milantiev, 2009 , pág. 154.

Literatura

Razavy, Mohsen. La Mecánica Cuántica de Heisenberg. - World Scientific Publishing Company, 2011. - 680 p. — ISBN 9814304107 .
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Mehra, Jagish. La formulación de la mecánica de matrices y sus modificaciones 1925-1926 / Jagdish Mehra, Helmut Rechenberg. - Springer, 1982. - ISBN 0-387-90675-4 .

Enlaces

Traducción al ruso: W. Heisenberg. Sobre la interpretación teórica cuántica de las relaciones cinemáticas y mecánicas // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Academia Rusa de Ciencias , 1977. - T. 122 , no. 8 _ - S. 574-586 . (Ruso)