La invención en dos partes ( latín inventio - invención, ficción) de Lewis Carroll (otro nombre es What the Tortoise Said to Achilles ) es una paradoja lógica en forma de diálogo descrita por Carroll en 1895 .
La disputa lógica comienza cuando Aquiles alcanza a la tortuga y se sienta sobre su espalda. Reptile le ofreció al guerrero otra competencia, una lógica: "la mayoría de la gente cree erróneamente que en esta competencia están a solo dos o tres pasos de la línea de meta". La tortuga entonces ofrece tres proposiciones:
Por lo tanto, si alguien reconoce los juicios correctos A y B, se verá obligado a decir que C también es verdadero. Pero bien puede haber otro lector que considere que la proposición C es verdadera solo si A y B son verdaderas. B son verdaderos, luego C verdaderos” y, como resultado, ¿no creer en la fidelidad de B? La tortuga invita a Aquiles a que la tome por tal lectora y convenza a V.
La tortuga acepta el juicio D, pero se niega a aceptar como verdadero C. Entonces Aquiles introduce el juicio E: "si A, B y D son verdaderos, entonces C es verdadero", y el testarudo animal está de acuerdo en que esto es verdadero, pero sigue sin hacerlo. No se reconoce la fidelidad de C. Aparece la nueva proposición condicional E (“Si A, B, D y E son verdaderas, entonces C debe ser verdadera”).
Además, el narrador se ve "obligado a dejar el negocio en el banco", pero cuando vuelve a visitar a los héroes, descubre que el número de juicios ha superado los mil, y el griego finalmente se da por vencido.
Si observa todos los juicios escritos por Aquiles en un cuaderno bajo el dictado de una tortuga, resulta que todas las declaraciones, excepto A y B, pertenecen a un metalenguaje que establece si los juicios del lenguaje objetivo (A y B) son verdaderas o falsas. Pero estas declaraciones no pueden completar la cadena, y todos los intentos de Aquiles son en vano.
De hecho, fue suficiente detenerse en la declaración D y luego obtener C de A, B y D aplicando Modus ponens dos veces . Pero a juzgar por el comportamiento de la tortuga, no reconoce el propio Modus ponens, que es la regla de inferencia. Y dado que la tortuga no reconoce las reglas de inferencia, generalmente es imposible convencerla de nada.
De hecho, Turtle propone a Aquiles probar la verdad del procedimiento de inferencia mediante la propia teoría lógica, es decir, repetir la hazaña de Munchausen y salir del pantano por los pelos. Naturalmente, dentro del marco de los axiomas dados -las reglas de inferencia-, Aquiles no puede hacer esto sin entrar en la metateoría. El segundo teorema de incompletitud de Gödel dice más o menos lo mismo .
En el § 38 de sus Principios de las matemáticas, Bertrand Russell analiza brevemente esta paradoja.
El título hace referencia a la paradoja de Zenón , en la que Aquiles es incapaz de alcanzar a la tortuga en el camino. En esta historia, el reptil vuelve a ganar, pero con el poder de la mente lógica.