Parametrización de Feynman

La parametrización de Feynman es un método para evaluar integrales de bucle cerrado que surgen de diagramas de Feynman con uno o más ciclos. Sin embargo, en ocasiones resulta útil a la hora de integrarse en el campo de las matemáticas puras .

Fórmulas

Richard Feynman observó que:

{\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right]^{2}}}

además, la fórmula es válida para cualquier número complejo A y B, si el 0 no está contenido en el segmento de línea que conecta A y B. La fórmula ayuda a evaluar integrales, como:

\int {\frac {dp}{A(p)B(p)}}=\int dp\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA(p) +(1-u)B(p)\right]^{2}}}=\int _{0}^{1}du\int {\frac {dp}{\left[uA(p)+(1 -u)B(p)\derecha]^{2}}}.

Si A (p) y B (p) son funciones lineales de p , entonces la última integral se puede evaluar por sustitución.

Más generalmente, usando la función delta de Dirac : [1] ${\ estilo de visualización \ delta}$

{\begin{alineado}{\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}&=(n-1)!\int_{0}^{1}du_{1} \cdots \int _{0}^{1}du_{n}{\frac {\delta (1-\sum _{k=1}^{n}u_{k})\;}{\left(\ suma_{k=1}^{n}u_{k}A_{k}\right)^{n}}}\\&=(n-1)!\int_{0}^{1}du_{ 1}\int _{0}^{u_{1}}du_{2}\cdots \int _{0}^{u_{n-2}}du_{n-1}{\frac {1}{\ izquierda[A_{1}+u_{1}(A_{2}-A_{1})+\puntos +u_{n-1}(A_{n}-A_{n-1})\derecha]^{ n}}}.\end{alineado}}

Esta fórmula es válida para cualquier número complejo A 1 ,. , ., A n si 0 no está contenido en su envoltura convexa .

Incluso de manera más general, siempre que para todos : ${\text{Re}}(\alpha _{j})>0$ ${\ estilo de visualización 1 \ leq j \ leq n}$

{\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}\cdots A_{n}^{\alpha _{n))))={\frac {\Gamma (\alpha _ {1}+\dots +\alpha_{n})}{\Gamma (\alpha_{1})\cdots \Gamma (\alpha_{n))}}\int_{0}^{1 }du_{1}\cdots \int _{0}^{1}du_{n}{\frac {\delta (1-\sum _{k=1}^{n}u_{k})\;u_ {1}^{\alpha _{1}-1}\cdots u_{n}^{\alpha _{n}-1}}{\left(\sum _{k=1}^{n}u_{ k}A_{k}\right)^{\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k))))

donde está la función gamma . [2] ${\ estilo de visualización \ gamma}$

Conclusión

{\frac {1}{AB}}={\frac {1}{AB}}\left({\frac {1}{B}}-{\frac {1}{A}}\right )={\frac {1}{AB}}\int _{B}^{A}{\frac {dz}{z^{2}}}.

Ahora simplemente transforme linealmente la integral usando sustitución,

{\ estilo de visualización u = (zB)/(AB)}

, lo que conduce a

du=dz/(AB)

dónde

{\ estilo de visualización z = uA + (1-u) B}

y obtenemos el resultado deseado:

{\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right]^{2}}} .

En casos más generales, la derivación se puede hacer de manera muy eficiente utilizando la parametrización de Schwinger . Por ejemplo, para derivar la forma parametrizada de Feynman Primero, reexpresamos todos los factores en el denominador en su forma parametrizada de Schwinger: ${\displaystyle {\frac{1}{A_{1}...A_{n))))$

{\frac {1}{A_{i}}}=\int_{0}^{\infty}ds_{i}\,e^{-s_{i}A_{i}}\ \ { \text{para}}i=1,\ldots,n

y escribe

{\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n))}=\int _{0}^{\infty}ds_{1}\cdots \int_{0}^{\infty }ds_{n}\exp \left(-\left(s_{1}A_{1}+\cdots +s_{n}A_{n}\right)\right).

Luego realizamos la siguiente modificación de las variables de integración,

\alpha =s_{1}+...+s_{n},

\alpha _{i}={\frac {s_{i}}{s_{1}+\cdots +s_{n}}};\ i=1,\ldots,n-1,

Para obtener,

{\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n))}=\int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots d\alpha _{n-1 }\int _{0}^{\infty}d\alpha \ \alpha ^{N-1}\exp \left(-\alpha \left\{\alpha _{1}A_{1}+\cdots + \alpha _{n-1}A_{n-1}+\left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\right)A_{n}\right\}\ Correcto).

donde denota el área de integración con , ${\displaystyle \int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots d\alpha _{n-1))$ ${\ estilo de visualización 0 \ leq \ alfa _ {i} \ leq 1}$ ${\ estilo de visualización \ suma _ {i = 1} ^ {n-1} \ alfa _ {i} \ leq 1}$

El siguiente paso es realizar la integración sobre . $\alfa$

\int _{0}^{\infty}d\alpha \ \alpha ^{n-1}\exp(-\alpha x)={\frac {\parcial ^{n-1}}{\ parcial (-x)^{n-1))}\left(\int _{0}^{\infty }d\alpha \exp(-\alpha x)\right)={\frac {\left(n -1\derecha)!}{x^{n}}}.

donde definimos $x=\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n-1}A_{n-1}+\left(1-\alpha _{1}-\cdots -\ alfa _{n-1}\right)A_{n}.$

Sustituyendo este resultado, obtenemos la penúltima forma,

{\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n))}=\left(n-1\right)!\int _{0}^{1}d\alpha _{1} \cdots d\alpha _{n-1}{\frac {1}{[\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n-1}A_{n-1}+\left (1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\right)A_{n}]^{n}}},

y después de introducir una integral adicional, llegamos a la forma final de la parametrización de Feynman, a saber:

{\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n))}=\left(n-1\right)!\int _{0}^{1}d\alpha _{1} \cdots \int _{0}^{1}d\alpha _{n}{\frac {\delta \left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n}\right)} {[\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n}A_{n}]^{n}}}.

De manera similar, para derivar la forma de la parametrización de Feynman del caso más general: uno puede comenzar con otra forma adecuada de la parametrización de Schwinger en el denominador, a saber: ${\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1)...A_{n}^{\alpha _{n})))$

{\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1))))={\frac {1}{\left(\alpha _{1}-1\right)!)} \int _{0}^{\infty}ds_{1}\,s_{1}^{\alpha _{1}-1}e^{-s_{1}A_{1))={\frac { 1}{\Gamma (\alpha _{1})}}{\frac {\parcial ^{\alpha _{1}-1}}{\parcial (-A_{1})^{\alpha _{1 }-1}}}\left(\int_{0}^{\infty}ds_{1}e^{-s_{1}A_{1}}\right)

y luego proceder exactamente de acuerdo al caso anterior.

Forma alternativa

Una forma alternativa de parametrización que a veces es útil es

{\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {d\lambda }{\left[\lambda A+B\right]^{2}} }.

Esta forma se puede obtener con un cambio de variables Podemos usar la regla del producto para demostrar que , entonces ${\ estilo de visualización \ lambda = u/(1-u)}$ $d\lambda =du/(1-u)^{2}$

{\begin{alineado}{\frac {1}{AB}}&=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right ]^{2}}}\\&=\int _{0}^{1}{\frac {du}{(1-u)^{2}}}{\frac {1}{\left[{ \frac {u}{1-u}}A+B\right]^{2}}}\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {d\lambda }{\left[ \lambda A+B\right]^{2}}}\\\end{alineado}}

De manera más general, tenemos

{\frac {1}{A^{m}B^{n))}={\frac {\Gamma (m+n)}{\Gamma (m)\Gamma (n)))\int _ {0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{m-1}d\lambda }{\left[\lambda A+B\right]^{n+m))},

donde está la función gamma . ${\ estilo de visualización \ gamma}$

Esta forma puede ser útil cuando se combina un denominador lineal con un denominador cuadrático , como en la teoría efectiva de los quarks pesados (HQET). $A$ $B$

Forma simétrica

A veces se usa una forma simétrica de parametrización, donde en su lugar se realiza la integral de intervalo , lo que da como resultado: ${\ estilo de visualización [-1,1]}$

{\frac {1}{AB}}=2\int _{-1}^{1}{\frac {du}{\left[(1+u)A+(1-u)B\right ]^{2}}}.

Notas

↑ . - ISBN 978-0-521-67053-1 .
↑ Kristjan Kannike. Notas sobre la Parametrización de Feynman y la Función Delta de Dirac . Fecha de acceso: 24 de julio de 2011. Archivado desde el original el 29 de julio de 2007. (indefinido)

ricardo feynman
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Obras	Mucho espacio abajo ( 1959) "Las conferencias Feynman sobre física " (1964) " La naturaleza de las leyes físicas " (1965) " QED es una extraña teoría de la luz y la materia " (1985) “¡ Por supuesto que está bromeando, Sr. Feynman! » (1985) “ ¿Qué te importa lo que piensen los demás? » (1988) " La conferencia perdida de Feynman " (1997) " El significado de todo " (1999) " El placer de descubrir cosas " (1999) " Desviaciones perfectamente razonables del camino trillado " (2005)
Otro	Culto de carga científica " Quantum Man: La vida en la ciencia de Richard Feynman " (2011) Tuva o busto! Premio Feynman de Nanotecnología " Infinito " (película, 1996) " QED " (obra de teatro, 2001) " Challenger " (película, 2013)