Especificación de superficie paramétrica

La clase de superficies paramétricas tridimensionales está definida por una función que depende de los parámetros y mapea un conjunto conectado del espacio n-dimensional al espacio tridimensional de tal manera que este mapeo es una superficie . Esta función especifica una clase de superficie y un conjunto de parámetros especifica una superficie específica de esta clase. ${\displaystyle F(t_{1},\ldots,t_{k}):\mathbb {M} \to \mathbb {R} ^{3))$ $k$ ${\ matemáticas {M}}$ $F$ $k$

El caso más práctico es cuando el conjunto es un cuadrado unitario en un espacio bidimensional. En este caso, la superficie paramétrica se puede describir de la siguiente manera: ${\ matemáticas {M}}$

{\ estilo de visualización (x, y, z) = F (u, v)}

o , donde

\left\{{\begin{matriz}{ccc}x&=&X(u,v)\\y&=&Y(u,v)\\z&=&Z(u,v)\end{matriz)) \Correcto.

{\ estilo de visualización (u, v) \ en [0,1] ^ {2))

Las superficies paramétricas se utilizan ampliamente en geometría aplicada y gráficos por computadora para representar superficies complejas. La parametrización hace que tales superficies sean convenientes para el procesamiento y la visualización .

Ejemplos

Plano Un punto y una base de dos vectores no colineales en un espacio tridimensional define un plano y un mapeo sobre él de un sistema de coordenadas cartesianas bidimensional . Esto determina la -parametrización del plano ( y son parámetros): ${\vec{O}}$ ${\vec{l}}_{1},{\vec{l}}_{2}$ $ultravioleta$ $tu$ $v$ $(x,y)={\vec {O}}+u{\vec {l}}_{1}+v{\vec {l}}_{2}$

N-ágono plano. En general, se puede introducir una parametrización en un N-gon utilizando el sistema de coordenadas baricéntrico .

Triángulo Este caso especial más importante del N-ágono merece una atención especial. La forma más común de parametrizar un triángulo es mapear un triángulo desde el espacio sobre él linealmente. $ultravioleta$

Esfera Para parametrizar una esfera, lo más conveniente es utilizar el sistema de coordenadas del mismo nombre :
$\left\{{\begin{array}{ccc}x&=&\rho \cos \varphi \cos \theta \\y&=&\rho \cos \varphi \sin \theta \\z&=&\ rho \sin \varphi \end{array}}\right.,\quad \varphi \in \left[-{\frac {\pi }{2)),{\frac {\pi }{2}}\right ],\;\theta \en [0,2\pi )$ .

Superficie lateral de un cilindro circular infinito . Es bastante natural utilizar un sistema de coordenadas cilíndricas : $\left\{{\begin{array}{ccc}x&=&\rho \cos \varphi \\y&=&\rho \sin \varphi \\z&=&z\end{array}}\right. ,\quad \varphi \in [0,2\pi ),z\in (-\infty ,+\infty )$ .

Cuadrilátero de interpolación bilineal . Un conjunto ordenado de 4 puntos en el espacio define una superficie de interpolación bilineal y mapea un cuadrado sobre ella : ${\displaystyle P_{1},\ldots,P_{4))$ ${\ estilo de visualización u, v \ en [0,1]}$

(x,y)=P_{1}uv+P_{2}(1-u)v+P_{3}u(1-v)+P_{4}(1-u)(1-v )

Esta superficie es lisa , sin embargo, la imposibilidad de trazar tangentes arbitrarias en su límite la hace prácticamente inaplicable como parches .

Superficie de Bézier . En la práctica, se utilizan principalmente dos tipos de superficies de Bezier: tercer orden bicúbico , un cuadrilátero definido por 16 puntos, y tercer orden baricéntrico , un triángulo definido por 10 puntos. El sistema de coordenadas baricéntrico en un triángulo contiene 3 números, por lo que no siempre es conveniente.

El límite de una superficie Bezier se compone de curvas Bezier . Los puntos que definen la superficie también definen las curvas de sus límites, incluidas las normales sobre ellos. Esto le permite crear superficies compuestas suaves , es decir, usar superficies Bezier como parches . Una superficie Bezier racional es diferente en que a cada punto en su definición se le asigna un cierto "peso", que determina el grado de su influencia en la forma de la superficie.

Superficie B-spline . En la práctica, comúnmente se aplican superficies bicúbicas B-spline . Al igual que las superficies de Bézier , están definidas por 16 puntos, sin embargo, en general, no pasan por estos puntos. Sin embargo, las B-splines son convenientes para usar como parches, ya que encajan bien entre sí cuando se usa una cuadrícula de vértices común, y los vértices mismos le permiten establecer explícitamente normales y tangentes en los límites del parche.

Si se requiere un control más flexible de la forma de la superficie, se utilizan B-splines racionales, B-splines no homogéneos , así como una versión combinada: B-splines no homogéneos racionales (NURBS).

Propiedades

deja _ Después: ${\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}={\begin{vmatriz}X'_{u}&X'_{v}\\Y'_{u} &Y'_{v}\end{vmatriz)),\quad {\frac {D(y,z)}{D(u,v)))={\begin{vmatriz}Y'_{u}&Y' _ {v}\\Z'_{u}&Z'_{v}\end{vmatriz)),\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)))={\ comenzar{vmatriz}Z'_{u}&Z'_{v}\\X'_{u}&X'_{v}\end{vmatriz}}$

La normal en un punto de la superficie está dada por:

{\frac {\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v))));\,{\frac {D(z,x)}{D(u, v ))));\,{\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)}{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)} {D (u,v)}}\derecha)^{2}+\izquierda({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\derecha)^{2}+\izquierda ({ \frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right)^{2}}}}

El plano tangente en un punto dado se puede describir mediante la ecuación:

{\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}_{u_{0},v_{0}}(x-x_{0})+{\frac {D( z,x)}{D(u,v)}}_{u_{0},v_{0}}(y-y_{0})+{\frac {D(x,y)}{D(u ,v)}}_{u_{0},v_{0}}(z-z_{0})=0

El área de una superficie definida paramétricamente se calcula mediante las fórmulas:

\iint \,{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D (y,z)}{D(u,v)}}\derecha)^{2}+\izquierda({\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\derecha)^ {2}}}\;\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v

\iint \,\left|[{\dot {r}}_{u}\times {\dot {r}}_{v}]\right|\;\mathrm {d} \,u\ ;\mathrm {d} \,v

, dónde

{\dot {r}}_{u}=\left({\frac {\parcial x}{\parcial u)),\,{\frac {\parcial y}{\parcial u)), \,{\frac {\parcial z}{\parcial u}}\right),\quad {\dot {r}}_{v}=\left({\frac {\parcial x}{\parcial v} },\,{\frac {\parcial y}{\parcial v)),\,{\frac {\parcial z}{\parcial v))\right)

Literatura

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Geometría analítica. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 240 p.
Kudryavtsev L. D. Curso de Análisis Matemático. - M. : Avutarda. — 570 págs.
Rogers D., Adams J. Fundamentos matemáticos de gráficos por computadora. - M .: Mir, 2001. - ISBN 5-03-002143-4 .