Curva de Bézier

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Las curvas de Bezier son tipos de curvas propuestas en los años 60 del siglo XX de forma independiente por Pierre Bezier de la empresa de automóviles Renault y Paul de Casteljo de la empresa Citroen , donde se utilizaron para diseñar carrocerías.

Aunque el descubrimiento de de Casteljou se realizó algo antes que el de Bézier (1959), su investigación no fue publicada y mantenida en secreto por la empresa hasta finales de la década de 1960.

La curva de Bézier es un caso especial de los polinomios de Bernstein , descritos por el matemático ruso Sergei Natanovich Bernstein en 1912.

Las curvas fueron presentadas por primera vez al público en general en 1962 por el ingeniero francés Pierre Bézier , quien, habiéndolas desarrollado independientemente de Casteljot, las usó para el diseño asistido por computadora de carrocerías de automóviles . Las curvas recibieron el nombre de Béziers, y el método recursivo que desarrolló para definir curvas ( algoritmo de de Casteljo) recibió el nombre de de Casteljo .

Posteriormente, este descubrimiento se convirtió en una de las herramientas más importantes de los sistemas de diseño asistido por computadora y los programas de gráficos por computadora .

Definición

Deje que la secuencia de puntos de control , dónde y para , se dé en el espacio de dimensión sobre . $\mathbb{R} ^{m}$ ${\ estilo de visualización m \ geqslant 1}$ $\matemáticas {R}$ ${\ estilo de visualización (\ mathbf {P} _ {0}, \ ldots, \ mathbf {P} _ {n})}$ ${\ Displaystyle n \ geqslant 0}$ $\mathbf {P} _{k}=(x_{1,k},\ldots,x_{m,k})$ $k=0,\ldots,n$

Entonces el conjunto de puntos con coordenadas , dado paramétricamente por expresiones ${\displaystyle \left\{\mathbf {B} (t)|0\leqslant t\leqslant 1\right\))$ $\mathbf {B} (t)=(z_{1}(t),\ldots,z_{m}(t))$ ${\displaystyle (z_{j}(t))_{j=1,\ldots,m))$

z_{j}(t)=\sum_k=0}^{n}x_{j,k}b_{k,n}(t)\quad

para donde un para ,

\quad 0\leqslant t\leqslant 1,\quad

\quad j=1,\ldots,m,\quad

\quad b_{k,n}(t)={n \elegir k}t^{k}(1-t)^{nk}\quad

{\ estilo de visualización \ quad k = 0, \ ldots, n}

llamada curva de Bezier .

Un polinomio de grado con respecto a un parámetro se denomina función base (correspondiente al punto de control ) de una curva de Bézier, o polinomio de Bernstein . ${\ Displaystyle b_ {k, n} (t)}$ $norte$ $t$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {P} _ {k}}$

Aquí está el número de combinaciones de a . ${n \elegir k}={\frac {n!}{k!(nk)!}}$ $norte$ $k$

Notas

La curva de Bezier correspondiente a ambos y es el punto . ${\ estilo de visualización (\ mathbf {P} _ {0})}$ $(\mathbf {P}_{0},\mathbf {P}_{0},\ldots,\mathbf {P}_{0})$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {P} _ {0}}$
La curva de Bezier correspondiente al par , es decir, en , es un segmento parametrizado (linealmente) que conecta el punto (en ) con el punto (en ). ${\ estilo de visualización (\ mathbf {P} _ {0}, \ mathbf {P} _ {1})}$ $n=1$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {P} _ {0}}$ $t=0$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {P} _ {1}}$ $t=1$
En cualquier orden , la curva de Bezier contiene un punto (esta es la imagen del parámetro ) y un punto (esta es la imagen del parámetro ). ${\ Displaystyle n \ geqslant 0}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {P} _ {0}}$ $t = 0$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {P} _ {n}}$ $t=1$
Una curva de Bézier (en el caso general, es decir, si no ha degenerado en un punto ) es orientable, ya que es la imagen de un segmento orientado . Las secuencias de puntos de control corresponden a las curvas de Bezier, que coinciden como conjuntos de puntos, pero tienen (generalmente) orientaciones opuestas. ${\ estilo de visualización \ mathbf {P} _ {0}}$ $[0;1]$ $(\mathbf {P}_{0},\mathbf {P}_{1},\ldots,\mathbf {P}_{n-1},\mathbf {P}_{n})$ $(\mathbf {P}_{n},\mathbf {P}_{n-1},\ldots,\mathbf {P}_{1},\mathbf {P}_{0})$
Las curvas de Bezier correspondientes a las secuencias de puntos de control y no coinciden en . ${\ estilo de visualización (\ mathbf {P} _ {0}, \ mathbf {P} _ {1}, \ mathbf {P} _ {2})}$ ${\ estilo de visualización (\ mathbf {P} _ {0}, \ mathbf {P} _ {2}, \ mathbf {P} _ {1})}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {P} _ {1} \ neq \ mathbf {P} _ {2}}$
Si cambias , solo entonces . $(x_{j,0},\ldots,x_{j,n})$ ${\ estilo de visualización z_ {j} (t)}$

Tipos de curvas de Bezier

Curvas lineales

Cuando n = 1, la curva es un segmento de línea recta, los puntos de referencia P 0 y P 1 determinan su comienzo y final. La curva está dada por la ecuación:

{\mathbf {B}}(t)=(1-t){\mathbf {P}}_{0}+t{\mathbf {P}}_{1}\quad t\in [0,1]

Curvas cuadráticas

Una curva de Bezier cuadrática (n = 2) está definida por tres puntos de anclaje: P 0 , P 1 y P 2 .

{\mathbf {B}}(t)=(1-t)^{{2}}{\mathbf {P}}_{0}+2t(1-t){\mathbf {P}}_{1 }+t^{{2}}{\mathbf {P}}_{2},\quad t\en [0,1]

Las curvas Bézier cuadráticas en splines se utilizan para describir la forma de los caracteres en fuentes TrueType y archivos SWF .

t={\frac {{\mathbf {P}}_{0}-{\mathbf {P}}_{1}\pm {\sqrt {({\mathbf {P}}_{0}-2{ \mathbf {P}}_{1}+{\mathbf {P}}_{2}){\mathbf {B}}+{\mathbf {P}}_{1}^{2}-{\mathbf {P}}_{0}{\mathbf {P}}_{2}}}}{{\mathbf {P}}_{0}-2{\mathbf {P}}_{1}+{\ mathbf {P}}_{2}}},\quad {\mathbf {P}}_{0}-2{\mathbf {P}}_{1}+{\mathbf {P}}_{2} \neq 0

t={\frac {{\mathbf {B}}-{\mathbf {P}}_{0}}{2({\mathbf {P}}_{1}-{\mathbf {P}}_{ 0})}},\quad {\mathbf {P}}_{0}-2{\mathbf {P}}_{1}+{\mathbf {P}}_{2}=0,\quad { \mathbf {P}}_{0}\neq {\mathbf {P}}_{1}

t={\sqrt {{\frac ({\mathbf {B}}-{\mathbf {P}}_{0}}{{\mathbf {P}}_{2}-{\mathbf {P}} _ {1}}}}},\quad {\mathbf {P}}_{0}={\mathbf {P}}_{1}\neq {\mathbf {P}}_{2}

Curvas cúbicas

En forma paramétrica, una curva Bezier cúbica (n = 3) se describe mediante la siguiente ecuación:

{\mathbf {B}}(t)=(1-t)^{3}{\mathbf {P}}_{0}+3t(1-t)^{2}{\mathbf {P}}_ {1}+3t^{2}(1-t){\mathbf {P}}_{2}+t^{3}{\mathbf {P}}_{3},\quad t\in [0 ,una]

Cuatro puntos de referencia P 0 , P 1 , P 2 y P 3 dados en un espacio bidimensional o tridimensional determinan la forma de la curva.

La línea parte del punto P 0 , en dirección a P 1 y termina en el punto P 3 , acercándose a él por el lado P 2 . Es decir, la curva no pasa por los puntos P 1 y P 2 , se utilizan para indicar su dirección. La longitud del segmento entre P 0 y P 1 determina qué tan pronto la curva se convertirá en P 3 .

En forma matricial, una curva de Bézier cúbica se escribe de la siguiente manera:

{\mathbf {B}}(t)={\begin{bmatriz}t^{3}&t^{2}&t&1\end{bmatriz}}{\mathbf {M}}_{B}{\begin{bmatriz }{\mathbf {P}}_{0}\\{\mathbf {P}}_{1}\\{\mathbf {P}}_{2}\\{\mathbf {P}}_{3 }\end{bmatriz}}

donde se llama la matriz básica de Bezier: ${\mathbf {M}}_{B}$

{\mathbf {M}}_{B}={\begin{bmatrix}-1&3&-3&1\\3&-6&3&0\\-3&3&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}

Los sistemas y formatos de gráficos modernos como PostScript (así como Adobe Illustrator y los formatos de formato de documento portátil (PDF) basados en él ), Gráficos vectoriales escalables (SVG) [1] , Metafont , CorelDraw y GIMP utilizan splines de Bezier para representar curvas formas. , compuesto por curvas cúbicas.

Construcción de curvas Bezier

Curvas lineales

El parámetro t en la función que describe el caso lineal de la curva de Bezier determina exactamente dónde se ubica B ( t ) en la distancia de P 0 a P 1 . Por ejemplo, en t = 0,25, el valor de la función B ( t ) corresponde a un cuarto de la distancia entre los puntos P 0 y P 1 . El parámetro t cambia de 0 a 1, y B ( t ) describe un segmento de línea entre los puntos P 0 y P 1 .

Curvas cuadráticas

Para construir curvas de Bézier cuadráticas, se requiere seleccionar dos puntos intermedios Q 0 y Q 1 a partir de la condición de que el parámetro t varíe de 0 a 1:

El punto Q 0 cambia de P 0 a P 1 y describe una curva de Bezier lineal.
El punto Q 1 cambia de P 1 a P 2 y también describe una curva de Bezier lineal.
El punto B cambia de Q 0 a Q 1 y describe una curva Bezier cuadrática.

Curvas de grados superiores

Para construir curvas de órdenes superiores, en consecuencia, se requieren más puntos intermedios. Para una curva cúbica, estos son los puntos intermedios Q 0 , Q 1 y Q 2 que describen curvas lineales, así como los puntos R 0 y R 1 que describen curvas cuadráticas: una ecuación más simple . ${\frac {P_{0}Q_{0}}{P_{0}P_{1}}}={\frac {Q_{1}P_{1}}{P_{1}P_{2} }}={\frac{BR_{0}}{R_{1}R_{0}}}$

Para curvas de cuarto grado, serán los puntos Q 0 , Q 1 , Q 2 y Q 3 que describen curvas lineales, R 0 , R 1 y R 2 que describen curvas cuadráticas, así como los puntos S 0 y S 1 que describen curvas cúbicas . Curvas de Bézier:

Propiedades de la curva de Bezier

continuidad del llenado de segmentos entre los puntos inicial y final;
la curva siempre se ubica dentro de la figura formada por las líneas que conectan los puntos de control;
con solo dos puntos de control, el segmento es una línea recta;
una línea recta está formada por la colocación colineal (en una línea recta) de puntos de control;
la curva de Bezier es simétrica, es decir, el intercambio de lugares entre los puntos inicial y final (cambiando la dirección de la trayectoria) no afecta la forma de la curva;
escalar y cambiar las proporciones de la curva de Bezier no viola su estabilidad, ya que desde un punto de vista matemático es " afínmente invariante";
cambiar las coordenadas de al menos uno de los puntos conduce a un cambio en la forma de toda la curva de Bezier;
cualquier segmento parcial de una curva de Bezier también es una curva de Bezier;
el grado (orden) de la curva es siempre un paso menos que el número de puntos de control. Por ejemplo, con tres puntos de control, la forma de la curva es parábola , ya que una parábola es una curva de segundo orden;
un círculo no puede describirse mediante una ecuación de curva de Bezier paramétrica;
es imposible crear curvas Bezier paralelas, excepto en casos triviales (líneas rectas y curvas coincidentes), aunque existen algoritmos que construyen una curva Bezier paralela aproximada con una precisión aceptable para la práctica.

Aplicaciones en infografía

Debido a la facilidad de configuración y manipulación, las curvas de Bezier han encontrado una amplia aplicación en gráficos por computadora para modelar líneas suaves. La curva se encuentra completamente dentro del casco convexo de sus puntos de referencia. Esta propiedad de las curvas de Bezier, por un lado, simplifica enormemente la tarea de encontrar los puntos de intersección de las curvas (si los cascos convexos de los puntos de anclaje no se cruzan, entonces las curvas mismas no se cruzan), y por otro lado , permite el control intuitivo de los parámetros de la curva en la interfaz gráfica utilizando sus puntos de anclaje . . Además, también se pueden realizar transformaciones de curvas afines ( traslación , escalado , rotación , etc.) aplicando las transformaciones adecuadas a los puntos de anclaje.

Las más importantes son las curvas de Bézier de segundo y tercer grado (cuadráticas y cúbicas). Las curvas de mayor grado durante el procesamiento requieren más cálculos y se usan con menos frecuencia con fines prácticos. Para construir líneas con formas complejas, las curvas Bezier individuales se pueden conectar secuencialmente entre sí en una spline Bezier . Para garantizar una línea suave en la unión de dos curvas, tres puntos de anclaje adyacentes de ambas curvas deben estar en la misma línea recta. En los programas de gráficos vectoriales , como Adobe Illustrator o Inkscape , dichos fragmentos se conocen como "paths" ( ruta ), y en 3DS Max y programas de modelado 3D similares , las curvas de Bezier se denominan "splines".

Conversión de curvas de Bézier cuadráticas a cúbicas

Una curva Bézier cuadrática con coordenadas se convierte en una curva Bézier cúbica con coordenadas . $(x_{0};y_{0}),\,(x_{1};y_{1}),\,(x_{2};y_{2})$ $(x_{0};y_{0}),\,\left(x_{0}+{\frac {2\cdot (x_{1}-x_{0})}{3));y_{0} +{\frac {2\cdot (y_{1}-y_{0})}{3}}\derecha),\,\izquierda(x_{1}+{\frac {x_{2}-x_{1 }}{3}};y_{1}+{\frac{y_{2}-y_{1}}{3}}\derecha),\,(x_{2};y_{2})$

Frecuencia de muestreo de las curvas de Bezier [2]

La tasa de muestreo se define de la siguiente manera:

$|B_{siguiente}-B_{anterior}|=1$

, es decir, cada punto siguiente debe diferir del anterior en 1 (digamos un píxel). Además, si lo preguntas así: $B$

$\left\vert \sum_{k=0}^{n}{{\frac {n!}{k!\times (nk)!}}\times t_{next}^{k}\times (1-t_{siguiente})^{nk}\times P_{k}}-\sum _{k=0}^{n}{{\frac {n!}{k!\times (nk)!} }\times t_{anterior}^{k}\times (1-t_{anterior})^{nk}\times P_{k}}\right\vert =1$

A través de él, puedes calcular . ${\ estilo de visualización \ Delta {t}}$

Resolvamos esta ecuación para curvas Bezier de primer orden (lineales):

$B(t)=(1-t)\veces P_{0}+t\veces P_{1},0\leq t\leq 1$

$B(t)={\begin{casos}x=(1-t)\times P_{0_{x}}+t\times P_{1_{x}}\\y=(1-t) \times P_{0_{y}}+t\times P_{1_{y}}\end{casos}}$

Escribamos la diferencia de puntos para un eje:

${\left\vert P_{0}-t_{siguiente}\times P_{0}+t_{siguiente}\times P_{1}-P_{0}+t_{anterior}\times P_{0} -t_{anterior}\times P_{1}\right\vert }=1$

Saquemos los factores comunes fuera de paréntesis:

${\left\vert t_{siguiente}\times (P_{0}-P_{1})-t_{anterior}\times (P_{0}-P_{1})\right\vert }=1$

Encontremos : ${\ estilo de visualización \ Delta {t}}$

$\Delta {t}={\left\vert t_{siguiente}-t_{anterior}\right\vert }=\left\vert {\frac {1}{P_{0}-P_{1)) }\derecha\vert$

de esta forma, puede calcular la tasa de muestreo para atravesar un eje particular de una curva Bezier de cierto orden. Es decir, debe obtener 16 ecuaciones de este tipo para las curvas de Bezier del orden 1 al 16, siempre se establece por puntos, será suficiente sustituir sus coordenadas en la ecuación resultante para omitir la curva con el mínimo nivel de discretización inequívoco .

Véase también

Notas

↑ Consorcio World Wide Web ( W3C ). Gráficos vectoriales escalables (SVG) 1.1 (segunda edición). Capítulo 8: Caminos (inglés) (16 de agosto de 2011). — Recomendación del W3C. Fecha de acceso: 21 de mayo de 2012. Archivado desde el original el 24 de junio de 2012.
↑ Algoritmos: curvas de Bezier . designermanuals.blogspot.com . Consultado el 9 de enero de 2021. Archivado desde el original el 12 de enero de 2021. (indefinido)

Literatura

Rogers D., Adams J. Fundamentos matemáticos de gráficos por computadora. — M .: Mir, 2001.

Enlaces

Wolfram Math World Curva de Bézier
Sociedad Matemática Americana De Bézier a Bernstein
Curvas de Bezier en juegos de computadora [1] (rus.)
Reloj en las curvas de Bezier (ruso)
Una introducción a las curvas de Bezier

Curvas

Definiciones

transformado

no plano

algebraica plana

Secciones cónicas

3er orden ( cúbico )

Elíptico	curva elíptica Funciones elípticas de Jacobi Integral elíptica Funciones elípticas
Otro	Verziera Agnesi hoja cartesiana Trisector de Maclaurin Chirnhaus Ofiurida estrofoides parábola semicúbica Tridente Cisoide de Diocles

4to orden

lemniscatas

Aproximación

Ranura
- B-spline
- Cúbico
- monospline
- Suavizado
- Perfecto
- hermita
Béziers

cicloidal

Otro

granja torcida

Plana
trascendental

Espirales	Arquímedov Granja galilea hiperbólico "Varita mágica" Dorado clotoide logarítmico sinusoidal
cicloidal	trocoide Cicloide epitrocoide epicicloide hipotrocoide hipocicloide cuasitrocoide "Rosa" cuadrifolio Descenso rápido (braquistocrona, arco cicloide)
Otro	cuadratriz cocleoide Perseguir tractor trocoide línea de cadena arco invertido ancho constante sinusoide Ribokura Súper fórmula superelipse Triángulo de Reuleaux polígono figuras de lissajous

fractales

Simple	gilberto Gosper curva de dragón Koch Exacción Minkowski Peaño Sierpinsky
topológico	Servilleta Sierpinski alfombra sierpinski Esponja Menger fractal circular alfombra apolonio