Matriz por unidad

Una matriz por identidad ( matriz de intercambio ) es una matriz cuadrada, todos los elementos de la diagonal secundaria de la cual son iguales a 1, y el resto son 0 (es decir, la identidad anti-diagonal [1] ):

J_{2}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

; ; .

J_{3}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}

J_{n}={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&0&1\\0&0&\cdots &0&1&0\\0&0&\cdots &1&0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots \\0&1&\ cdots &0&0&0\\1&0&\cdots &0&0&0\end{pmatrix}}

Usando el símbolo de Kronecker , uno puede escribir la definición de los elementos de la matriz pre-unidad como . ${\displaystyle J_{ij}=\delta _{n+1-i,j))$

Es una matriz de permutación : invierte todas las filas de una matriz si se multiplica por la izquierda por esa matriz, e invierte las columnas si se multiplica por la derecha.

Algunas propiedades:

$J^{\intercalar}=J$ ;
${\ estilo de visualización J ^ {n} = yo}$ para par y para impar , es decir, involutivo - ; $norte$ ${\ estilo de visualización J^{n}=J}$ $norte$ ${\ estilo de visualización J^{-1}=J}$
${\ estilo de visualización \ mathop {\ rm {tr}} \; J = 1}$ para impares y para pares ; $norte$ $\mahop {\rm {tr))\;J=0$ $norte$
${\displaystyle (JA)_{i,j}=A_{n+1-i,j))$ y para una matriz arbitraria ; ${\displaystyle (AJ)_{i,j}=A_{i,n+1-j))$ $(n\veces n)$ $A$
$\det J=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2))$ .

El concepto de matriz preidentidad se puede utilizar para definir matrices que tienen ciertas simetrías, por ejemplo, una matriz cuadrada es: $A$

centrosimétrico si ; $AJ=JA$
persimétrico si ; ${\displaystyle AJ=JA^{\intercal))$
bisimétrico si ambos y . ${\displaystyle AJ=JA^{\intercal))$ $AJ=JA$

Notas

↑ Monakov, A. V., V. A. Platonov. Optimización del método para resolver sistemas lineales de ecuaciones en OpenFOAM para la plataforma MPI+ CUDA Archivado el 13 de octubre de 2016 en Wayback Machine // Actas del Instituto de Programación de Sistemas RAS 26.3 (2014).

Literatura

Roger A. Horn, Charles R. Johnson. Análisis matricial . — 2ª edición. - Cambridge University Press , 2012. - Pág. 33. - ISBN 9781139788885 .