Pogorelov, Alexei Vasilievich

Alexey Vasilievich Pogorelov
Fecha de nacimiento 3 de marzo de 1919( 03-03-1919 ) [1] [2] o 2 de marzo de 1919( 02-03-1919 )
Lugar de nacimiento
Fecha de muerte 17 de diciembre de 2002( 2002-12-17 ) [2] (83 años)
Un lugar de muerte
País
Esfera científica matemáticas
Lugar de trabajo
alma mater Universidad de Járkov
Titulo academico Doctor en Ciencias Físicas y Matemáticas
Título académico Académico de la Academia de Ciencias de la URSS ,
Académico de la Academia de Ciencias de la RSS de Ucrania ,
Académico de la Academia de Ciencias de Rusia
consejero científico N. V. Efimov A. D. Alexandrov
Premios y premios
La orden de Lenin La orden de Lenin Orden del grado de la Segunda Guerra Patria - 1985 Orden de la Bandera Roja del Trabajo
Premio Lenin - 1962 Premio Stalin - 1950

Alexei Vasilyevich Pogorelov ( 3 de marzo de 1919  - 17 de diciembre de 2002 ) fue un matemático soviético . Especialista en geometría convexa y diferencial , teoría de ecuaciones diferenciales y teoría de cáscaras . Académico de la Academia de Ciencias de la URSS/RAS. Laureado del Premio Lenin.

Autor de un libro de texto escolar sobre geometría y de libros de texto universitarios sobre geometría analítica , geometría diferencial, fundamentos de geometría. Editor permanente de la " Colección geométrica ucraniana ".

Biografía

Nacido el 3 de marzo de 1919 en Koroche (ahora Óblast de Belgorod ) en el seno de una familia campesina. En relación con la colectivización en 1931, los padres de A.V. Pogorelov se vieron obligados a huir del pueblo a Jarkov, donde su padre consiguió un trabajo en la construcción de la planta de tractores de Jarkov . En 1935, A. V. Pogorelov se convirtió en el ganador de la Olimpiada Matemática [3] , organizada por la Universidad de Járkov. Después de graduarse de la escuela secundaria, en el mismo 1937 ingresó al departamento de matemáticas de la Facultad de Física y Matemáticas de la Universidad Estatal de Jarkov, fue el mejor estudiante del departamento.

En 1941 fue enviado a estudiar cursos de 11 meses en la Academia de Ingeniería de la Fuerza Aérea N. N. Zhukovsky . Después de la victoria cerca de Moscú, el entrenamiento continuó durante un período completo. Y mientras estudiaban, periódicamente durante varios meses fueron enviados al frente como técnicos de mantenimiento de aeronaves. Después de graduarse de la academia, fue enviado a trabajar como ingeniero de diseño en TsAGI . N. E. Zhukovsky. El deseo de completar una educación universitaria y dedicarse seriamente a la geometría llevó a A. V. Pogorelov a la Universidad Estatal de Moscú . Por recomendación de I. G. Petrovsky , Decano de Mecánica y Matemáticas, y del conocido geómetra V. F. Kagan, Aleksei Vasilyevich conoció a A. D. Aleksandrov  , el fundador de la teoría de las superficies convexas irregulares. Muchos nuevos problemas surgieron en esta teoría. Alexander Danilovich entregó uno de ellos a A.V. Pogorelov. En un año, se resolvió y A. V. Pogorelov ingresó a la escuela de posgrado por correspondencia de la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de Moscú a N. V. Efimov sobre el tema de A. D. Aleksandrov. Después de defender su tesis doctoral en 1947, fue desmovilizado y trasladado a Kharkov, donde trabajó en el Instituto de Investigación de Matemáticas y Mecánica de la Universidad Estatal de Kharkiv y en el Departamento de Geometría. En 1948 defendió su tesis doctoral, en 1951 fue elegido miembro correspondiente de la Academia de Ciencias de Ucrania, en 1960 fue elegido miembro correspondiente de la Academia de Ciencias de la URSS en el departamento de ciencias físicas y matemáticas. Desde 1961 - Académico de la Academia de Ciencias de Ucrania, desde 1976 - Académico de la Academia de Ciencias de la URSS en el Departamento de Matemáticas. De 1950 a 1960 - Jefe del Departamento de Geometría de KSU. De 1960 a 2000, dirigió el Departamento de Geometría del Instituto Físico-Técnico para Bajas Temperaturas de la Academia de Ciencias de la RSS de Ucrania .

Desde 2000, vivió en Moscú, trabajó en la Academia de Ciencias de Moscú V. A. Steklov .

Falleció el 17 de diciembre de 2002 . Fue enterrado en Moscú en el cementerio Nikolo-Arkhangelsk [4] .

El 20 de noviembre de 2015, en la sesión del Ayuntamiento de Kharkiv, durante el cambio de nombre de muchas calles y otros objetos de la ciudad, se cambió el nombre de la calle Krasnozvezdnaya en honor al académico Pogorelov [5] .

En 2007, la Academia Nacional de Ciencias de Ucrania estableció el Premio AV Pogorelov para trabajos científicos en el campo de la geometría y la topología.

Un asteroide (19919) Pogorelov recibe su nombre en honor a A.V. Pogorelov

Premios

Intereses científicos

A principios del siglo XX, se habían desarrollado métodos para resolver problemas locales relacionados con superficies regulares. En la década de 1930, se desarrollaron métodos para resolver problemas de geometría en general. Estos métodos estaban principalmente relacionados con la teoría de ecuaciones diferenciales parciales. Los matemáticos eran impotentes cuando las superficies eran irregulares (tenían puntas cónicas, puntas acanaladas) y cuando la geometría intrínseca no estaba dada por una forma cuadrática definida positiva regular, sino simplemente por un espacio métrico bastante general. El destacado geómetra AD Aleksandrov hizo un gran avance en el estudio de la métrica irregular y las superficies irregulares. Construyó una teoría de espacios métricos de curvatura no negativa según Aleksandrov (como caso especial, esto incluía la geometría interna de superficies convexas generales, que se definen como una región en el límite de un cuerpo convexo arbitrario). AD Aleksandrov comenzó a estudiar la relación entre la geometría interna y externa de las superficies convexas irregulares. Demostró que cualquier métrica de curvatura no negativa dada en una esfera bidimensional (incluida una métrica irregular dada como un espacio métrico con métrica intrínseca) está inmersa isométricamente en un espacio euclidiano tridimensional en forma de superficie convexa cerrada. Pero se desconocían las respuestas a las siguientes preguntas fundamentales:

  1. ¿Será la inmersión única hasta el movimiento?
  2. si una métrica dada en una esfera es una métrica regular de curvatura gaussiana positiva, ¿será entonces regular la superficie convexa sobre la que se realiza esta métrica?
  3. G. Minkowski demostró un teorema sobre la existencia de una hipersuperficie convexa cerrada, para lo cual la curvatura gaussiana está dada en función de la normal, bajo una condición natural sobre esta función. Pero había un problema abierto: si la función es regular en la esfera, ¿será regular la superficie misma?

Después de resolver estos problemas, la teoría creada por A. D. Aleksandrov recibiría plena ciudadanía en matemáticas y podría aplicarse también en el caso regular clásico. Y todas estas 3 preguntas fueron respondidas positivamente por A. V. Pogorelov . Utiliza métodos geométricos sintéticos, desarrolló métodos geométricos para obtener estimaciones a priori para las soluciones de las ecuaciones de Monge-Ampere. Por un lado, utiliza estas ecuaciones para resolver problemas geométricos, por otro lado, construye, basándose en consideraciones geométricas, una solución generalizada de la ecuación de Monge-Ampere, y luego demuestra su regularidad con un lado derecho regular. De hecho, estos trabajos pioneros de A. V. Pogorelov sentaron las bases para el análisis geométrico. En el camino, obtuvo los siguientes resultados fundamentales:

  1. Sean F 1 y F 2 dos superficies isométricas convexas cerradas en un espacio euclidiano tridimensional o espacio esférico. Entonces las superficies coinciden hasta el movimiento en el espacio.
  2. Una superficie convexa cerrada en un espacio de curvatura constante es rígida fuera de las áreas planas de la superficie. Esto significa que solo admite flexiones infinitesimales triviales.
  3. Si la métrica de una superficie convexa es regular de clase С k , k ≥ 2 en un espacio de curvatura constante c y la curvatura gaussiana de la superficie es К > c , entonces la superficie es regular de clase С k −1,α .

Para dominios en superficies convexas, las afirmaciones 1), 2) no son verdaderas. Las propiedades locales y globales de las superficies difieren significativamente. Prueba de afirmación 1) A. V. Pogorelov completó la solución de un problema que había estado abierto durante más de un siglo. El primer resultado en esta dirección lo obtuvo Cauchy para poliedros convexos cerrados en 1813. Recuerde que se dice que dos superficies son isométricas si existe un mapeo de una superficie a la otra tal que las longitudes de las curvas correspondientes al mapeo sean iguales.

Los teoremas demostrados por A. V. Pogorelov formaron la base de la teoría no lineal de capas delgadas que creó. En esta teoría, se consideran tales estados elásticos del caparazón, que difieren en cambios muy significativos en la forma original. Con tales deformaciones, la superficie media de una capa delgada se dobla con la preservación de la métrica. Esto permite estudiar las pérdidas de estabilidad y el estado elástico supercrítico de las capas convexas bajo la acción de una carga dada, utilizando los teoremas demostrados por A. V. Pogorelov para superficies convexas. Tales conchas son los elementos más comunes de las estructuras modernas.

Los resultados 1), 2) fueron generalizados por A. V. Pogorelov para superficies regulares en un espacio de Riemann. Además, se resolvió el problema de Weil para un espacio riemanniano: se demostró que una métrica regular de curvatura gaussiana mayor que una constante sobre una esfera bidimensional está inmersa isométricamente en un espacio riemanniano tridimensional completo de curvatura menor que una constante en forma de una superficie regular. Al estudiar los métodos para probar este trabajo, el ganador del Premio Abel, M. Gromov, introdujo las curvas pseudoholomórficas, que son la herramienta principal en la geometría simpléctica.

Una hipersuperficie convexa cerrada se define únicamente no solo por la métrica, sino también por la curvatura gaussiana como una función de la normal. En este caso, la hipersuperficie se determina únicamente hasta traslación paralela. Esto fue probado por G. Minkowski. Pero, ¿será regular la hipersuperficie siempre que la curvatura gaussiana K ( n ) sea una función regular de la normal? A. V. Pogorelov demostró que si una función positiva K ( n ) pertenece a la clase С k , k ≥ 3, entonces la función de soporte será regular de la clase С k +1, v , 0 < v < 1.

La parte más difícil de la demostración del teorema fue obtener estimaciones a priori de las derivadas de la función de soporte de la hipersuperficie hasta el tercer orden inclusive. ST Yao utilizó el método de Pogorelov para obtener estimaciones a priori para obtener estimaciones a priori de las soluciones de la compleja ecuación de Monge-Ampere. Este fue un paso importante para probar la existencia de variedades de Calabi-Yao, que juegan un papel esencial en la física teórica. La ecuación de Monge-Ampere tiene la forma

Las estimaciones a priori en el problema de Minkowski son a priori para resolver la ecuación de Monge-Ampere con la función

En ese momento, no había ningún enfoque para estudiar esta ecuación completamente no lineal. A. V. Pogorelov creó la teoría de la ecuación de Monge-Ampere por métodos geométricos . Primero, a partir de poliedros, demostró la existencia de soluciones generalizadas en condiciones naturales en el lado derecho. Luego, para soluciones regulares, encontró estimaciones a priori para derivadas hasta el tercer orden inclusive. Utilizando estimaciones a priori, demostró la regularidad de las soluciones estrictamente convexas, demostró la existencia de soluciones al problema de Dirichlet y su regularidad. La ecuación de Monge-Ampere es un componente esencial del problema de transporte de Monge-Kantorovich, se utiliza en geometrías conformes, afines, Kahlerianas, en meteorología y matemáticas financieras. Pogorelov dijo una vez sobre la ecuación de Monge-Ampere:

es una gran ecuación en la que he tenido el honor de trabajar.

Una de las obras más conceptuales de Aleksey Vasilyevich se refiere a una serie de trabajos sobre superficies lisas de curvatura externa limitada. AD Aleksandrov creó la teoría de los espacios métricos generales que, naturalmente, generalizan las variedades de Riemann. En particular, introdujo la clase de variedades bidimensionales de curvatura acotada. Agotan la clase de todas las variedades bidimensionales metrizadas que, en una vecindad de cada punto, admiten una aproximación uniforme por métricas riemannianas cuyas curvaturas integrales absolutas (la integral del módulo de la curvatura gaussiana) están acotadas entre sí.

Naturalmente, surgió la pregunta sobre la clase de superficies en el espacio euclidiano tridimensional que portan tal métrica conservando las conexiones entre la métrica y la geometría externa de la superficie. Respondiendo parcialmente a esta pregunta, A. V. Pogorelov introdujo una clase de superficies lisas C 1 con el requisito de que el área de una imagen esférica esté delimitada, teniendo en cuenta la multiplicidad de cobertura en una cierta vecindad de cada punto de la superficie. Tales superficies se denominan superficies de curvatura acotada.

Para tales superficies también existe una relación muy estrecha entre la geometría interna de la superficie y su forma externa: una superficie completa con curvatura externa acotada y curvatura interna no negativa (distinta de cero) es una superficie convexa cerrada o infinita. superficie convexa; una superficie completa con curvatura interna cero y curvatura externa limitada es un cilindro.

El primer trabajo de A. V. Pogorelov sobre superficies de curvatura externa limitada se publicó en 1953. Pero en 1954, J. Nash publicó un artículo sobre inmersiones isométricas C 1 , que fue mejorado por N. Kuiper en 1955. De estos artículos se deduce que una métrica riemanniana dada en una variedad bidimensional, bajo suposiciones muy generales, puede realizarse sobre una superficie lisa de clase C 1 del espacio euclidiano tridimensional. Además, esta realización se realiza tan libremente como una inmersión topológica en el espacio de una variedad sobre la que se da una métrica. Por tanto, es claro que para superficies de clase C 1 , incluso con una buena métrica intrínseca, es imposible preservar las conexiones entre la curvatura intrínseca y extrínseca. Incluso si una superficie de clase C 1 tiene una métrica regular de curvatura gaussiana positiva, esto no implica que la superficie sea localmente convexa. Todo esto enfatiza la naturalidad de la clase de superficies de curvatura externa limitada introducida por A. V. Pogorelov.

A. V. Pogorelov resolvió el cuarto problema de Hilbert , que planteó en 1900 en el II Congreso Internacional de Matemáticos de París. Encontró todo hasta el isomorfismo de la realización de sistemas de axiomas de geometrías clásicas (Euclides, Lobachevsky y elíptica), si omiten los axiomas de congruencia que contienen el concepto de ángulo, y complementan estos sistemas con el axioma "desigualdad del triángulo".

Además, A. V. Pogorelov fue uno de los primeros en proponer en 1970 la idea de diseñar generadores de crioturbina con un devanado de excitación superconductor y participó activamente en los cálculos y el desarrollo técnico de las muestras industriales correspondientes.

Bibliografía seleccionada

  1. Volumen 1. Geometría en general.- Kiev: Naukova Dumka , 2008, 419 p.
  2. Volumen 2. Fundamentos de geometría, mecánica, física. - Kyiv: Naukova Dumka, 2008, 398 p.

Véase también

Notas

  1. ↑ 1 2 Pogorelov Alexey Vasilyevich // Gran enciclopedia soviética : [en 30 volúmenes] / ed. AM Prokhorov - 3ª ed. — M .: Enciclopedia soviética , 1969.
  2. ↑ 1 2 MacTutor Archivo de Historia de las Matemáticas
  3. ↑ Historia del Departamento de Geometría de la Universidad de Kharkov (enlace inaccesible) . Consultado el 21 de junio de 2012. Archivado desde el original el 13 de octubre de 2011. 
  4. ↑ La tumba de A.V. Pogorelov en el cementerio de Nikolo-Arkhangelsk . Fecha de acceso: 17 de enero de 2014. Archivado desde el original el 4 de febrero de 2014.
  5. ↑ Nuevos nombres de calles en Kharkov (lista) . Consultado el 13 de abril de 2017. Archivado desde el original el 5 de mayo de 2017.
  6. ↑ 1 2 Pogorelov Oleksiy Vasilovich. Nagorodi, carteles, concursos . Academia Nacional de Ciencias de Ucrania . Consultado el 21 de enero de 2022. Archivado desde el original el 21 de enero de 2022.

Literatura

Enlaces

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