El cuarto problema de Hilbert

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El cuarto problema de Hilbert en la lista de problemas de Hilbert se refiere al sistema básico de axiomas de la geometría . el problema es

“Define todo hasta un isomorfismo de la realización de sistemas de axiomas de geometrías clásicas (Euclides, Lobachevsky y elíptica), si se omiten los axiomas de congruencia que contienen los conceptos de ángulo, y se complementan estos sistemas con el axioma de la desigualdad del triángulo” [1] .

En el caso de un avión, si aceptamos el axioma de continuidad, llegamos al problema planteado por Darboux:

"Encontrar en el plano todos los problemas variacionales cuyas soluciones sean todas rectas en el plano" [2] .

Métricas planas

El teorema de Desargues es verdadero :
si dos triángulos están ubicados en un plano de tal manera que las líneas que conectan los vértices correspondientes de los triángulos pasan por un punto, entonces los tres puntos en los que se encuentran las extensiones de los tres pares de lados correspondientes de los triángulos se cruzan en una línea recta

Una condición necesaria para resolver el problema IV de Hilbert es el requisito de que el espacio métrico que satisfaga los axiomas de este problema sea desarguesiano, es decir, se deben cumplir las siguientes condiciones:

Si el espacio es bidimensional, es necesario que se cumpla el teorema de Desargues y su recíproco;
Si la dimensión del espacio es mayor que dos, entonces es necesario que tres puntos cualesquiera se encuentren en el mismo plano.

Para los espacios desarguesianos , Hamel demostró que cualquier solución al problema de Hilbert se puede representar en un espacio proyectivo real o en un dominio convexo si la congruencia de los segmentos se define a través de la igualdad de sus longitudes en una métrica especial para la cual las líneas del proyectivo el espacio son geodésicas. ${\displaystyle PR^{n))$ $PR^{n},$

Estas métricas se denominan planas o proyectivas.

Así, la solución del problema de Hilbert se reducía al problema de la definición constructiva de todas las métricas planas completas.

Hamel resolvió este problema proponiendo suficiente regularidad de la métrica [3] . Sin embargo, como muestran ejemplos simples, las métricas planas regulares están lejos de agotar todas las métricas planas. De los axiomas considerados por la geometría, sólo se sigue la continuidad de la métrica. Por tanto, una solución completa del problema de Hilbert implica una definición constructiva de todas las métricas planas continuas.

Antecedentes del problema IV de Hilbert

Hasta 1900 se conocía la interpretación de Cayley-Klein de la geometría de Lobachevsky en el círculo unitario , donde las cuerdas del círculo son líneas rectas, y la distancia entre puntos se determina como el logaritmo de la razón compleja de cuatro puntos.

Para las métricas riemannianas bidimensionales, E. Beltrami (1835-1900) demostró que las únicas métricas planas son las de curvatura constante [4] .

Para métricas riemannianas multidimensionales, esta afirmación fue probada por E. Cartan en 1930.

En 1890, G. Minkowski, en relación con la teoría de números, introdujo lo que ahora llamamos espacios de Banach de dimensión finita [5] .

Espacio de Minkowski

${\displaystyle F_{0}\subconjunto \mathbb {E} ^{n))$ es una hipersuperficie convexa cerrada compacta en el espacio euclidiano, definida implícitamente

F_{0}=\{y\en E^{n}:F(y)=1\}.

La función cumple las condiciones: ${\ estilo de visualización F = F (y)}$

$F(y)\geqslant 0,\qquad F(y)=0\Leftrightarrow y=0$ ;
$F(\lambda y)=\lambda F(y),\qquad \lambda \geqslant 0$ ;
$F(y)\in C^{k}(E^{n}\setminus \{0\}),\qquad k\geqslant 3$ ;
${\frac {\parcial ^{2}F^{2}}{\parcial y^{i}\parcial y^{j}}}\xi ^{i}\xi ^{j}>0$ .

Establezcamos la longitud del vector OA así:

||OA||_{M}={\frac {||OA||_{\mathbb {E} }}{||OL||_{\mathbb {E} }}}.

Un espacio con tal métrica se llama espacio de Minkowski.

La hipersuperficie puede ser una superficie convexa irregular. La métrica dada de esta manera es plana. $F_{{0}}$

Espacios de Finsler

Sea M una variedad suave de dimensión finita y sea M un fibrado tangente. Una función se llama métrica de Finsler si ${\ estilo de visualización (x, y) \ en TM}$ $F(x,y)\dos puntos TM\rightarrow [0,+\infty)$

$F(x,y)\in C^{k}(TM\setminus \{0\}),\qquad k\geqslant 3$ ;
Para todo punto , la restricción de la función a es la norma de Minkowski. $x\en M$ ${\ estilo de visualización F (x, y)}$ $T_{x}M$

${\ estilo de visualización (M, F)}$ se llama espacio de Finsler.

Geometría de Hilbert

$U\subconjunto (\mathbb {E} ^{n+1},\|.\|_{\mathbb {E} })$ es un conjunto convexo abierto acotado con límite de clase C 2 y curvaturas normales positivas. Por analogía con el espacio de Lobachevsky, la hipersuperficie se llama el absoluto de la geometría de Hilbert [6] . ${\ estilo de visualización \ U parcial}$

Métrica de Hilbert

d_{U}(p,q)={\frac {1}{2))\ln {\frac {\|q-q_{1}\|_{E)){\|q-p_ {1}\|_{E))}\times {\frac {\|p-p_{1}\|_{E)){\|p-q_{1}\|_{E))}.

$d_{U}$ induce una métrica de Finsler Hilbert en U para cualquier y (ver Fig.) ${\ Displaystyle F_{U}}$ $x\en ti$ ${\ estilo de visualización y \ en T_ {x} U}$

F_{U}(x,y)={\frac {1}{2}}\|y\|_{\mathbb {E} }\left({\frac {1}{\|x- x_{+}\|_{\mathbb {E} }}}+{\frac {1}{\|x-x_{-}\|_{\mathbb {E} }}}\right).

Esta métrica también es plana.

D. Hilbert lo introdujo en 1895 como una generalización de la geometría de Lobachevsky. Cuando la hipersuperficie es un elipsoide, entonces obtenemos la geometría de Lobachevsky. ${\ estilo de visualización \ U parcial}$

Métrica de Funk

En 1930, Funk introdujo una métrica no simétrica. Se da en una región delimitada por una hipersuperficie convexa cerrada y también es plana.

σ-métricas

Condición suficiente para métricas planas

La primera contribución a la solución del problema IV de Hilbert la hizo Hamel [3] . Demostró la siguiente afirmación.

teorema _ Si una métrica regular de Finsler satisface la condición $F(x,y)=F(x_{1},....x_{n},y_{1},...,y_{n})$

${\frac {\parcial ^{2}F^{2}}{\parcial x^{i}\parcial y^{j}}}={\frac {\parcial ^{2}F^{ 2}}{\x parcial^{j}\y parcial^{i}}},\,i,j=1..n,$

entonces es plano.

Fórmula de Crofton

Considere un conjunto de líneas rectas orientadas en el plano. La línea está especificada por los parámetros donde es la distancia a la línea desde el origen, es el ángulo que forma la línea con el eje Ox . Entonces el conjunto de rectas orientadas es homeomorfo a un cilindro circular de radio unidad, donde es el elemento área . Sea una curva rectificable en el plano. Entonces su longitud ${\ estilo de visualización \ rho, \ varphi,}$ $\rho$ $\varphi$ $dS=d\rho d\varphi$ $\gama$

L={\frac {1}{4}}\iint \limits _{\Omega }n(\rho ,\varphi )dpd\varphi

donde es el conjunto de rectas que intersecan la curva dada, es el número de intersecciones de la recta con la curva. Esto fue demostrado por M. Crofton en 1870. $\Omega$ ${\ estilo de visualización n (p, \ varphi)}$

Una afirmación similar se cumple en un espacio proyectivo [7] .

Medida Blaschke-Busemann

En 1966, G. Busemann, hablando en el Congreso Matemático Internacional en Moscú, introdujo una nueva clase de métricas planas. G. Busemann introdujo una medida no negativa completamente aditiva sobre el conjunto de rectas del plano proyectivo , que cumple las siguientes condiciones: $PR^{2}$ $\sigma$

${\ estilo de visualización \ sigma (\ tau P) = 0}$ , donde es el conjunto de rectas que pasan por el punto P ; ${\ estilo de visualización \ tau P}$
${\ estilo de visualización \ sigma (\ tau X)> 0}$ , donde es el conjunto de rectas que pasan por algún conjunto X que contiene un segmento de recta; ${\ estilo de visualización \ tau X}$
${\ estilo de visualización \ sigma (RP ^ {n})}$ finito.

Si consideramos la -métrica definida en un dominio convexo arbitrario del espacio proyectivo , entonces la condición 3) se reemplaza por el requisito de que para cualquier conjunto H , tal que H esté contenido en , la clausura de H no corta la frontera , $\sigma$ $\Omega$ $PR^{2}$ $\Omega$ $\Omega$

\sigma (\pi H)<\infty

[8] .

Con la ayuda de tal medida, se determina la -métrica en : $\sigma$ $PR^{2}$

{\ estilo de visualización | x, y | = \ sigma \ izquierda (\ tau [x, y] \ derecha),}

donde es el conjunto de rectas que intersecan al segmento . ${\ estilo de visualización \ tau [x, y]}$ ${\ estilo de visualización [x, y]}$

La desigualdad triangular para esta métrica se deriva del teorema de Pasch.

teorema _ -metric in es una métrica plana, es decir, las geodésicas en esta métrica son líneas del espacio proyectivo. $\sigma$ $PR^{2}$

Pero Busemann estaba lejos de pensar que las métricas agotan todas las métricas planas. Escribió: "... La libertad en la elección de métricas al especificar geodésicas en el caso de métricas no riemannianas es tan grande que uno puede dudar si realmente existe una caracterización convincente de todos los espacios desarguesianos..." [8] . $\sigma$

Caso bidimensional

Teorema de Pogorelov

El teorema demostrado en 1973 por A. V. Pogorelov [9] [10] resultó sorprendente .

teorema _ Cualquier métrica plana completa continua bidimensional es una -métrica. $\sigma$

Así, el problema de IV Hilbert para el caso bidimensional queda completamente resuelto.

Otras pruebas

En 1976, R. B. Ambartsumian dio otra demostración del problema IV de Hilbert [11] . Su prueba está relacionada con el hecho de que en el caso bidimensional se reconstruye toda la medida a partir de sus valores sobre los digones. Y luego se da sobre triángulos de la misma manera que se da el área de un triángulo sobre una esfera. En triángulos no degenerados, es positivo ya que se cumple la desigualdad del triángulo, y luego la medida se determina en todos los conjuntos de Borel. Pero esta construcción no está generalizada en dimensión. Esto está relacionado con el problema III de Hilbert, que fue resuelto por M. Dehn. En el caso bidimensional, los polígonos de igual área están igualmente compuestos. En una dimensión superior, como lo muestra M. Dehn, esto no es cierto.

Caso 3D

Para el caso n=3 A. V. Pogorelov demostró el siguiente teorema

Teorema. Cualquier métrica plana completa continua regular tridimensional es una -métrica. $\sigma$

Sin embargo, en el caso tridimensional, las medidas pueden tomar valores tanto positivos como negativos. Las condiciones necesarias y suficientes para que la métrica regular dada por la función conjunto sea plana son las siguientes tres condiciones: $\sigma$ $\sigma$

el valor en cualquier plano es cero; $\sigma$
el valor en cualquier cono no es negativo; $\sigma$
el valor es positivo si el cono contiene puntos interiores. $\sigma$

Además, A. V. Pogorelov demostró que cualquier métrica plana continua completa en el caso tridimensional es el límite de las métricas regulares con convergencia uniforme en cualquier subdominio compacto del dominio donde se define esta métrica. Llamó a tales métricas métricas generalizadas . $\sigma$ $\sigma$

Por lo tanto, A. V. Pogorelov logró demostrar que

Teorema. Toda métrica plana continua completa en el caso tridimensional es una -métrica en el sentido generalizado. $\sigma$

G. Busemann, en una revisión de la traducción del libro de A. V. Pogorelov `` El cuarto problema de Hilbert escribió: "De acuerdo con el espíritu de los tiempos, Hilbert se limitó a las dimensiones n = 2, 3. A. V. Pogorelov también se limitó a estas dimensiones. Aunque la diferencia real entre n = 2 y n > 2. El método de Pogorelov también funciona para n > 3, solo requiere más detalles técnicos [12] ".

Caso multidimensional

El caso multidimensional IV del problema de Hilbert fue estudiado por ZI Sabo. En 1986 demostró, como él mismo escribe, el teorema generalizado de Pogorelov: Teorema. Cualquier espacio de clases desarguesiano n -dimensional se genera mediante la construcción de Blaschke-Busemann. $C^{n+2},n>2$

$\sigma$ -La medida que genera una medida plana tiene las siguientes propiedades:

$\sigma$ -medida de los hiperplanos que pasan por un punto fijo es igual a cero.
$\sigma$ -medida del conjunto de hiperplanos que cortan dos segmentos [x, y], [y, z] , donde x, y, z no son colineales, es positivo.

El mismo artículo da un ejemplo de una métrica plana que no es generada por la construcción de Blaschke-Busemann. ZI Sabo describió todas las métricas planas continuas en el lenguaje de funciones generalizadas [13] .

IV Problema de Hilbert y cuerpos convexos

El problema de IV Hilbert también está estrechamente relacionado con las propiedades de los cuerpos convexos. Un poliedro convexo se llama zonotopo si es la suma (según Minkowski) de segmentos de línea. Un cuerpo convexo, que es el límite de los zonotopos en la métrica de Blaschke-Hausdorff, se llama zonoide . Para zonoides, la función de soporte se representa como

h(x)=\int \limits _{S^{n-1}}|\langle x,u\rangle |\parcial \sigma (u),

donde es una medida de Borel incluso positiva en la esfera . ${\ estilo de visualización \ sigma (u)}$ $S^{{n-1}}$

El espacio de Minkowski es generado por la construcción de Blaschke-Busemann si y solo si la función de soporte de la indicatriz tiene la forma dada arriba, donde es una medida de Borel de signo no necesariamente constante [14] . Los cuerpos delimitados por tales hipersuperficies se denominan zonoides generalizados. ${\ estilo de visualización \ sigma (u)}$

Un octaedro en el espacio euclidiano no es una zonoide generalizada. Entonces se deduce de la declaración anterior que la métrica plana del espacio de Minkowski con la norma , no es generada por la construcción de Blaschke-Busemann. $|x_{1}|+|x_{2}|+|x_{3}|\leqslant 1$ ${\ estilo de visualización E ^ {3}}$ ${\displaystyle \|x\|=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,|x_{3}|\))$

Generalizaciones del problema IV de Hilbert

En [15] se encontró una correspondencia entre la métrica plana de Finsler n -dimensional y las formas simplécticas especiales en una variedad de Grassmann . ${\ estilo de visualización G (n + 1,2)}$ ${\ estilo de visualización E ^ {n + 1}}$

Se consideraron soluciones periódicas del problema IV de Hilbert:

Sea (M, g) una variedad riemanniana localmente euclidiana compacta. Se le da una métrica de Finsler cuyas geodésicas coinciden con la métrica g . Entonces, la métrica de Finsler es la suma de una métrica local de Minkow y una forma 1 cerrada [16] . ${\ estilo de visualización C^{2}}$

Sea (M, g) un espacio riemanniano simétrico compacto de rango mayor que uno. Si F es una métrica de Finsler simétrica cuyas geodésicas coinciden con las geodésicas de la métrica de Riemann g, entonces (M, F) es un espacio de Finsler simétrico [16] . ${\ estilo de visualización C^{2}}$

Otra presentación del problema IV de Hilbert se encuentra en el artículo de Pavey de 2003 [17] .

Problemas no resueltos

El problema IV de Hilbert para la distancia asimétrica no se ha resuelto.
Se desconoce un análogo del último teorema para el caso de espacios simétricos de rango uno.
Describir las métricas en las que los k -planos minimizan el k -área (G. Busemann) [18] . ${\displaystyle PR^{n))$

Literatura

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↑ G. Darboux, Lecons sur la theorie generale dessurfaces , V.III, París, 1894.
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problemas de hilbert
una 2 3 cuatro 5 6 7 ocho 9 diez once 12 13 catorce quince dieciséis 17 Dieciocho 19 veinte 21 22 23 ( 24 )