Formulación de la teoría cuántica en términos de integrales de trayectoria

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 2 de marzo de 2022; las comprobaciones requieren 2 ediciones .

La formulación de la integral de trayectoria de la mecánica cuántica es una descripción de la teoría cuántica que generaliza el principio de funcionamiento de la mecánica clásica . Reemplaza la definición clásica de una trayectoria única y única del sistema con una suma completa (integral funcional) sobre un conjunto infinito de trayectorias posibles para calcular la amplitud cuántica. Metodológicamente, la formulación en términos de la integral de trayectoria se aproxima al principio de Huygens-Fresnel de la teoría ondulatoria clásica .

La formulación de la integral de trayectoria fue desarrollada en 1948 por Richard Feynman . Algunos puntos preliminares se habían desarrollado anteriormente mientras escribía su disertación bajo la dirección de John Archibald Wheeler .

Esta formulación fue clave para el desarrollo posterior de la física teórica , ya que es claramente simétrica en el tiempo y el espacio (covariante de Lorentz). A diferencia de los métodos anteriores, la integral de trayectoria permite al físico moverse fácilmente de una coordenada a otra en la descripción canónica del mismo sistema cuántico.

Интеграл по траекториям также относится к квантовым и стохастическим процессам, и это обеспечило базис для великого синтеза 1970-х годов, который объединил квантовую теорию поля со статистической теорией флуктуаций поля вблизи фазовых переходов второго рода . Уравнение Шрёдингера при этом является уравнением диффузии с мнимым коэффициентом диффузии , а интеграл по траекториям — аналитическим продолжением метода суммирования всех возможных путей. По этой причине интегралы по траекториям были использованы для изучения броуновского движения и диффузии немного ранее, чем они были представлены в квантовую механику [1] .

Recientemente, la definición de integrales de trayectoria se ha ampliado para que, además del movimiento browniano, también puedan describir vuelos de Levy . La formulación en términos de integrales de trayectoria de Lévy conduce a la mecánica cuántica fraccionaria ya una extensión fraccionaria de la ecuación de Schrödinger [2] .

El principio cuántico de acción

En la mecánica cuántica tradicional , el hamiltoniano es un generador de traducciones temporales infinitamente pequeñas (infinitesimales) (por ejemplo, en el espacio de estados de un sistema mecánico cuántico). Esto significa que el estado después de un tiempo infinitesimal difiere del estado en un momento de tiempo dado por un valor igual al producto de por la acción del operador de Hamilton en este estado. Para estados con cierta energía, esta expresa la relación de de Broglie entre frecuencia y energía , y la relación general es consistente con ella, teniendo en cuenta el principio de superposición . $dt$ $-i$ $dt$

Pero el hamiltoniano en la mecánica clásica se deriva del lagrangiano , que es una cantidad más fundamental según la relatividad especial . El hamiltoniano describe el desarrollo del sistema en el tiempo, pero la idea de tiempo cambia al pasar de un marco de referencia a otro. Por lo tanto, el hamiltoniano es diferente para diferentes marcos de referencia y, en la formulación inicial de la mecánica cuántica, su invariancia de Lorentz no es obvia.

El hamiltoniano es una función de coordenadas y momentos, ya partir de él se determinan las coordenadas y el momento en un momento posterior. El Lagrangiano es una función de coordenadas ahora y coordina un poco más tarde (o, de manera equivalente, para intervalos de tiempo infinitesimales, es una función de coordenadas y velocidad). El primero y el segundo están conectados por la transformación de Legendre, y la condición que define las ecuaciones clásicas de movimiento es la condición de acción mínima .

En mecánica cuántica , la transformación de Legendre es difícil de interpretar porque el movimiento no sigue un camino definido. En mecánica clásica con discretización del tiempo

\varepsilon H=p{\big (}q(t+\varepsilon)-q(t){\big)}-\varepsilon L,

p={\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q)))),

donde la derivada parcial con respecto a q deja q ( t + ε ) fijo. Transformada inversa de Legendre:

\varepsilon L=p\varepsilon {\dot {q}}-\varepsilon H,

dónde

{\dot {q}}={\frac {\parcial H}{\parcial p)),

y ahora se toma la derivada parcial con respecto a p con q fijo .

En mecánica cuántica, un estado es una superposición de diferentes estados con diferentes valores de q o diferentes valores de p , y las cantidades p y q pueden interpretarse como operadores no conmutantes. El operador p tiene un valor definido solo en estados que no tienen una q definida . Luego imaginamos dos estados separados en el tiempo y actuamos sobre ellos con un operador correspondiente al Lagrangiano:

e^{i[p\{q(t+\varepsilon)-q(t)\}-\varepsilon H(p,q)]}.

Si las operaciones de multiplicación en esta fórmula se consideran como multiplicación de operadores (o sus matrices), entonces esto significa que el primer factor

e^{-ipq(t)}

y la suma de todos los estados se integra sobre todos los valores de q ( t ), por lo que se realiza la transformada de Fourier a la variable p ( t ). Esta acción se realiza en el espacio de Hilbert : la transición a la variable p ( t ) en el tiempo t .

Luego viene el multiplicador.

e^{-i\varepsilonH(p,q)},

describir la evolución de un sistema en un intervalo de tiempo infinitesimal.

Y el último multiplicador en esta interpretación:

e^{ipq(t+\varepsilon)},

produciendo un cambio de base de regreso a q ( t ), pero en un momento posterior.

Esto no es muy diferente de la evolución habitual en el tiempo: H contiene toda la información dinámica: empuja el estado hacia adelante en el tiempo. La primera y la última parte hacen la transformada de Fourier a la variable intermedia p ( t ) y viceversa.

El hamiltoniano es una función de p y q , por lo que exponer esta cantidad y cambiar la base de p a q en cada paso permite expresar el elemento H de la matriz como una función simple a lo largo de cada camino. Esta función es el análogo cuántico de la acción clásica. Esta observación fue hecha por primera vez por Dirac .

Dirac comentó más tarde que uno podría tomar el cuadrado del operador de evolución en la representación S :

e^{i\varepsilon S},

obteniendo así un operador de evolución desde el tiempo t hasta el tiempo t + 2ε. Mientras que en la representación H el valor que suma los estados intermedios es un elemento de matriz no obvio, en la representación S está asociado con un camino. En el límite de un gran grado de este operador, reconstruye la evolución completa entre dos estados: uno temprano, que corresponde a valores fijos de las coordenadas q (0), y uno tardío, con un q fijo ( t ). El resultado es la suma de los caminos siendo la fase la acción cuántica.

La interpretación de Feynman

El trabajo de Dirac no proporcionó un algoritmo exacto para calcular las sumas de rutas y no mostró cómo la ecuación de Schrödinger o las relaciones de conmutación canónicas podrían derivarse de este enfoque. Esto fue hecho por Feynman.

Feynman demostró que el cuanto de acción de Dirac en la mayoría de los casos interesantes es simplemente igual a la acción clásica, convenientemente discretizada. Esto significa que la acción clásica es una fase que transcurre en evolución cuántica entre dos puntos finales fijos. Propuso derivar toda la mecánica cuántica de los siguientes postulados:

La probabilidad de un evento se obtiene como el cuadrado del módulo de un número complejo llamado "amplitud".
La amplitud se obtiene sumando las contribuciones de todas las historias en el espacio de configuración.
La contribución de la historia a la amplitud es proporcional a , donde es la constante de Planck , que se puede igualar a la unidad eligiendo un sistema de unidades, mientras que S es la acción de esta historia dada por la integral de tiempo del Lagrangiano a lo largo de la camino correspondiente. $e^{{iS/\hbar}}$ $\hbar$

Para encontrar la probabilidad de amplitud total para un proceso dado, se debe sumar o integrar la amplitud en el espacio de todas las historias posibles del sistema entre los estados inicial y final, incluidas las historias que son absurdas según los estándares clásicos (por ejemplo, partículas velocidades en las trayectorias pueden exceder la velocidad de la luz). Al calcular la amplitud de una sola partícula que se mueve de un lugar a otro en un tiempo dado, es necesario incluir historias en las que la partícula describe un patrón extraño, en el que la partícula "vuela hacia el espacio" y vuela de regreso, y así en. La integral de trayectoria considera que todas estas amplitudes de pisos son iguales en magnitud (módulo) pero diferentes en fase (argumento de número complejo). Las contribuciones que difieren sustancialmente de la historia clásica solo se suprimen mediante la interferencia con contribuciones de historias similares con fase opuesta (ver más abajo).

Feynman demostró que esta formulación de la mecánica cuántica es equivalente al enfoque canónico de la mecánica cuántica cuando el hamiltoniano tiene un impulso cuadrático. La amplitud calculada según los principios de Feynman también genera la ecuación de Schrödinger para el hamiltoniano correspondiente a la acción dada.

Los principios clásicos de acción presentan una dificultad por su idealidad: en lugar de predecir el futuro a partir de las condiciones iniciales, predicen el camino hacia un futuro dado a través de una combinación de condiciones iniciales y finales, como si el sistema supiera de alguna manera en qué estado debe estar. en. ven. La integral de trayectoria explica el principio clásico de acción en términos de superposición cuántica. El sistema no tiene que saber de antemano hacia dónde se dirige: la integral de trayectoria simplemente calcula la amplitud de probabilidad para cualquier proceso dado y la trayectoria va en todas las direcciones posibles. Sin embargo, después de un tiempo suficientemente largo, los efectos de interferencia aseguran que solo las contribuciones de los puntos de acción estacionarios proporcionen historias con probabilidades significativas. Los puntos de acción estacionarios corresponden a trayectorias clásicas, por lo que el sistema se mueve en promedio a lo largo de la trayectoria clásica.

Redacción precisa

Los postulados de Feynman se pueden interpretar de la siguiente manera:

Fragmentos de tiempo

Para una partícula en un potencial uniforme, la integral de trayectoria, que en el caso unidimensional es un producto de integrales ordinarias, se aproxima mediante trayectorias en zigzag. Cuando una partícula se mueve desde una posición en un punto en el tiempo hasta un punto en , la secuencia de tiempo se puede dividir en n pequeños segmentos de duración fija (se puede despreciar un segmento restante, ya que en última instancia se considera el límite ). Este proceso se llama corte de tiempo. ${\ estilo de visualización x = x_ {a}}$ ${\ Displaystyle t = t_ {a}}$ ${\ Displaystyle x = x_ {b}}$ ${\ Displaystyle t = t_ {b}}$ ${\displaystyle t_{a}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}<t_{b))$ $t_{j}-t_{j-1},\ j=1,\puntos,n$ $\varepsilon \equiv \Delta t={\frac {t_{b}-t_{a}}{n+1}}$ $n\to \infty$

La aproximación para la integral de trayectoria es proporcional a la expresión

\int \limits _{x_{1}=x_{a}}^{x_{1}=x_{b}}\ldots \int \limits _{x_{n}=x_{a}}^ {x_{n}=x_{b}}\exp \left({\frac {i}{\hbar}}\int \limits _{t_{a}}^{t_{b}}{\mathcal {L }}{\grande (}x(t),v(t),t{\grande)}\,dt\right)\,dx_{n}\ldots dx_{1},

donde es el Lagrangiano de un sistema unidimensional que depende de la variable espacial x ( t ) y la velocidad , y corresponde a la posición en el j-ésimo paso de tiempo si la integral de tiempo se aproxima por la suma de n términos. ${\mathcal {L}}(x,v,t)$ $v={\punto {x}}(t)$ ${\ Displaystyle dx_ {j}}$

En el límite cuando n tiende a infinito, esta expresión se convierte en una integral funcional , que (aparte de un factor insignificante) es directamente el producto de las amplitudes de las densidades de probabilidad de encontrar una partícula mecánica cuántica en el estado inicial y en el estado definitivo . $\langle x_{a},t_{a}|x_{b},t_{b}\rangle$ ${\ Displaystyle t = t_ {a}}$ ${\ estilo de visualización x = x_ {a}}$ ${\ Displaystyle t = t_ {b}}$ ${\ Displaystyle x = x_ {b}}$

De hecho, es el Lagrangiano clásico del sistema unidimensional considerado, , donde es el hamiltoniano ( p es la cantidad de movimiento, igual por definición, y el mencionado “zigzag” corresponde a la aparición de los términos ${\ matemática L}$ ${\mathcal {L}}(x,{\dot {x}},t)=p{\dot {x}}-{\mathcal {H}}(x,p,t)$ $\mathcal H$ $p=\parcial {\mathcal {L}}/\parcial {\dot {x)),$

\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\,\varepsilon \cdot \sum _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}\left({\tilde {x}}_{j},{\tfrac {x_{j}-x_{j-1}}{\varepsilon }},j\right)\right),

donde es algún punto del segmento correspondiente. Por ejemplo, puede tomar el centro del segmento: . ${\tilde x}_{j}\en [x_{{j-1}},x_{j}]$ ${\tilde {x}}_{j}={\tfrac{x_{j}+x_{j-1}}{2}}$

Así, a diferencia de la mecánica clásica, no sólo contribuye la trayectoria estacionaria, sino, de hecho, todas las trayectorias virtuales entre los puntos inicial y final.

Sin embargo, la aproximación de Feynman de la cuantización del tiempo no existe para las integrales de trayectoria de la mecánica cuántica más importantes para los átomos debido a la singularidad del potencial de Coulomb en cero. Solo después de reemplazar el tiempo t con otro parámetro dependiente de la ruta ("pseudotiempo") se elimina la singularidad y existe una aproximación de cuantización del tiempo que es exactamente integrable, ya que se puede convertir en armónico con una transformación de coordenadas simple, como lo muestra İsmail Hakkı Duru y Hagen Kleinert en 1979 [3] . La aplicación combinada de la transformación de tiempo-"pseudo-tiempo" y las transformaciones de coordenadas es una técnica importante para calcular muchas integrales de trayectoria y se denomina transformación de Duru-Kleinert. ${\ estilo de visualización e ^ {2} / r}$ $s=\int dt/r(t)$

Partícula libre

En la representación de la integral de trayectoria, la amplitud cuántica se mueve del punto x al punto y como una integral sobre todas las trayectorias. Para una partícula libre, la acción ( , ) integral $metro=1$ $\hbar = 1$

S=\int {{\dot {x}}^{2} \over 2}dt

se puede encontrar explícitamente.

Para hacer esto, es conceptualmente conveniente comenzar sin el factor i en el exponente, de modo que las grandes desviaciones se compensen con números pequeños en lugar de cancelar las contribuciones fluctuantes:

K(xy;T)=\int_{{x(0)=x}}^{{x(T)=y}}e^{{-\int_{0}^{T}{{\dot {x}}^{2} \over 2}dt}}Dx.

Descomponemos la integral en partes:

K(x,y;T)=\int_{{x(0)=x}}^{{x(T)=y}}\Pi_{t}e^{{-{\frac 12}\ izquierda({x(t+\varepsilon)-x(t) \sobre \varepsilon }\right)^{2}\varepsilon }}\,Dx,

donde Dx se interpreta como una colección finita de integraciones sobre cada factor entero ε. Cada factor en el producto es un gaussiano en función de x ( t + ε ) centrado en x ( t ) con variación ε. Las integrales múltiples son convoluciones repetidas de esta G ε gaussiana con copias de sí misma en tiempos adyacentes:

K(xy;T)=G_{\varepsilon}*G_{\varepsilon}*\dots *G_{\varepsilon},

donde el número de circunvoluciones es igual a T /ε. El resultado se obtiene fácilmente tomando la transformada de Fourier de ambos lados, de modo que las circunvoluciones se conviertan en multiplicaciones:

{\tilde {K}}(p;T)={\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)^{{T \over \varepsilon }}.

La transformada de Fourier de la Gaussiana G es otra Gaussiana de variación inversa[ aclarar ] :

{\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)=e^{{-\varepsilon {p^{2} \over 2}}},

y resultado

{\tilde {K}}(p;T)=e^{{-T{p^{2} \over 2}}}.

La transformada de Fourier da K , y esta es nuevamente una Gaussiana con variación inversa:

K(xy;T)\sim e^{{-(xy)^{2} \sobre 2T}}.

La constante de proporcionalidad no está realmente definida por el enfoque de tiempo fraccionado, solo se define la relación de los valores de las diferentes elecciones finales. Se debe elegir una constante de proporcionalidad para asegurar que entre cada una de las dos particiones de tiempo la evolución del tiempo sea mecánica cuánticamente unitaria, pero una forma más esclarecedora de corregir la normalización es asumir la integral de trayectoria como una descripción de un proceso estocástico.

El resultado tiene una interpretación probabilística. La suma de todas las trayectorias del factor exponencial se puede representar como la suma de todas las trayectorias de la probabilidad de elegir una trayectoria dada. La probabilidad es el producto de cada segmento de la probabilidad de selección de un segmento dado, de modo que cada segmento se selecciona probabilísticamente de forma independiente. El hecho de que la respuesta sea una Gaussiana que se propaga linealmente en el tiempo es un teorema central del límite que puede interpretarse como la primera derivación histórica de la integral de trayectoria estadística.

La interpretación probabilística proporciona una opción natural de normalización. La integral de trayectoria debe definirse de tal manera que:

{\ estilo de visualización \ int K (xy; T) dy = 1.}

Esta condición normaliza la Gaussiana y forma un kernel que satisface la ecuación de difusión:

{d \over dt}K(x;T)={\nabla ^{2} \over 2}K.

Para las integrales de trayectoria oscilantes, aquellas con i en el numerador, la partición del tiempo produce gaussianas distorsionadas, como antes. Ahora, sin embargo, el producto de curvatura es singular en la medida más pequeña, ya que necesita límites cuidadosos para definir las integrales oscilantes. Para que los factores estén bien definidos, la forma más fácil es agregar una pequeña parte imaginaria al término de tiempo ε. Luego, el mismo argumento retorcido que antes da el kernel de propagación:

K(xy;T)\propto e^{i(xy)^{2} \over 2T}.

Lo cual, con la misma normalización que antes (¡no la normalización de suma cuadrática! esta función tiene una norma divergente), satisface la ecuación libre de Schrödinger

{d \over dt}K(x;T)={\rm {i}}{\nabla ^{2} \over 2}K.

Esto significa que cualquier superposición de K también satisfará la misma ecuación, linealmente. Definición

\psi _{t}(y)=\int \psi _{0}(x)K(xy;t)dx=\int \psi _{0}(x)\int _{x(0) )=x}^{x(t)=y}e^{iS}Dx,

entonces ψt satisface la ecuación libre de Schrödinger, así como K:

{\rm {i}}{\parcial \sobre \parcial t}\psi _{t}=-{\nabla ^{2} \sobre 2}\psi _{t}.

Enlaces

↑ Kleinert, H. Gauge Fields in Condensed Matter . - Singapur: World Scientific, 1989. - vol. I.- ISBN 9971-5-0210-0 . Archivado desde el original el 14 de mayo de 2006. Copia archivada (enlace no disponible) . Consultado el 20 de septiembre de 2009. Archivado desde el original el 14 de mayo de 2006. (indefinido) También disponible en línea: vol. Archivado el 27 de mayo de 2008 en Wayback Machine .
↑ Laskin N. Fractional Quantum Mechanics // Physical Review E. - 2000. - V. 62 . - S. 3135-3145 . -doi : 10.1103/ PhysRevE.62.3135 . arXiv : 0811.1769 .
↑ IH Duru, H. Kleinert. Solución de la integral de trayectoria para el átomo de H (inglés) // Physics Letters B. - 1979. - vol. 84 , edición. 2 . - pág. 185-188 . - doi : 10.1016/0370-2693(79)90280-6 .

Véase también

Literatura

Simon B. Integración Funcional y Física Cuántica. — Prensa Académica, 1979.
Berezin F. A. Segundo método de cuantificación. — M .: Nauka, 1986. — 320 p.
Zinn-Justin J. Integral continua en mecánica cuántica. - M. : Fizmatlit, 2010. - 360 p.
Lobanov Yu. Yu. Métodos de integración funcional aproximados para la investigación numérica de modelos en física cuántica (tesis para el grado de Doctor en Ciencias Físicas y Matemáticas). - M. , 2009.
Polyakov A. M. Campos de calibre y cadenas. - Izhevsk: RHD, 1999. - 316 p.
Popov VN Integrales continuas en teoría cuántica de campos y mecánica estadística. — M .: Atomizdat , 1976. — 256 p.
Slavnov AA, Faddeev LD Introducción a la teoría cuántica de los campos de norma. - M. : Nauka, 1988. - 272 p.
Smolyanov O. G. , Shavgulidze E. T. Integrales continuas. — M .: Nauka, 1990. — 150 p.
Feynman R., Hibs A. Mecánica cuántica e integrales de trayectoria. - M. : Mir, 1968. - 384 p.
Shestakova TP Método de la integral de trayectoria en la teoría cuántica de campos. Curso de conferencias. - M . : In-t computadora. isled., 2005. - 228 p. — ISBN 5-939724-07-8 .
Artículo en la Enciclopedia Física (A. A. Slavnov): http://femto.com.ua/articles/part_2/4433.html

ricardo feynman
La ciencia	Diagramas de Feynman Diagrama de Feynman de un bucle Fórmula de Feynman-Katz Teoría de la absorción de Wheeler-Feynman Fórmula de Bethe-Feynman Teorema de Hellmann-Feynman Notación de barra de Feynman parametrización de Feynman Formulación en términos de integrales de trayectoria Partón (partícula) propagador argumento de cuentas adhesivas Teoría de un universo de un electrón Autómata celular cuántico Comisión Rogers tablero de ajedrez feynman punto feynman Aspersor Feynman Trinquete Feynman-Smoluchowski
Obras	Mucho espacio abajo ( 1959) "Las conferencias Feynman sobre física " (1964) " La naturaleza de las leyes físicas " (1965) " QED es una extraña teoría de la luz y la materia " (1985) “¡ Por supuesto que está bromeando, Sr. Feynman! » (1985) “ ¿Qué te importa lo que piensen los demás? » (1988) " La conferencia perdida de Feynman " (1997) " El significado de todo " (1999) " El placer de descubrir cosas " (1999) " Desviaciones perfectamente razonables del camino trillado " (2005)
Otro	Culto de carga científica " Quantum Man: La vida en la ciencia de Richard Feynman " (2011) Tuva o busto! Premio Feynman de Nanotecnología " Infinito " (película, 1996) " QED " (obra de teatro, 2001) " Challenger " (película, 2013)