Álgebra de mentira semisimple

Un álgebra de Lie semisimple es un álgebra de Lie que es la suma directa de álgebras de Lie simples , es decir, álgebras de Lie no abelianas sin ideales no triviales.

El papel de la semisimplicidad en el estudio de las álgebras de Lie

El teorema de Levi-Maltsev sobre la descomposición de Levi establece que cualquier álgebra de Lie es una suma semidirecta [1] de un ideal soluble (llamado radical del álgebra de Lie ) y un álgebra semisimple [2] . En particular, un álgebra de Lie distinta de cero no puede ser simultáneamente decidible y semisimple. Para muchos problemas, esto nos permite considerar por separado la teoría de las álgebras de Lie resolubles y, por separado, las semisimples.

Las álgebras semisimples sobre un campo algebraicamente cerrado de característica 0 se clasifican completamente por sus sistemas de raíces , que a su vez se describen mediante diagramas de Dynkin . Sobre campos cerrados no algebraicos, la clasificación se vuelve más complicada, pero para un campo de números reales, un álgebra de Lie real es semisimple si y solo si su complejización es semisimple.

Propiedades

Se preserva la semisimplicidad cuando se considera el ideal, álgebra de factor de Lie, producto directo [3] .
(Criterio de Cartan) El álgebra de Lie es semisimple si y sólo si su forma Killing no es degenerada.
(Teorema de Weil) Una representación de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple es completamente reducible [4] .
El factor es semisimple, como factor de un álgebra de Lie semisimple, y abeliano, como factor por conmutador. Entonces es igual al cero del álgebra de Lie. Por lo tanto, el conmutador de un álgebra de Lie semisimple es igual a sí mismo: En particular, cualquier álgebra de Lie semisimple lineal se encuentra en . ${\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]={\mathfrak {g}}.$ $[{\mathfrak {gl}}_{n},{\mathfrak {gl}}_{n}]={\mathfrak {sl}}_{n}$

Estructura

Sea un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado de característica 0. Considere la subálgebra de Cartan, una subálgebra tórica maximal [5] , donde la palabra tórica significa que consta de elementos semisimples, es decir, elementos tales que diagonalizar Puede considerar la acción utilizando la vista adjunta . Para un álgebra de Lie semisimple, la subálgebra de Cartan resulta ser abeliana [6] , por lo que los operadores correspondientes a sus elementos pueden diagonalizarse simultáneamente [6] . $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak{h))$ $X$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {anuncio} (x)}$ ${\mathfrak{h))$ $\mathfrak{g}$ $\operatorname {anuncio}$ $\operatorname {anuncio}$

Sea un funcional lineal en . Entonces podemos considerar un subespacio en (posiblemente cero) dado por la fórmula: $\alpha \in {\mathfrak {h}}^{\ast}$ ${\mathfrak{h))$ $\mathfrak{g}$

{\mathfrak {g}}_{\alpha }=\{x\in {\mathfrak {g}}|[h,x]=\alpha (h)x\quad \forall h\in {\ matemáticas {h}}\}.

Descomposición en subespacios raíz [7] [8]

Si es una subálgebra de Cartan de , resulta que y se descompone en una suma directa (como un módulo): ${\mathfrak{h))$ $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {h}}$ $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak{h))$

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }

donde es el conjunto de todos los funcionales lineales distintos de cero tales que . Además, cada uno tiene las siguientes propiedades: $\Fi$ $\alpha \in {\mathfrak {h}}^{\ast}$ ${\mathfrak {g}}_{\alpha }\neq \{0\}$ ${\ estilo de visualización \ alfa, \ beta \ en \ Phi}$

$[{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{\beta }]\subseteq {\mathfrak {g}}_{\alpha +\beta }$ , mientras que la fórmula se convierte en una igualdad para . ${\ estilo de visualización \ alfa + \ beta \ neq 0}$
$[{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }]\oplus {\mathfrak {g}}_{-\alpha }\oplus {\ mathfrak {g}}_{\alpha }\simeq {\mathfrak {sl}}_{2}$ , donde el isomorfismo debe entenderse como un isomorfismo de álgebras de Lie.
$\dim {\mathfrak {g}}_{\alfa}=1$ ; en particular, . $\dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\#\Phi$
${\mathfrak {g}}_{2\alpha }=\{0\}$ ; en otras palabras, . ${\ estilo de visualización 2 \ alfa \ no \ en \ Phi}$
En , los subespacios y son ortogonales entre sí con respecto a la forma Killing. ${\ estilo de visualización \ alfa + \ beta \ neq 0}$ ${\mathfrak {g}}_{\alpha }$ ${\mathfrak{g}}_{\beta}$
La restricción de la forma Matar a es no degenerada. ${\mathfrak{h))$

El conjunto se llama el sistema raíz del álgebra . Se puede demostrar que efectivamente satisface los axiomas del sistema raíz. En él, uno puede elegir [9] la base de las llamadas raíces simples para que cada elemento se represente como una combinación lineal entera de raíces simples, y ya sea con todos los coeficientes no negativos, o con todos los no positivos [ 10] . De la teoría de las representaciones se deduce que para cada una de estas raíces se pueden elegir elementos , normalizándolos de tal manera que y Resulta que los elementos elegidos de esta manera generan tanto un álgebra de Lie. $\Fi$ $\mathfrak{g}$ ${\ estilo de visualización \ alfa _ {1}, \ ldots, \ alfa _ {l}}$ $\Fi$ ${\mathfrak{sl}}_{2}$ $g_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha },f_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha },h_{\alpha }= [e_{\alfa},f_{\alfa}]$ ${\ estilo de visualización [h_ {\ alfa}, e_ {\ alfa}] = 2e_ {\ alfa})$ $[h_{\alpha },f_{\alpha }]=-2f_{\alpha }.$ ${\ estilo de visualización 3l}$ $\mathfrak{g}$

Denotemos entonces explícitamente todas las relaciones sobre estos generadores (las relaciones de Serre) [11] : $a_{ij}=\alpha _{j}(h_{i}),$

{\ estilo de visualización [h_{i},h_{j}]=0,}

[e_{i},f_{i}]=h_{i},[e_{i},f_{j}]=0,i\neq j,

[h_{i},e_{j}]=a_{ij}e_{j},[h_{i},f_{j}]=-a_{ij}f_{j},

\operatorname {anuncio} (e_{i})^{-a_{ij}+1}(e_{j})=\operatorname {anuncio} (f_{i})^{-a_{ij}+ 1}(f_{j})=0,i\neq j.

El teorema de Serra establece que para cualquier matrizque sea una matriz de Cartan , o, de manera equivalente, para cualquier sistema raíz, existe un álgebra de Lie de dimensión finita semisimple, hasta el isomorfismo, única [12] . Una posible prueba de existencia es la construcción de un álgebra de Kac-Moody . ${\ estilo de visualización \ {a_ {ij} \))$

Así, resulta que para clasificar álgebras de Lie semisimples de dimensión finita (sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero) basta con clasificar sistemas de raíces.

Clasificación

Al estudiar los sistemas de raíces, resulta posible asociar cada uno de ellos con un diagrama de Dynkin orientado . La descomposición de un álgebra de Lie semisimple en una suma de simples corresponde a la descomposición de un diagrama inconexo en una unión de componentes conexas (diagramas irreducibles). Así, el problema de la clasificación se reduce a averiguar qué diagramas de Dynkin irreducibles pueden ser diagramas de algún sistema raíz.

Un diagrama de Dynkin con varios vértices corresponde a un sistema raíz de rango si es uno de los siguientes: [13] . $norte$ $norte$ $A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}$

Las álgebras correspondientes a series se llaman clásicas ; estas son álgebras , respectivamente. Los diagramas de estas series para valores pequeños pueden coincidir entre sí, lo que genera álgebras isomórficas, o expandirse en una suma de otras, es decir, no ser simples; para excluir estos casos de la lista, puede tomar at , at , at , at [13] . ${\ estilo de visualización A_ {n}, B_ {n}, C_ {n}, D_ {n},}$ ${\mathfrak {sl}}_{n+1},{\mathfrak {so}}_{2n+1},{\mathfrak {sp}}_{2n},{\mathfrak {so}} _ {2n}$ $norte$ $Un}$ $n\geqslant 1$ $B_{n}$ $n\geqslant 2$ $C_{n}$ $n\geqslant 3$ $D_{n}$ $n\geqslant 4$

Las álgebras correspondientes a los diagramas , , , se llaman excepcionales . Por lo general, los grupos correspondientes se denotan con el mismo símbolo que el diagrama y las álgebras con $E_{6}$ $E_7$ $E_8$ $F_{4}$ $G_{2}$ ${\mathfrak {e}}_{6},{\mathfrak {e}}_{7},{\mathfrak {e}}_{8},{\mathfrak {f}}_{4} ,{\mathfrak{g}}_{2}.$

Para un campo no algebraicamente cerrado, varias álgebras de Lie simples no isomórficas pueden corresponder a la misma álgebra de Lie simple sobre un cierre algebraico, por lo que se requiere un esfuerzo adicional. En el caso de un campo de números reales, los diagramas de Satake , que son diagramas de Dynkin con etiquetas adicionales [14] , dan una clasificación completa .

Representaciones de álgebras de Lie semisimples

Notas

↑ Vinberg, 1988 , pág. 44.
↑ Vinberg, 1988 , pág. 60-61.
↑ Humphries, 2003 , pág. 38.
↑ Humphries, 2003 , pág. 44.
↑ Humphries, 2003 , pág. 93.
↑ 1 2 Humphreys, 2003 , pág. 52.
↑ Serre, 2000 , cap. VI, §1.
↑ Humphries, 2003 , pág. 52-58.
↑ Humphries, 2003 , pág. 66.
↑ Humphries, 2003 , pág. 68.
↑ Humphries, 2003 , pág. 121.
↑ Humphries, 2003 , pág. 124-127.
↑ 1 2 Humphreys, 2003 , pág. 77.
↑ Knapp, 2002 , Sección VI.10.

Literatura

Humphries J. Introducción a las álgebras de mentira y la teoría de la representación / per. De inglés. BR Frenkin. - M. : MTSNMO, 2003. - 214 p. — ISBN 5-900916-79-0 . (Ruso)
Vinberg E.B., Onishchik A.L. Seminario sobre Grupos de Lie y grupos algebraicos . - Moscú: Nauka, 1988. - 344 p. — ISBN 5-02-013721-9 . (Ruso)
Serre J.-P. Álgebras de Lie complejas semisimples . - Berlín: Springer, 2000. - 74 p.
Grupos Knapp AM Lie más allá de una introducción . — Birkhauser, 2002.